初级中学二次函数的解题方法文档格式.docx

1、1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）;a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P （ h,k ） 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=（4ac-b2）/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a0时，二次函数图像向上开口;当a0设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，

2、由题设x1x20知0，所以c0，故b0故选（A）例2已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f（19）=f（99）=1999，|c|1000，则c= 由已知f（x）=ax2+bx+c，且f（19）=f（99）=1999，因此可设f（x）=a（x19）（x99）+1999，所以ax2+bx+c=a（x19）（x99）+1999=ax2（19+99）x+1999a+1999，故c=1999+1881a因为|c|1000，a是整数，a0，经检验，只有a=1满足，此时c=19991881=118例3 已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点

3、A，B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值设A、B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根x10，x20，b2 |OA|=|x1|1，|OB|=|x2|1，即1x1，x20，=x1x21，ca（1）2+b（1）+c0，即a+cbb，a+c都是整数，a+cb+1 由，得a+c+1，（）21，又由知，1，+1，即a（+1）2（+1）2=4a5，又b24，b5取a=5，b=5，c=1时，抛物线y=5x2+5x+1满足题意故a+b+c的最小值为5+5+1=11例4 如果y=x2（k1）xk1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那

4、么ABC的面积的最小值是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4由于=（k1）2+4（k+1）=（k+1）2+40，所以对于任意实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则：|AB|=又抛物线的顶点c坐标是（），因此SABC=因为k2+2k+5=（k+1）2+44，当k=1时等于成立，所以，SABC，故选A例5已知二次函数y=x2x2及实数a2求：（1）函数在2xa的最小值；（2）函数在axa+2的最小值函数y=x2x2的图象如图1所示（1）若2a，当x=a时，y最小值=a2a2若a，当x=时，y最小值=（2）若2a且a+2，即2，当x=a+2时，y最小值=（a+2）2（

5、a+2）2=a2+3a，若aa+2，即a，当x=a时，y最小值=a2a2例6当|x+1|6时，函数y=x|x|2x+1的最大值是 由|x+1|6，得7x5，当0x5时，y=x22x+1=（x1）2，此时y最大值=（51）2=16当7x0 （1） 设与x轴交点分别为x1，x2 则x1+x2=-（k+2）0 （2） x1*x2=k+50 （3）解得-5k-4 选B例8.已知二次函数y=x+bx+c的图像经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_3/4，+）_.解析：把点（-1,0），（1，-2）代入二次函数数，可解得b=-3/2 函数的对称轴为 x=-（-3/2）/

6、2=3/4a=10，函数开口向上，单调递增区间是3/4，+）.例9.二次函数y=ax2+bx+c，当x取整数时，y值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数， 若存在请写出一个，若不存在请说明理由。解答：（方法1）（反证法）假设存在二次项系数a的绝对值小于0.5的整点二次函数，（a 0） 则当x=0时，y=c，即c为整数， 同理，当x=1时，y=a+b+c=m，x=-1时，y=a-b+c=n，其中m、n都应为整数， 两式相加，2a+2c=m+n，推知2a也应为整数，而|a|0.5，即|2a|1，矛盾。 所以不存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数

7、。（方法2）x0时，yc是整数 x1时，yabc是整数 x1时，yabc是整数 （abc）（abc）2a2c是整数 而2c是整数 例10.已知y=x-x-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax+bx+c过A,B，顶点为P，且APB是等腰直角三角形，求a，b，c 显然A,B坐标为（-4,0）,（4,0）.y=ax+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:（0,-16a）由于APB是等腰直角三角形，所以AB2=AP2+BP2,求出a=1/4.所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4. 例11.例12 已知a0，且=b2ac，求b24ac的最小值令y=ax2+bx+c，由于a所以，此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）因为x1x2=0，不妨设x1x2，则x10x2，对称轴x=0，于是|x1|=故c=b24ac4，当a=1，b=0，c=1时，等号成立因此，b24ac的最小值为4