第五六讲 数阵图与第七讲 最不利原则Word文档格式.docx

1、【例2 】 把15这五个数填入下页左上图中的里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。【思路】与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于（1+2+3+4+5）+52=10。因此，两条直线上另两个数（非“重叠数”）的和等于10-5=5。在剩下的四个数1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。同步练习2将19这九个数分别填入右上图中的里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。【

2、例3 】 把15这五个数填入右图中的里，使每条直线上的三个数之和相等。【思路】例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，（1+2+3+4+5）+重叠数=每条直线上三数之和2，所以，每条直线上三数之和等于（15+重叠数）2。因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为（15+1）2=8。填法见左下图；若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为（15+3）2=9。填法见下中图；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为（15+5）填法见右下图

3、。由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。【例4】 将17这七个自然数填入左下图的七个内，使得每条边上的三个数之和都等于10。【思路】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到：（1+2+7）+重叠数2=103。由此得出重叠数为：103-（1+2+7）2=1。剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？课 外 作 业1.将17这七个数分别填入左下图中的里，使每条直线

4、上的三个数之和都等于10. 2. 将19这九个数分别填入右上图中的里（其中5已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。3.将19这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。（至少找出两种本质上不同的填法）4.将39这七个数分别填入左下图的里，使每条直线上的三个数之和等于20。第六讲 数 阵 图（二）上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。【例1 】 将18这八个数分别填入右图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。【思路】中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为212-（1+2+8）=6。在已知

5、的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。如果两个重叠数为2与4，那么同理可得右上图的填法。【例2 】 将16这六个自然数分别填入下图的六个内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。【思路】本题有三个重叠数，即三角形三个顶点内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于113-（1+2+6）=12。16中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三个重叠数是1，5

6、，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是16，不合题意。同理，三个重叠数也不能是3，4，5。经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法（见右上图）。把18填入下页左上图的八个里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。【例3】将16这六个自然数分别填入下图的六个中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。【思路】与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由（1+2+6）+重叠数之和=每边三数之和3，得到每边的三数之和等于（1+2+6）+重叠数之和3=（21+重叠数之和）=7+重叠数之和因为每边的三数之和是整数，所以重叠

7、数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是16中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。与例2的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12.把16这六个数填入下图的里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。【例4 】将29这八个数分别填入右图的里，使每条边上的三个数之和都等于18。【思路】四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于184-（2+3+9）=28。而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1

8、，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。以上例题都是封闭型数阵图。一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以： 各数之和+重叠数之和=每边各数之和边数。由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。【例5 】把17分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。【思路】这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的

9、（中心数，记为a）；有重叠1次的（三个数，分别记为b，c，d）。根据题意应有（1+2+7）+a+a+b+c+d=133，即 a+a+b+c+d=11。因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。1. 将18填入左下图的八个中，使得每条边上的三个数之和都等于15。2. 将18填入右上图的八个中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。3. 将17填入右图的七个，使得每条直线上的各数之和都相等。第七讲 最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问

10、题，这就是最不利原则。下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。【例1 】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。这样

11、摸出的9个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出10个球。由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。1.袋子里有同样大小、质地的红、黄、绿三种颜色的小球各15个。一次最少摸出几个球，才能保证至少有3个小球颜色相同？2.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？

12、例2袋子里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。因此所求的最小值是12。袋子里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共22个。其中红球4个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有6个同色，n的最小值是多少？例3一排椅子只有15个座位，部分座位

13、已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。在乐乐之前已就座的最少有几人？将15个座位顺次编为115号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。同步练习3一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。例4一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？从最不利的情形考虑

14、。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙。同理，第二把锁试验8次第九把锁只需试验1次，共要试验：9872145（次）。所以，最少试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。同步练习4一把钥匙只能开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？例5在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张

15、王牌。这41张牌中没有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。课 时 作 业1. 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？2. 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？3. 一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。4. 一把钥匙只能开一把锁，现有12把锁和12把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？5. 口袋里有三种颜色的筷子各10根。（1） 至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？（2）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？