圆锥曲线第二定义解析.doc

1、圆锥曲线第二定义圆锥曲线的第二定义（平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹）是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能。 一、导向功能 圆锥曲线第二定义对许多问题的求解，具有明显的导向作用，优先考虑第二定义，有助于启迪思路，理顺解题线索。 例1：椭圆x225+y29=1上有一点P，如果它到左准线的距离为52，那么P到右焦点的距离是 。 分析解题之前一定要认真审题，对有关曲线上一点到焦点、准线距离的问题，首先联想到圆锥曲线的第二定义。解设P到左准线距离为PM由椭圆第二定义PF1

2、PM=ePF1=ePM=4552=2又PF1+PF2=2a=10PF2=8 例2：F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，P(x0,y0)是椭圆上任一点，则PF2的值为： A. ex0-a B. a-ex0 C. ex0-a D.e-ax0 分析针对题中要求PF2的值，且各选项中含有e，从椭圆第二定义入手，问题不攻自破。 解设点P(x0,y0)到椭圆右准线x=a2c的距离为PN，则PN=a2c-x0 根据椭圆第二定义 PF2=ePN=e(a2c-x0)=a-ex0，故选B。 二、简化功能 巧用圆锥曲线的第二定义，可以简化复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。 例3：过抛物线y2=4x的

3、焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，若线段的中点的横坐标为3，则AB= 。 分析若按求焦点，设直线方程、联立方程组求AB过程繁琐，因此从定义出发。解过A、B两点向准线引垂线AM、BN设AB中点为C(3,y0)，过C向准线引垂线CH，则CH是直角梯形ABNM的中位线。 AM+BN=2CH 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为x=-1 所以有AB=AF+BF=AM+BN=2CH=2（3+1）=8 例4：已知椭圆方程为x2b2+y2a2=1(ab0)，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标。 分析本题若通过解椭圆与双曲线联立的二元二

4、次方程组求交点将十分麻烦。解如图：设所求双曲线为x22-y22=-1，依题意c2=a2-b2=2+2(c为半焦距)，两个焦点为F1、F2，则PF1是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1)，则PF1=e PK=e1 PK1 PF1=caa2c-y1=cy1-2c a-cy1a=cy1- = y1=ac 代入椭圆或双曲线方程得x1=bc，于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为： S=4(abc2)2ab (2+2) c2=2ab 当且仅当=c 2 = 2(a2-b2)2时，Smax=2ab 故所求双曲线方程为x2-y2= -（a2-b2）2由对称性，四

5、个顶点的坐标分别为：( 2b2, 2a2),(- 2b2, 2a2),(- 2b2, -2a2), (2b2,- 2a2) 三、显隐转化功能 从圆锥曲线的第二定义出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。 例5：已知椭圆x24+y23=1内有一点P(1,-1)，F为右焦点，椭圆上有一点M，使MP+2MF值最小，求点M的坐标。 分析按常规思路，设M(x,y)求出右焦点F(1,0)则MP+2MF= （x-1）2+(y+1)2+ 2 (x-1)2+y2 由此表达式求最小值是比较困难的，联想椭圆方程中隐含的特征量，发现式中的2即1e，故2MF即为1

6、eMF 解由椭圆第二定义MFMN= e MN= MFe当MN与PM共线，即过P作准线x=a2c的垂线这条线与椭圆的交点就是所求的点M此时M(2 63,-1) 四、联络功能 对于一些需综合运用各种数学思想方法和解题技巧的数学问题，圆锥曲线的第二定义，可在其中起到桥梁作用，使解题思路连贯畅通。 例6：已知双曲线x225-y2144=1的左右焦点分别为F1和F2，能否在双曲线的左支上找到一点P，使PF1是P到左准线的距离d与PF2的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由。 分析这是一道存在性探索问题，解题思路一般是：先假设存在，然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。 解根据题意：PF12=dPF2,即PF2PF1=PF1d= e PF2= ePF1PF2-PF1=2a=10 c=13 e=13513PF15-PF1=10 PF1=254 PF2=654PF1+PF2=452 又F1F2=26从而PF1+PF2F1F2矛盾符合条件的点P不存在。