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1、差）。这种偏好关系“ f ”必须满足下面三个条件：自反性： x x （一个方案不会比它 自己差） ；传递性： x y，y z x z ；完备性：任何两个结果都可以比较优劣，即 x，y J，x y y x ，二者必居其一。3）效用函数：对于一个决策问题中同一目标准则下的 n个可能结果所构成的后果集J i, , n，假设其中定义了偏好关系“ ”，且满足三个假设。任取 max i ,i* 叫n i。若定义在集 a a *上的实值函数u（a）满足：单调性：u（a） u（b）当且仅当 af b ； u（a） u（b）当且仅当 a: b ； u（ *） 1，u（ *） 0 ；若c （a, p;b），则 u

2、（c） pu（a） （1 p）u（b） 其中a,b,c 。则称函数u（a）为效用函数。4 ）事件的事态体：把具有两种或两种以上的可能结果的方案（行为）称为事态体， 其中的各种可能结果为依一定概率出现的随机事件。如用记号 T来表示一个事态体，则T （ 1, P1； 2, P2；n，Pn）其中1，2，.，n表示该方案的 n中可能的结果，它们分别以nPi, P2,., Pn 的概率出现，且满足 Pi 0,i 1,2,., n ； Pi 1。i 12、 期望收益值作为决策的准则有什么不足？试以例说明。答：1）后果的多样性。如在例 8.3中，如何确定期望收益值将是一个难以解决的问题，或 者说期望收益值将

3、变得没有意义。2） 采用期望后果值的不合理性。比如我们说：航天飞机的发射，其可靠性是 99.7%,是指通过理论上的计算得出，多次发射中成功发射出现的次数占 99.7%。而对于一次发射而言，结果只能是要么失败要么成功。3） 实际决策与理性决策的差异性：如巴斯葛“赌注” （Pascal s Wager ）。4） 负效应。如掷硬币，方案 A：若为正面，则赢 5元，反面则输5元；方案B：若为正面赢 5万元，反面则输 5万元。E（A）=E（B）。但此时人们心目中已不采用期望收益值准则行事。依人们的价值观，损失5万元要比赢得5万元的效用值大，称为“负效用”。这样的例子有 很多，如一个人工资涨了 100元，

4、他可能觉得没什么；但如减薪 100元，那他肯定要问个明 白，且感觉不舒服。5） 决策者的主观因素（价值观）。比如买衬衣，某甲原来的衬衣都已破旧，买了一件新的； 某乙原有十几件新衬衣，再买一件。同样一件衬衣，在甲看来这件新衬衣比乙心目中的价值 要高得多。3、 什么是效用函数？试叙述如何确定效用函数。对于一个决策问题中同一目标准则下的 n个可能结果所构成的后果集 J 1, , n，假设其中定义了偏好关系“ ”，且满足三个假设。任取 max i， * min i。若定i i义在集aa *上的实值函数u（a）满足：u（a） u（b）当且仅当af b ；u（a）u（b）当且仅当 a: u（ *） 1 ，

5、 u（ *） 0 ；若 c（a, p;b），则u（c）pu（a）（1 P）u（b），其中a,b,c 。确定效用函数的思路是：对于方案空间，首先找到决策者最满意和最不满意的后果值，令u（ ） 1,u（ *） 0。然后对一有代表性的效用值 u，通过心理实验的方法，由决策者反复回答提问，找到其对应的后果值 u ，它满足效用函数的性质 3，即与 （ ,u; * ）无差：（ u）（ ,u; *） 。这样就找到了效用曲线上的三个点。重复这一步骤，对u（ ）,u（ u ）之间的有代表性的另外一个效用值 u 找到其对应的后果值 u 。反复进行，直到找到足够多的点，将它们用平滑曲线连接起来，便可得到效用曲线。4

6、、试以购买彩票为例来解释假设 2（连续性）。设T1组奖金1 700元，T2组奖金2 = 400元。1 2。两组都发行1万张。若T1中奖个数 与T2中奖个数n2相同（均为100个），显然T1T2。若T1组中奖个数不是100而降为小于 100 的某个数，例如 T1 组为是无差的，即T2。解： 用期望收益值准则求行动方案； 方案A的期望收益值为： 由于：E（A3）=max E（A i）70个，T2组为100,彩票购买者会认为这两个选择5、1）E（A1）=0.2E（A2）=0.2E（A3）=0.2E（A4）=0.2X 2500+0.4X 2500+0.3X 2500+0.1X 2500=2500X 2

7、350+0.4X 2200+0.4X 2050+0.4X 2750+0.3X 2600+0.3X 2450+0.3所以用期望收益值准则求出的行动方案是：求解该零售商对此决策问题的效用函数；由 u（3250）=1, u（2050）=0, u（2200）=0.5 ，效用函数为：u（x）= a + 3 In（x+ 0 ）贝y：仁 a + 3 ln（3250+ 0 ）0=a +3 In（2050+ 0 ）0.5= a +3 ln（2200+ 0 ） 得出： a =-0.8271 3 =0.2569 0 =-2025 u（x）= -0.8271+0.2569ln（x-2025） 3）用期望效用值准贝求行

8、动方案；由期望效用函数得到：（3250）=1, u （2050）=0, u （2200）=0.5 ， u （2500）=0.757, （2350）=0.616, u （2750）=0.865 ， （3000）=0.941, u （2450）=0.728 ，2）A3u （2600）=0.806, u （2850）=0.898 。用期望效用值准贝求行动方案；方 案 A1 的 期 望 效 用 值 为 ：0.757=0.757方 案 A2 的 期 望 效 用 值 为 ：0.865=0.815方案A的期望效用值为：由于： E（A2）=max E（A i）所以用期望效用值准贝求出的行动方案是：E（A1）=

9、0 . 2 XE（A2）=0 . 2 XX 2750+0.1X 3000+0.1X 2850+0.10.757+0.4 X 0.757+0.30.616+0.4 X 0.865+0.3X 0.806+0.3 X 0.941+0.1X 2750=2670X 3000=2680X 3250=2570X 0.757+0.1 XX 0.865+0.1 XX 0.941=0.799E（A3）=0.2 X 0.5+0.4E（A4）=0.2 X0+0.4X0.728+0.3 X0.898+0.1 X1=0.661A24）对两种准则的决策结果进行对比分析。由期望收益值准则得到的行动方案是 A3；由期望效用值准

10、则得到的行动方案是 A。决策者的价值观在应用效用值准则进行决策的时候中得到反映。7、解：（1根据对话，得到效用曲线上的点，画出效用曲线。0.5A1300-50125决策结果显示：u （125） V 0.5195u （195）=0.50.750.25255u （225）=0.75u （125）=0.250.050.95u （0） V 0.050.010.09u （0） 0.010.030.97u （0） V 0.0380u （80）=0.135第十章思考与练习：1.试述处理单目标非确定型决策问题的几种决策准则及其特点。（1）最小最大准则（悲观准则）：这种准则是指决策者对方案的选择持保守态度，决策

11、者设想采取任何一个方案都是收益最小的状态发生， 然后再从这些最小收益值中选出最大者，与这个最后选出的最大收益值相对应的方案便是决策者选定的方案。 “悲观准则”决策方法主要用于那些比较保守稳妥并害怕承担较大风险的决策者所采用。（2） 最大最大准则（乐观准则）：这种准则是指决策者决不放弃任何一个可获得最好 结果的机会，以争取好中之好的乐观态度来选择他的决策方案。 决策者设想采取任何一个方案都是收益最大的状态发生， 然后再从这些最大收益值中选出最大者， 与这个最后选出的最大收益值相对应的方案便是决策者选定的方案。 “乐观准则”决策方法主要用于那些对有利情况的估计比较有信心的决策者所采用，（3） 赫威

12、兹准则（ 准则）：赫威兹准则采用一种折中的态度。该准则指定一个用于表征决策者乐观程度的乐观系数 ，决策者对状态的估计越乐观， 就越接近于1 ;越悲观就越接近于0。 “ 法准则”主要用于那些对形势判断既不过于乐观也不太悲观的决策者所采用，（4） 沙万奇准则（后悔值准则） 沙万奇（Savage准则是通过计算各种方案的后悔值来选择决策方案的一种方法。该准则先计算出各备选方案在不同自然状态下的后悔值， 然后分别找出各备选方案对应不同自然状态中那组后悔值中的最大者， 最后将各备选方案的最大后悔值进行比较，它们之中最小值对应的方案即为最优方案。 “后悔值准则”决策方案主要用于那些对决策失误的后果看得较重的

13、决策者所采用，（5）等概率准则：等概率准则假定各自然状态发生的概率都彼此相等，然后再求各方案的 期望收益值。“等概率准则”主要用于决策者对未来出现的自然状态的发生概率信息掌握较 少的时候采用。2.风险型决策、非确定型决策、概率排序型决策有什么不同？风险型决策指各种自然状态出现的可能性（概率）已知（即可以通过某种方法确 定下来）；非确定型决策指决策者面临的可能出现的自然状态有多种，但各种自然状态出现 的概率不能确定。非确定型决策与风险型决策相比较，两者都面临着两种或两种以上的自 然状态，所不同的是，前者对即将出现的自然状态概率一无所知，后者则掌握了它们的出 现概率。由于非确定型决策所掌握的信息比

14、确定型决策所掌握的信息要少，所以分析非确 定型决策要比分析确定型决策困难得多。概率排序型决策是介于风险型决策和非确定型决 策之间的信息不完全型决策问题中的一种，它是指：决策者只知道各自然状态出现概率的相对大小，即n个自然状态出现概率的大小顺序，如p1 p2 L pn，或Pj Pj i M j, j 1,2,L ,n 1，但不知各个pj的具体数值。3*.双风险决策问题中，我们以各方案的期望收益值大小来比较方案的优劣。 如果同时还要考虑各方案的方差，则方差越小，方案越好。试问同时考虑方案的期望和方差时，如何 选择最优方案？试举例说明。可采用变异系数来比较选择，变异系数定义为:二-E（A）二，其中e

15、（A）表示方案 D（A）4.某杂志零售商店，对汽车杂志每月的销售量根据历史资料估计如下表所示。每月销售量/千本12345概率0.100.150.300.20这种杂志每本零售价为 2.6元，每本批进价为2.0元。试问：（1）若卖不出去的杂志可以按批进价退回，该店每月应订购多少本汽车？（2）若卖不出去的杂志不能退回，但下月可以按零售价对折即按每本 1.3元出售，这样,该店每月应订购多少本汽车？ 解：（1 ）易知订购5000本最好。（2）若订购1千本，则期望收益值为： E（A） （2.6 2） 1000 600（元）若订购2千本，则可能卖完，也可能剩余 1千本，不同状态下的收益值为:自然状态卖2千本

16、卖1千本收益值1200-100则期望收益值为： E（A2） 1200 0.9+ （-100 0.1=1070（元）同理可得：E（A0 1800 0.75+500 0.15+ （-800 0.1 = 1345（元）E（A4） 2400 0.45+1100 0.3+ （-200） 0.15+ （-1500 0.1 = 1230（元）从而订购3000本的期望收益最大，即应进 3000本杂志。5.某工程队承担一座桥梁的施工任务。由于施工地区夏季多雨，需停工三个月。在停 工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处。如搬走，需搬运费 1800元。如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位

17、的侵袭。 若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元。如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受 到60000元的损失。根据历史资料，该地区夏季出现洪水的概率为 2%,出现高水位的概率为25%，出现正常水位的概率为 73%，试用决策树法为该施工队做出最优决策。绘制决策树如下：留原处60000元10000元搬走1800元从决策树可以计算得出：搬走的期望费用为1800元;留原处筑堤的期望费用为： 5000+2%*60000+25%*0+73%*0=6200元留原处不筑堤的期望费用为： 2%*60000+25%*10000+73%*0=3700元由以上比较可知搬走是最好的选择。

18、6.某企业从事石油钻探工作。企业准备与某石油公司签订合同，钻探一片可能产油的勘探点。该企业可供选择的方案有两种： 一是先做地震试验， 看试验结果如何，再决定是否要钻井；二是不做地震试验，只凭经验决定是否要钻井。做试验要花 3千元，钻井要花 1万元。如钻出石油可获得 5万元（即公司付给企业 5万元）；若钻不出石油，则企业没有收入。根据历史资料的分析估计： 做地震试验其结果良好的概率为 0.6,不好的概率为0.4；经地震试验为良好时，钻井出油的概率为 0.85，钻井不出油的概率为 0.15 ;经地震试验为不好时，钻井出油的概率为 0.1，钻井不出油的概率为 0.9；不经地震试验而钻井时，出油的概率

19、为0.55，不出油的概率为 0.45。试用决策树法为该企业做出最优方案。出油0.855万元不出油由决策树可以得出如下期望收益值：不做实验的期望收益为： 0.55*50000=17500元做实验期望收益值为：-3000+（0.85*50000+0.15*0-10000 ） *0.6=16500 元即不做实验钻井。7* 某厂因某项工艺不够先进，生产成本较高，现计划将该项工艺加以改进。取得新工 艺有两种途径：一种是自行研究，投资额 270万元，估计成功的可能性是 0.6 ; 种是购买专利引进技术，投资额 300万元，估计成功的可能性是 0.8。无论自行研究还是引进技术成功，其主要设备寿命期均为 5年

20、，生产规模都考虑两种方案： 其一是生产量不变； 其二是增加产量。如果自行研究和购买专利都失败，则仍采用原工艺进行生产，并保持原产量不变。根据市场预测，估计今后 5年内这种产品降价的可能性是 0.1，保持原价的可能性是 0.5 ,涨价的可能性是0.4，各状态下的损益值如下表。试确定最佳方案。按原工 艺牛产购买专利成功（0.8）自行研究成功（0.6）产量不变增加产量价格低落（0.1）-200-300价格中等（0.5）50-250价格高涨（0.4）100150250200600按原工艺期望收益值： -100*0.1 + 100*0.4=30购买专利期望收益值:0.8* （ max （-200*0.1

21、+50*0.5+150*0.4 ） , （-300*0.1+50*0.5+250*0.4 ） ） =76自行研究期望收益值：0.6* （ max （-200*0.1+0*0.5+200*0.4 ） , （-300*0.1-250*0.5+6000*0.4 ） ） =51从而可以得出：应该选择购买专利产品，并且增加产量。&我国某机器厂与美国一家公司签署明年生产经营合同。如果该厂承担 Q型机床的生产，则在该年度可稳获利润 800万元；如果承担另一种 J型采掘机，所获利润就有三种可能性：如果国外某公司在澳洲开采铁矿完全成功，急需 J型采掘机，便可大大获利 2500万元；如只开采出澳洲南部的二个分矿，

22、可推销出大部 J型机，能获利 900万元；但若铁矿开采失败，就要因该采掘机滞销积压而亏损 500万元。我厂方据各方面获悉的情报，预测出澳洲铁矿完全开采成功的可能性为 0.3,南部二分厂开采成功的可能性为 0.4，完全开采失败的可能性为 0.3。尽管前两种可能性加起来可达 0.7,厂方领导人还是认为：鉴于工厂经不起亏损，应当避开亏损 500万元的风险，故打算放弃生产 J型机。这时美方又提出，如生产另一种最新型号的 S型采矿机，即使澳洲矿完全开采失败，也可稍加改制后当作其它机器售出而获利120万元，而在前两种情况下却可获利 1500万元（完全开采成功）或850万元（部分开采成功）。在上述三种方案中

23、， 除了第一个方案外， 后两种方案都有可能获得较 大的利润，尤其是第三个方案又不承担亏损的风险。所以工厂有可能接受 S型采矿机的生产。试利用决策分析方法进行抉择。假定其效用函数为u（）0.168 1.190.02 r*-其中为后果值，* 2500, *500解:由题意可求得：u（1500） 0.8197，u（2500） 1。E（Q） 0.6346， E（J） 1*0.3 0.4*0.6635 0.5654E（S） 0.8197*0.3 0.6491*0.4 0.3995*0.3 0.6247从而：E（Q） E（S） E（J）故因选择生产 Q型机器。9.某企业为了扩大生产经营业务、准备生产一种新

24、产品，生产这种新产品有三个可行方案：A 改造本企业原有的生产线； A2 从国外引进一条高效自动生产线； A 是按专业化协作组织生产。对未来几年内市场需求状况只能大致估计有高需求、 中等需求和低需求三种可能，每个方案在各需求状况下的收益估计值如下表所示。万案需求状况咼需求中等需求:低需求A180115240140351209070（1） 试用乐观准则进行决策；乐观准则：m严max（Aj） 240，从而 A为最优方案；即，该公司应从国外引进一条高 效自动生产线。（2） 试用悲观准则进行决策；悲观准则： maxmin（Aj） 70，从而 A为最优方案；即，该公司应按专业化协作组织j生产。（3） 试用折衷决策准则进行决策取=0.6，根据折衷准则，有：E（A）0.60.4128158E（A0（4）试用后悔准则进行决策； 首先根据收益值表得到如下的后悔值表:后悔值max低需求602520然后从三个最大后悔值60,35,120中选择最小的一个，由于35对应的方案为 A，故A2为最优方案。（5 ）试用等可能性准则进行决策。-（180 115+50）E（A2）-（240+140+35）138.3E（A3）（120+90+70）93.3