第7章向量代数与空间解析几何Word格式文档下载.docx

1、3求平行六面体体积4求四面体体积设四面体以A B、C D为顶点则其体积V 1忑处吊5证明平面几何中的有关命题。2.解题指导1.向量的有关概念例1已知两点Mi（4,J2i）,M2（3,0,2），计算向量MM；的模、方向余弦和方向角。分析 向量的模、方向余弦和方向角的计算都要用到向量的坐标 表示，而由两点所确定的向量坐标就是终点坐标与起点坐标之差。解 由 iMTMT 3 4,0 72,2 1 1, 72,1，得M1M2（12 2，cos1一 ,cos3已知两非零向量a与b不平行，求a与b夹角平分线上的单位向量。分析由向量加法的定义，a与b的和是以a， b为邻边的平行四边形的对角线，当a与b的模相等

2、时，该平行四边形为菱形，其对角 线就是菱形内角的角分线。由此我们可以想到在a或b上取一个与b或a的模相等的向量。解 已知a与b不平行，且a与b都是非零向量。取与b共线，且ca.那么a c平分a与b的夹角，即ab是a与b夹角平分线上的向量。设其上的单位向量为 co，则coa b-r -r例3已知向量a与三个坐标轴成相等的锐角，求a的方向余弦。若a 2，求a.分析 向量a的方向余弦就是a与三个坐标轴所成夹角的余弦, 且以a的方向余弦为分量所得向量是与a同方向的单位向量。那么 cos cos coscos2 cos2cos21，所以 cos coscos申又因为为锐角,所以coscos cosa.2

3、，则aa cos ,cos求向量a （ 2i k）,cos 学邵,諮.k）在向量b 3,6,2上的投影。由投影定理a cos（a, b）a ab a- -ab b（4i 3jPab知，需要先计算因为3i2j6k 3,2, 6，所以Prjbaa cos（a,b）9 12 12Vo 36 42.向量的运算例5 已知 都是单位向量，且满足分析有两种求解方法：一是利用所给条件知三个向量构成首尾相接的等边三角形，故可得出夹角；二是利用内积运算规律间接求解。方法1 由2 cos-I，故方法t22（已知a2,b3,c一 3-I- -I-5， b c7, a b c8，求a由于向量a,b,c无法求出，故不能用

4、模的定义求模，但是向量的模可以看成该向量与自身内积的算术根,即la后，因此可以利用内积运算的某些规律求向量的模。F 2 rc （ab c） （a b c）h-h-pbc382 iff2（a b ab c）2（a b a c b c），（a b c） （ac） 64，解得T 2T-r2（a b a cb c） 64，b c 13.又因为b c7，所以38 2（6 7） 40，例7证明:（1）（ 2a b） （c a） （b c） （a b） a c ；（a b）2分析 这类问题一般都是利用向量叉积和点积的运算性质进行证明，注意利用a aa ,a a 0,a b b a，化简。证明左边 2acbc

5、2aababacabbcbf f f f f F , rf 2a b cos2（a,b） sin2（a,b）右边。2a c a c a c 右边。左边 a b cos（a,b）2 a b sin （a, b）3.向量的平行垂直关系例 8 已知 Mi（1, 1,2）,M2（3,3,1）,M3（3,1,3），求与 M,M 同时垂直分析注意到向量的向量积的定义，的单位向量。M1M 2 M 2M3 与 M1M 2, M 2M 3都垂直，因此本题是先求两向量的向量积，然后再单位化。解 由 M1M2 2,4, 1,皿2皿3 0, 2,2，可得1j kM1M2 M2M 34 1 6, 4, 4,0 2 2M

6、1M 2 M 2M3736 16 16 届 2417 ,因此与MiM2,M2M3同时垂直的单位向量为屁3, 2, 2.例9设a 1,0,0 ,b 0,1,2 ,c 2,2,1试在a与b确定的平面内,求一个模为3的向量d，使d c.分析 由已知d在a与b确定的平面内，则d a b，又d c，则 d / （a b） c,即d （a b） c,因此利用向量积的定义求得（a b） c后再由d 3确定.0,2,1,（ab）4,2, 4,b-d4 ,2 , 4由d 3得162 4 2 16 2 9，解得 2，所以 d 2,1, 2.例10设点O是点A和B连线外一点，证明：A，B，C三点 共线的充要条件是O

7、c Oa Ob，其中分析 设C是A、B连线上一点，A, B, C三点共线的充要条件是 BC rAB，由 OC OAAB BC可证得结论成立。证明必要性若A、B、C三点共线，设BC rAB，由向量加法的三角形法则，有OC OA AB BC OA（1 r）AB，而AB OB OA，代入上式得OCOA （1 r）（OB OA）rOA （1 r）OB .记 r, 1 r ，则1且OAOB .充分性若OCOB，且1,OA AB BC而OB OA AB，代入上式得OA AB BC OA（OA AB），整理得1）OA（ i）aB bC ,所以A、B、C三点共线。4.向量的应用Bc （1）AB ,例 11 已

8、知 OA i 3k,OB 73k，求OAB的面积。分析 OAB的面积是以OA,OB为邻边所确定的平行四边形面积的一半，而该平行四边形的面积与 OA OB的模相等，因此本题的思路是先确定OA oB，再求P oB解 oA oB3i 3j k，pA OB J（ 3）2 （ 3）2 1 719，所以，OAB的面积是晋例12试用向量证明：直径所对的圆周角是直角。分析 因为两个非零向量成直角是该两向量内积为零的充要条件，因此本题只需证明某两个向量的内积为零证明 设A、B、C为圆周角的三个顶点，则AC OC OA,BC OC OB,OA OB,OA OBOC，所以AC BC （OCOA） （OCOB）OC

9、OBOA OCOA OBOB OCOB因此AC BC，即直径所对的圆周角是直角。7.2 空间解析几何1.学习指导熟练掌握并会建立各种形式的平面方程和直线方程掌握平面 与平面、直线与直线、直线与平面之间的平行、垂直、相交的条件和 夹角公式。会求点到平面及点到直线的距离。 会用平面束的方法解决 有关直线与平面的各类问题。掌握常见曲面的方程与图形。掌握空间曲线方程的一般式与参数形式。掌握空间曲面或立体在坐标面上的投影区域。2.重点与难点重点平面的点法式方程；空间直线的对称式方程；平面、空间 直线间的位置关系；曲面、曲线与方程的概念；几类特殊的曲面与空 间曲线的方程。难点 平面和直线方程的建立；平面间

10、、直线间、平面与直线间 垂直、平行的条件；点到直线的距离；建立曲面、曲线的方程与画图;曲面、曲线在坐标面上的投影。3.学习方法空间解析几何是在平面解析几何的基础上发展起来的， 主要是 在空间直角坐标系中，研究数与形结合的两个基本问题； 一是从几何图形上点的运动规律建立图形所满足的方程或方程组； 二是由已知方 程去研究方程所代表的几何图形， 解决这些问题的基本方法是坐标法 和向量法，学习时要善于将“形与数” （画图形与求方程）结合起来 进行思考，学会分析图形间的位置关系，从中找到解题的思路。本部分主要涉及两个重要内容： 一是平面和空间直线的各式方 程及其相互位置关系等； 二是曲面与空间曲线的方程

11、与图形， 特别是 柱面、旋转曲面、锥面、二次曲面、投影柱面、投影曲线的方程与图 形等。在多元微积分中它们都有重要的应用。平面是由其上一点与法向量所决定的， 直线是由其上一点与方 向向量所决定的， 因此求平面方程的基本方法是点法式， 而求直线方 程的基本方法是对称式， 关键都是找一点和一个向量， 难点是找法向 量或方向向量。 此外还有其他方法： 若所求平面平行于某已知平面或 已知直线， 常用平面的一般式方程或平行平面束方程求平面方程； 若 所求平面过已知直线， 常用有轴平面束方程求平面方程； 若所求直线 是两平面的交线，常用交面式方程表示直线。注意，求平面方程和直 线方程的方法不惟一，求解时应尽

12、量选择较简便的方法。对于平面和直线， 除了掌握其各种形式的方程并会据已知条件 选择相对简便的方法求其方程外，还需研究点、线、面之间的相互位 置关系及距离等问题，解决这些问题的基本方法仍是坐标法与向量 法，例如：研究面与面、线与线、面与线的平行、垂直、相交问题， 归结为讨论两个向量间的相互关系， 向量的平行、 垂直条件和夹角的 计算公式是解决这类问题的基础； 求平面与直线的交点， 通常是将直线方程化为参数式，代入平面方程确定参数后，再代入直线的参数式 方程确定交点坐标；求点、线、面之间的距离除用相应的距离公式求 解之外，有时也根据题设条件利用平面与直线的特点求解。空间中满足三元方程F X, y,

13、 z 0的动点M X, y,z的轨迹一般形成曲面，满足三元方程组：；0的动点MW的轨迹一般形成 曲线，应熟悉常用的空间曲面与曲线的方程和图形及其特点。例如: 母线与坐标轴平行的柱面方程，方程的特点是二元方程（母线平行于 哪个坐标轴，柱面方程中就不含该坐标轴所对应的元）；坐标面上曲 线绕某坐标轴旋转所形成的旋转曲面的方程其特点是某两个变量的 平方项系数相等（如平面曲线f x,y 0绕y轴旋转，旋转曲面方程为Jx2 z2,y 0 ;空间曲线的表示法不惟一等。三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面， 研究二次曲面图形 的基本方法是平行截痕法，即用平行于坐标平面的平面去截曲面， 研 究所得截线（平面与曲

14、面交线）及其在坐标面上的投影，并加以综合 画出曲面的图形，在掌握常见的二次曲面方程与图形的基础上， 应会 画由若干个常见曲面所围成的空间立体图形， 画立体图的基本方法是 先画出每一个曲面的图形，分清各曲面间的几何关系，找出相关曲面 的公共点并确定它们交线的形状和位置，由对所围立体的初步认识, 添加适当的辅助线使之具有立体感。2解题指导1.求平面方程例1求过点M（12 1）且与 以 三垂直的平面方程。1 3 1分析过一点且与已知直线垂直的平面有且仅有一个，且该平面 上的所有直线都与已知直线垂直。 从向量的观点来看，平面内的所有 向量与已知直线的方向向量垂直，因此宜用点法式确定平面方程。解 设P（

15、x,y,z）是所求平面上的动点，已知直线的方向向量s （ 1,3,1），由条件 MPs，得 MP S 0，即1 （x 1） 3 （y 2） 1 （z 1） 0，整理得x 3y z 4 o.例2求过点M o（2, 9,6）且与连接坐标原点及Mo的线段OMo垂直的平面方程。分析 所求平面与线段OMo垂直，那么OM就是该平面的一个法向量，又知该平面过Mo点，因此可用点法式求平面方程。设P（x,y,z）是所求平面上的动点，由题设条件知OMo （ 2,9,6），且OMo MoP2（x 2）9（y 9） 6（z6） o，整理得2x9y 6z 121 o .2 y 2 z1 1 2过直线L1与L2的平面方程

16、。已知两直线L1 :-31, x 1 y 1 z 1 +3 与 L2： T ，求分析 直线L,与L2在所求平面内，那么平面的法向量n与L,、L2的方向向量S1,s2都垂直，因此舌S：就是所求平面的一个法向量n，由于L1、L2上任何一点都在该平面上，故由点法式可得平面方程。解已知 S1 （1, 1,2）, S2 （ 1,2, 1），则（3, 1,1）.又因为点（1, 1,1）在平面上，故所求平面方程为3（x 1） 1（y 1） 1（z 1） 0 ,整理得3x y z 1 0.例4设有一平面，它与xOy面的交线是2Xy 2 Q且与三个坐z 0,标面围成的四面体体积等于2,求这平面方程。分析该平面与

17、三个坐标面围成四面体，因此在坐标轴上的截距 不为零，从而用平面方程的截距式方程求解较为方便。解设所求平面方程为丫兰1，则该平面与三个坐标面所围 a b c成的四面体体积为V l|abC，由题设知，丄|abC=2.6 6x y ,又该平面与xOy面交线为a b 1,与已知条件比较得a 1,b 2，由此c 6.故所求平面方程为Z y Z 1.1 2 6例5求过直线L: 2x 5y z 4 O与点P（2,0, 1）的平面方程。x 6y 3z 3 0,分析所求平面过一定直线L，因此可用有轴平面束求解；若在L上取两定点M1与M2，与已知点P组合可用平面方程的一般式求解;用点法式求解。解 方法1过L的平面

18、束方程为2x 5y z 4 （x 6y 3z 3） 0，整理为（2 ）x （5 6 ）y （13 ）z由于P（2,0, 1）在所求平面上，故有（2 ） 2 （5 6 ） 0 （1（1）解得 1，那么所求平面方程为41 （2 -）x （5整理得7x 14y方法2取x14）y （1 31）z 4寸）13 0.0，代入取y2 0，代入上式得2x 5yx 6y9X2 匚，Z25z3z0,，得y11.两定点。设所求平面方程为Ax By上，可得B 矢 5 2AC2C0,故所求方程为Zdx 上 Dy13 13方法3Cz9 21）,M2（,0,-）是 L 上5 5D 0，由M1,M2,卩在该平面则 Mi（0,

19、 1,丄Dz13同方法2求得L上两定点M1（0, 1, 1）, M2（9,0,-），则n M1P M2P就是所求平面的一个法向量。k7故所求平面方程为7 14 15（x 0） Ly 1） 5（z 1） 0，整理得 7x 14y z 13 0.2.求直线方程例6求过点P（ 1, 并垂直于直线6七4且平行于平面3x 4y 5z 6 0的直线方程。分析 所求直线过定点P,只需知道它的一个方向向量就可用对 称式写出方程，由已知条件，该直线垂直于一条已知直线和一个已知 平面，也就是该直线的方向向量垂直于这条已知直线的方向向量和这 个已知平面的法向量，因此这两个向量的向量积就是所求直线的一个方向向量。解由

20、题设已知直线；七3x 4y 5z 6 0的法向量n（3,4,5），i j k6 5 43 4 5f的方向向量？ （6,5,4），平面 则（9, 18,9）是所求直线的一个方向向量,故所求直线为解方法1已知直线彳P（2,2,2）与该直线垂直的平面7 的方向向量为（11 3）则过1 的方程为（x 2） （y 2） 3（z 2） 0,即x y 3z 2 0.显然R（o,o,F面确定p点与该直线所确定的平面 2）是该直线上一定点，故P0P S是平面2的一个法向PoP（10,10,0） / （1, 1,0）,量n2，因为所以取m （1, 1,0），则平面2的方程为（x 2） （y 2） 0（z 2） 0

21、，即x y 0.所求直线方程为y 3z 2 0,x y 0.方法2同方法1得平面1的方程x y 3z 2 0迸与平面x y 3z 20的交点M .将直线化为参数式代入xy 3z线为8求直线L必t,3t 2,-，故交点为M （-,11 1111陽），则过P,M的直y 2_8Z 2口在平面:x y 2Z 1 0上的投影直线方程。分析 直线L在平面 上的投影直线就是过L且垂直于 的平面与平面 的交线。通常投影直线方程用平面方程的一般式联立表示, 因为平面 的方程已给出，只需求出过L且垂直于平面 的平面即可。而求过L的某一平面通常都使用有轴平面束求解。解已给直线L的一般式方程为X y 1 0,X z

22、2 0,所以过L的平面束方程为X y 1 （X z 2） 0（1 ）X y z （12 ） 0，其法向量n（1 , 1,）.又已知平面的法向量为n（1,1,2）,则该平面束中与平面垂直的平面应满足n（1（1）（1） 2 0所求平1 -X30，从而L在上投影直线方程为X y 2z 1 0,X 3y 2z 1 0,过平面 :X y z1和直线L1： y的交点，求在已知平面上垂直于已知直线的直线方程。分析 本题要求在已知平面上求一直线与已知直线垂直， 并且过 已知平面与已知直线的交点，因此只需求出过该交点且垂直于已知直 线的平面即可，因为该平面与已知平面的交线即为所求。解联立平面与直线Li的方程有z

23、 1,即得平面 与直线L1的交点P（1,1, 1）.又直线L1的一个方向向量为S1 （1,0,0），因此过P且垂直于L1的平面方程为x 1 0，从而所求直线方程为x y z 1,x 1 0.例10直线过点P（ 3,5, 9）且和两直线L1： y r 5,z 2x 3.y 4xL2: z 5x10.相交求此直线方程。所求直线L过已知点P且与Li相交，因此L在由点P与Li确定的平面1上，同理L也在由点P与L2确定的平面2上，即L为平 面1与2的交线。解由心2：5得时t5宁3，由此4一个方向向量为Sl （1,3,2），且Mi（0,5, 3）是Li上一个定点，那么pMi S；就是过点P与直线Li的平面

24、1的一个法向量n;.因为PM1 S1（18,0,9） / （2,0, 1）,所以取 = （2,0,1），贝y平面1的方程为2（x 3） （z 9） 0 ,整理得2x z 30.同理由L2 :z 5x1：得L2： Y于，从而有-（曲）, 2 PM 2S2j12F-19（136,4,24）,2:34x y6z 53故所求直线方程为3.线、例112xz 36z53面间的位置关系求平面2x 2yz 5 0与各坐标平面夹角的余弦。坐标平面也是一种平面，两平面夹角又规定为两平面法向 量所夹的角，因此只需写出每个平面的法向量，由夹角公式即得。解 平面2x 2y z 5 0的一个法向量为 n （2, 2,1）.xOy坐标平面、yOz坐标平面、xOz坐标平面的法向量分别为k （0,0,1），i （1,0,0），j （0,1,0）.设已知平面与上述三个坐标平面的夹角分别为，则