数列知识点总结和题型归纳总结Word文档格式.docx

1、Sn Sn 1（n 2）（3） 1, 0, 1, 0, 1, 0, （4）a, a, a, a, a, 5）数列 an的前 n项和 Sn与通项 an的关系： an已知数列 an的前 n项和sn 2n2 3，求数列 an的通项公式练习：1根据数列前 4 项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7；22 1， 321， 42 1，52 12）23453）1，1，。1*22*33*44*54）9，99，999，9999（6）8, 88, 888, 8888 2数列 an 中，已知 ann2 nN）1）写出 a1, ，a2， a3，an 1 ， an2 ；5）7，77，777，7777，2 ） 79

2、 2 是否是数列中的项若是，是第几项3（ 2003 京春理 14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式1） （ 4） （ 7）5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式2 条 直 线 相 交，最多有 1 个交点 、等差数列3 条 直 线相 交，最多有 3 个交点个交点题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的

3、差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an an 1 d（n 2） 或 an 1 an d（n 1）。aba ， A， b成等差数列 A a b 即： 2an 1 an an 21（ 14 全国 I）设 an 是公差为正数的等差数列， 若 a1 a2 a3A120 B105 C 902anan m an m ）15 ，a1a2a3D 7580 ，则 a11 a12a132.设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为48，则它的首项是（A1.2 C题型四 、等差数列的性质：1）在等差数列an中

4、，对任意 m ， n N ， an若 m，n， p，q从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列；am （n m）d ，an am （m n） ； nm题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式：SnN且q ，则 aman apaq；（Sn An2 Bn （A,B为常数 ）递推公式： Sn （a1 an ）n（am 1.如果等差数列中， a3a4 a5A）14B）212.2015 湖南卷文）设是等差数列的前A13B353.n（a1an）na1n（n 1） d12a1 d ）n。是等差数列an （m 1） ）n12，那么a1a2a7C）28D）352015 全

5、国卷理） 设等差数列的前n 项和，已知C49n 项和为，若3，a611，D则等于63S972,则 a2 a4 a9 =等差数列 an 2n 1，an an 1等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0为递增数列，0 为常数列，0 为递减数列。 1.已知等差数列中， a7a9 16， a41，则 a12 等于（）A15 B30C31D 642.an 是首项 a1公差 d3的等差数列，如果 an 2005 ，则序号n 等于（A） 667（B）668（C）669（D） 6703.等差数列 an2n1,bn2n 1 ，则 an为bn为（填“递增数列”或“递减数列” ）题型三 、等差中项的概念：题

6、型二 、等差数列的通项公式： an a1 （n 1）d ；定义：如果 a ， A，b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A4.（2015 重庆文）（2）在等差数列中， a1 a9 10 ，则的值为（ ）A）5B）6C）8D）105.若一个等差数列前 项3 项的和为 34 ，最后 3 项的和为项项146，且所有项的和为项390，则这个数列有（6.已知等差数列an 的前 n项和为 Sn ，若 S1221，则 a2 a5 a8 a117.（2014 全国卷理）设等差数列的前 n 项和为，若 a5 5a3则 9S58（2014 全国）已知数列 bn是等差数列， b1=1，b1+b

7、2+ +b10=100. （）求数列 bn的通项 bn；9.已知 an 数列是等差数列， a10 10，其前 10项的和 S10 70 ，则其公差 d等于（ ）2 1 1 2A B C. D.3 3 3 310.（2015陕西卷文）设等差数列的前 n项和为 ,若a6 s3 12,则11（2013 全国） 设 an为等差数列，Sn为数列 an的前 n项和，已知 S77，S1575，Tn为数列 Sn 的前 n 项和，求 Tn。12.等差数列 an 的前 n项和记为 Sn ，已知 a10 30，a20 50求通项 an ；若 Sn =242，求 n13.在等差数列 an 中，（ 1）已知 S848,

8、 S12 168,求a1和d ；（2）已知 a6 10,S5 5,求a8和S8 ；（3）已 知 a3 a15 40,求 S17题型六 .对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则 S偶 S奇 nd； S奇 an ；S偶 an 1S奇 n（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则 S奇 S偶 an a中； 奇 S偶 n 1题型七 .对与一个等差数列， Sn ,S2n Sn ,S3n S2n 仍成等差数列。 1.等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100 ，则它的前 3m 项和为（ ） B.1702.一个等差数列前n 项的和为 48，前 2n 项的和为 60 ，则

9、前 3n 项的和为3已知等差数列an 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10 ，则前 110 项和为4.设Sn为等差数列 an 的前n项和， S4 14，S10 S730，则 S9 =5（2015全国 II）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 3 S613，则S63 1 1A B C10 3 8题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1 an d （常数）（ n N ）an 是等差数列中项法：2an 1 an an 2 （ n N ）a 是等差数列通项公式法：an kn b （k,b为常数 ）前 n 项和公式法：Sn An2 Bn （ A, B为常数 ）

10、A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列 an的通项为 an 2n 5，则数列 an 为 （ ）3.已知一个数列an 的前 n项和sn 2n2 4，则数列 an 为（4.已知一个数列sn 2n2，则数列 an 为（ ）5.已知一个数列an 满足 an 22an 1 an 0，则数列 an 为（ 1.已知数列 an满足an an1 2，则数列 an为 （ ）6. 数列 an 满足 a1 =8， a4且 an 2 2an 10 （ n2，求数列 an 的通项公式；7（14天津理， 2）设 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn=n2，则an是（ ）A.等比数

11、列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列题型九 .数列最值（1）a1 0，d 0时， Sn有最大值； a1 0，d 0时， Sn有最小值；（2） Sn 最值的求法： 若已知 Sn ，的最值可求二次函数 Sn an bn 的最值；an 0 或 an 0an 1 0 an 1 0项的和最大。可用二次函数最值的求法（ n N ）； 或者求出中的正、负分界项，即： 若已知 an ，则 Sn最值时 n 的值（ n N ）可如下确定 1等差数列 an 中， a1 0，S9 S12 ，则前2设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知 a

12、3 12，S12 0，S13 0 求出公差 d 的范围，指出 S1， S2， ， S12 中哪一个值最大，并说明理由。3（12 上海）设 an（nN*）是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5 S8，则下列结论错误 的是（ ） S5 与 S7 均为 Sn的最大值4已知数列的通项n 98n 99N ），则数列 an 的前 30 项中最大项和最小项分别是5.已知 an 是等差数列，其中 a1 31，公差 d 8。1）数列 an 从哪一项开始小于 02）求数列 an 前 n项和的最大值，并求出对应 n的值6.已知an是各项不为零的等差数列， 其中 a1 0，公差d 0 ，若S10 0 ,求数

13、列 an前n项和的最大值7.在等差数列 an中， a1 25 ， S17 S9，求 Sn的最大值题型十 .利用 an S1 （ n 1） 求通项n Sn Sn 1 （n 2）1.数列 an 的前 n 项和 Sn3）你能写出数列n2 1（1）试写出数列的前 5项；（2）数列 an 是等差数列吗（ an 的通项公式吗2已知数列 an 的前 n 项和 Snn 2 4n 1，则3.设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；4.已知数列 a n 中， a1 3，前 n和 Sn （n 1）（ a n 1） 1求证：数列 an 是等差数列求数列 an 的通项公式5.（2015

14、安徽文）设数列的前 n 项和 Sn n2 ，则的值为（ ）（A） 15 （B） 16 （C） 49 （D） 64等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示（q 0），即： an1：an q（q 0）。、递推关系与通项公式 递推关系： an 1 anq 通项公式： an a1 qn 1 推广： an am qn m1 在等比数列 an 中,a12 在等比数列 an 中,a73.（ 2014 重庆文）在等比数列（ A）2 （B） 34,q 2 ，则 an12,q 3

15、2 ,则a19 .an中，a28，a164，则公比 q 为（ ）（ C） 4 （ D） 84.在等比数列 an 中， a22 ， a5 54 ，则 a8 =5.在各项都为正数的等比数列an 中，首项 a1 3 ，前三项和为 21，则 a3 a4 a5 （ ）A 33 B 7284D 189二、等比中项：若三个数 a, b, c成等比数列，则称 b 为 a与c的等比中项，且为 bac，注： b2 ac 是成等比数列的必要而不充分条件1.2 3 和2 3 的等比中项为（A）1（B） 1（C） 1（D）22.（2013 重庆卷文）设是公差不为0 的等差数列， a12且 a1,a3,a6成等比数列，

16、则的前 n项和=（ ）n2 7n442 n B5nn2 3n C24D n n三、等比数列的基本性质，1.（1） 若m n pq，则 amapaq （其中 m,n,p,q N ）nm q n m， an an m an m （n N ） am为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列既是等差数列又是等比数列an 是各项不为零的常数列1在等比数列an 中,a1和 a10是方程 2x5x 1 0的两个根 ,则 a4 a7log2 a1（A） 52（B） 22（C）（D）122. 在等比数列3.在等比数列求 an若 Tn4.等比数列A12an ，已知an 中， a1lga1 lga25， a9a

17、1033， a3 a4lg an,求 Tn100 ，则 a18 =32， an an 1an 的各项为正数，且 a5a6 a4a7 18,则log 3 a1 log3 a2 LB10 C8 D 2+ log3 55.（ 2014 广东卷理） 已知等比数 列满足log2 a3 Llog 2 a2n 10,n 1,2,L ， 且 a5 a2nlog3 a10 （ ）2 （n 3） ， 则 当 时 ，A. n（2nB. （n 1）2C.D.（n 1）22.前 n 项和公式Sn a1（1 qn）1q（q 1） a1 anq 1.已知等比数列an 的首相2.已知等比数列（q5 ，公比 q，当项数 n 趋

18、近与无穷大时，其前 n 项则其前 n 项和 Sn和Sn3.设等比数列 an 的前 n 项和为Sn ，已 a26, 6a1 a3 30，求 an和 Sn4（2015 年北京卷）设 f（n） 2 24 27 210 L 23n 10（n N） ，则 f（n） 等于（ ）A 2 （8n 1） B 2 （8n 1 1） C 2 （8n 3 1） D2（8n4 1）7 7 7 75（2014 全国文， 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比 q；6设等比数列 an 的公比为 q，前 n项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q 的值为 .3.若数

19、列 an 是等比数列，Sn是其前 n 项的和， k N，那么 Sk ， S2k Sk ， S3kS2k 成等比数列 . 1.（2014 辽宁卷理）设等比数列 的前 n 项和为，S6 S9S3 =3 ，则 S6A. 2B.2.一个等比数列前A83Bn 项的和为 48 ，前 2n 项的和为108 C60，则前 3n 项的和为（75D633.已知数列 an是等比数列，且Sm 10， S2m30，则 S3m4.等比数列的判定法定义法： an 1q（常数）an 为等比数列；2）中项法： an 1 an an 2 （an 0） an 为等比数列；3）通项公式法： an k qn （ k , q为常数） a

20、n 为等比数列；4）前 n项和法： Sn k（1 qn ）（k,q为常数） an 为等比数列。k kqn （k,q为常数） an 为等比数列。 1.已知数列 an 的通项为 an 2n，则数列 an 为 （ ） 满足 an 1 anan 2 （an 0） ，则数列 an 为 （sn 2 2n 1，则数列 an 为（ ）5.利用 an S1 （n 1） 求通项 1.（ 2015 北京卷）数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an 1 Sn ，n=1，2，3，求 a2，a3，a4的值及数列 an的通项公式2.（ 2015山东卷）已知数列 an 的首项 a1 5,前n项和为 Sn ，且S

21、n 1 Sn n 5（n N * ） ，证明数列 an 1 是等比数列四、求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 1已知等差数列 an满足： a3 7,a5 a7 26， 求an；2.已知数列 an满足a1 2,an an1 1（n 1） ，求数列 an的通项公式；3.数列 an 满足a1 =8， a4 2，且an 2 2an 1 an 0 （n N ），求数列 an 的通项公式；2 ，求数列 an 的通项公式；4.已知数列 an满足 a1 2,a n 15.设数列 an满足 a11 an 11 ，求 an 的通项公式1 an6.已知数列 an满足an 1

22、n ,a1 1，求数列 an 的通项公式。 an 2 17.等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1， a32 9a2a6，求数列 an的通项公式8.已知数列 an满足 a12,an 3an 1（n 1） ，求数列 an 的通项公式；n N ），求数列 an 的通项公式；10.已知数列 an满足 a12，且an 1 5n 1 2（an 5n）（nN ），求数列 an 的通项公式；11.已知数列 an满足 a1n12，且an 1 5 2n 1 23（an 5 2n 2）（ n12.数列已知数列 an 满足 a12,an4an 1 1（n1）. 则数列 an 的通项公式 =9.已知数列 an满足a1 2，a2 4且an 2 an an12）累加法1、累加法 适用于： an 1 an f （n）f（1）若 an 1 an f （n） （na3f（2）2） ，则 3Lan 1f （n）两边分别相