斐波那契数列算法分析Word文档格式.docx

1、递归程序1：Fibonacci数列可以用很直观的二叉递归程序来写，用C+语言的描述如下：longfib1（intn） if（n=2的时候我们分析可知：T（N）=T（N-1）+T（N-2）+2而fib（n）=fib（n-1）+fib（n-2），所以有T（N）=fib（n），归纳法证明可得：fib（N）4时，fib（N）=（3/2）N标准写法：显然这个O（3/2）N）是以指数增长的算法，基本上是最坏的情况。其实，这违反了递归的一个规则：合成效益法则。合成效益法则（Compoundinterestrule）：在求解一个问题的同一实例的时候，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。所以在上面的代码中调用

2、fib（N-1）的时候实际上同时计算了fib（N-2）。这种小的重复计算在递归过程中就会产生巨大的运行时间。递归程序2：用一叉递归程序就可以得到近似线性的效率，用C+语言的描述如下：longfib（intn,longa,longb,intcount） if（count=n） returnb; returnfib（n,b,a+b,+count）;longfib2（intn） returnfib（n,0,1,1）;这种方法虽然是递归了，但是并不直观，而且效率上相比下面的迭代循环并没有优势。迭代解法：Fibonacci数列用迭代程序来写也很容易，用C+语言的描述如下：/也可以用数组将每次计算的f（n

3、）存储下来，用来下次计算用（空间换时间）longfib3（intn） longx=0,y=1; for（intj=1;jn;j+） y=x+y; x=y-x; returny;这时程序的效率显然为O（N），N=45的时候可以将它写成矩阵乘法形式：将右边连续的展开就得到：下面就是要用O（log（n）的算法计算：显然用二分法来求，结合一些面向对象的概念，C+代码如下：classMatrixpublic: longmatr22; Matrix（constMatrix&rhs）; Matrix（longa,longb,longc,longd）; Matrix&operator=（constMatrix

4、&）; friendMatrixoperator*（constMatrix&lhs,constMatrix&rhs） Matrixret（0,0,0,0）; 00=00*00+01*10; 01=00*01+01*11; 10=10*00+11*10; 11=10*01+11*11; returnret;Matrix:Matrix（longa,longb,longc,longd） this-matr00=a;matr01=b;matr10=c;matr11=d;Matrix（constMatrix&matr00=00;matr01=01;matr10=10;matr11=11;Matrix&

5、return*this;Matrixpower（constMatrix&m,intn） if（n=1） returnm; if（n%2=0） returnpower（m*m,n/2）; returnpower（m*m,n/2）*m;longfib4（intn） Matrixmatrix0（1,1,1,0）; matrix0=power（matrix0,n-1）; 00;这时程序的效率为O（log（N）。公式解法：在O（1）的时间就能求得到F（n）了：注意：其中x表示取距离x最近的整数。用C+写的代码如下：longfib5（intn） doublez=sqrt; doublex=（1+z）/2;

6、 doubley=（1-z）/2; return（pow（x,n）-pow（y,n）/z+;这个与数学库实现开方和乘方本身效率有关的，我想应该还是在O（log（n）的效率。总结：上面给出了5中求解斐波那契数列的方法，用测试程序主函数如下：intmain（） coutfib1（45）endl;fib2（45）fib3（45）fib4（45）coutfib5（45） return0;函数fib1会等待好久，其它的都能很快得出结果，并且相同为：。而后面两种只有在的时候会显示出优势。由于我的程序都没有涉及到高精度，所以要是求大数据的话，可以通过取模来获得结果的后4位来测试效率与正确性。另外斐波那契数列

7、在实际工作中应该用的很少，尤其是当数据n很大的时候（例如：），所以综合考虑基本普通的非递归O（n）方法就很好了，没有必要用矩阵乘法。1、N皇后问题算法设计ALGORITHMprocedurePLACE（k）/如果一个皇后能放在第k行的X（k）列，则返回true；否则返回false。X是一个全程数组，进入此过程时已置了k个值。/globalX（1：k）；integeri，ki1whilei0do/对所有的行执行以下语句/X（k）X（k）+1/移到下一列/WhileX（k）nandnotPLACE（k）doX（k）X（k）十l;/如果第k个皇后的列X（k）不合理，就看下一列/ifX（k）n/找到一

8、个位置/thenifk=n/是一个完整的解吗/thenprint（X）/是，打印这个数组/elsekk+1；X（k）0；endif/扩展，搜索下一个皇后/elsekk1/回溯/endifendNQUEENSProgram:#includeintk=0,a20,j=1,flag,n,c=0;/k为解的个数,n为皇后的个数,flag标记有没有放置皇后voidlycQueen（）/递归求解函数inti,h;/i为行号,h为列号for（h=1;h=n;h+）aj=h;for（i=1;ij;i+）/将第j个皇后的位置依次跟前面j-1个皇后比较if（ai=aj|abs（aj-ai）=abs（j-i）fla

9、g=0;break;/两个皇后在同一行或者同一对角线上,冲突elseflag=1;/没冲突,放置一个皇后/forif（flag=0&aj!=n）continue;/没试探完,继续试探if（flag=1&j=n）/放置完n个皇后,得到一个解k=k+1;c=1;/解的个数加1i+）printf（%d,ai）;/输出第i个皇后放置的行号nif（aj=n）flag=0;/ifj!=n）j+;lycQueen（）;/递归调用aj=n）j-;/回溯,退回去重新试探/lycQueenvoidmain（）inti;请输入皇后的个数:scanf（,&n）;/输入皇后的个数nj=1;i+）aj=i;j=j+1;/调用lycQueen函数if（c=1）j=1;解的个数为%d个n,k）;/main