C++经典算法文档格式.docx

1、 m:=1;a1,1:h:for i:=1 to n do m:=m*2; repeat for i:=1 to h do for j:=1 to h do begin ai,j+h:=ai,j+h;构造右上角方阵 ai+h,j:=ai,j+h;构造左下角方阵 ai+h,j+h:=ai,j;构造右下角方阵 end; h:=h*2; until h=m;=1 to m do begin=1 to m do write（ai,j:4）; writeln;end.在分治算法中，若将原问题分解成两个较小的子问题，我们称之为二分法，由于二分法划分简单，所以使用非常广泛。使用二分法与使用枚举法求解问题相比

2、较，时间复杂度由O（N）降到O（log2N），在很多实际问题中，我们可以通过使用二分法，达到提高算法效率的目的，如下面的例子。例2 一元三次方程求解（noip2001tg） 题目大意：给出一个一元三次方程f（x）=ax3+bx2+cx+d=0 ,求它的三个根。所有的根都在区间-100，100中，并保证方程有三个实根，且它们之间的差不小于1。在讲解枚举法时，我们讨论了如何用枚举法求解此题，但如果求解的精度进一步提高，使用枚举法就无能为力了，在此我们再一次讨论如何用二分法求解此题。由题意知（i,i+1）中若有根，则只有一个根，我们枚举根的值域中的每一个整数x（-100x100）,设定搜索区间x1，

3、x2，其中x1=x，x2=x+1。若：f（x1）=0，则确定x1为f（x）的根；f（x1）*f（x2）0，则确定根x不在区间x1，x2内，设定x2，x2+1为下一个搜索区间；若确定根x在区间x1，x2内，采用二分法，将区间x1，x2分成左右两个子区间：左子区间x1，x和右子区间x，x2（其中x=（x1+x2）/2）。如果f（x1）*f（x）0，则确定根在左区间x1，x内，将x设为该区间的右界值（x2=x），继续对左区间进行对分；否则确定根在右区间x，x2内，将x设为该区间的左界值（x1=x），继续对右区间进行对分；上述对分过程一直进行到区间的间距满足精度要求为止（即x2-x10.005）。此时

4、确定x1为f（x）的根。$N+ x: a,b,c,d,x1,x2,xx:extended;function f（x:extended）: f:=（a*x+b）*x+c）*x+d;end; read（a,b,c,d）; for x:=-100 to 100 do x1:=x;x2:=x+1; if f（x1）=0 then write（x1:0:2, ） else if f（x1）*f（x2）=0.005 do xx:=（x1+x2）/2; if f（x1）*f（xx）a2ar;（2） 其中第i位数（1=ir-i;我们按以上原则先确定第一个数，再逐位生成所有的r个数，如果当前数符合要求，则添加下

5、一个数;否则返回到上一个数，改变上一个数的值再判断是否符合要求，如果符合要求，则继续添加下一个数，否则返回到上一个数，改变上一个数的值按此规则不断循环搜索，直到找出r个数的组合，这种求解方法就是回溯法。如果按以上方法生成了第i位数ai，下一步的的处理为：（1） 若air-i且i=r，则输出这r个数并改变ai的值:ai=ai-1;（2） 若air-i且ir，则继续生成下一位ai+1=ai-1;（3） 若air-1则重复：若air-i，若i=r，则输出解，并且ai:=ai-1;若ir，则继续生成下一位：ai+1:=i+1;若 air-i then 符合条件 if i=r then 输出for j:

6、=1 to r do write（aj:3）;writeln; endelse 继续搜索begin ai+1:end else回溯 begin i: until a1=r-1;下面我们再通过另一个例子看看回溯在信息学奥赛中的应用。例2 数的划分（noip2001tg）问题描述 整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同（不考虑顺序）。例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。1，1，5; 1，5，1; 5，1，1;问有多少种不同的分法。输入：n，k （6n=200，2=k=6）输出：一个整数，即不同的分法。样例 7 34 四种分法为：1,1,5; 1,2,4; 1,3,3; 2,

7、2,3;此题可以用回溯法求解，设自然数n拆分为a1,a2,ak,必须满足以下两个条件：（1） n=a1+a2+ak ；（2） a1=a2=ak （避免重复计算）；现假设己求得的拆分数为a1,a2,ai,且都满足以上两个条件,设sum=n-a1-a2-ai,我们根据不同的情形进行处理：（1） 如果i=k,则得到一个解，则计数器t加1，并回溯到上一步，改变ai-1的值；（2） 如果i=ai,则添加下一个元素ai+1；（3） 如果ik且sumai,则说明达不到目标，回溯到上一步，改变ai-1的值；算法实现步骤如下：输入自然数n,k并初始化；t:=0;ai: sum:=n-1; nk:=n div k

8、;如果a1=ai则继续搜索；若sum=ai then 判断是否回溯begin inc（i）;end继续搜 else begin dec（i）;回溯 until a1nk; writeln（t）;回溯法是通过尝试和纠正错误来寻找答案，是一种通用解题法，在NOIP中有许多涉及搜索问题的题目都可以用回溯法来求解递归算法算法 递归算法的定义：如果一个对象的描述中包含它本身，我们就称这个对象是递归的，这种用递归来描述的算法称为递归算法。我们先来看看大家熟知的一个的故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，他说从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，他说上面的故事本身是

9、递归的，用递归算法描述：procedure bonze-tell-story； if 讲话被打断 then 故事结束从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事；bonze-tell-story；end从上面的递归事例不难看出，递归算法存在的两个必要条件：（1） 必须有递归的终止条件；（2） 过程的描述中包含它本身；在设计递归算法中，如何将一个问题转化为递归的问题，是初学者面临的难题，下面我们通过分析汉诺塔问题，看看如何用递归算法来求解问题；例1：汉诺塔问题，如下图，有A、B、C三根柱子。A柱子上按从小到大的顺序堆放了N个盘子，现在要把全部盘子从A柱移动到C柱，移动过程中可以借助B柱

10、。移动时有如下要求：（1） 一次只能移动一个盘子；（2） 不允许把大盘放在小盘上边；（3） 盘子只能放在三根柱子上；当盘子比较多的时，问题比较复杂，所以我们先分析简单的情况：如果只有一个盘子，只需一步，直接把它从A柱移动到C柱；如果是二个盘子，共需要移动3步:（1） 把A柱上的小盘子移动到B柱;（2） 把A柱上的大盘子移动到C柱；（3） 把B柱上的大盘子移动到C柱；如果N比较大时，需要很多步才能完成，我们先考虑是否能把复杂的移动过程转化为简单的移动过程，如果要把A柱上最大的盘子移动到C柱上去，必须先把上面的N-1个盘子从A柱移动到B柱上暂存，按这种思路，就可以把N个盘子的移动过程分作3大步：（

11、1） 把A柱上面的N-1个盘子移动到B柱；（2） 把A柱上剩下的一个盘子移动到C柱；（3） 把B柱上面的N-1个盘子移动到C柱；其中N-1个盘子的移动过程又可按同样的方法分为三大步，这样就把移动过程转化为一个递归的过程，直到最后只剩下一个盘子，按照移动一个盘子的方法移动，递归结束。递归过程：procedure Hanoi（N,A,B,C:）；以B柱为中转柱将N个盘子从A柱移动到C柱 if N=1 then write（A,-,C）把盘子直接从A移动到Celse begin Hanoi（N-1,A,C,B）； 以C柱为中转柱将N-1个盘子从A柱移动到B柱 write（A,-,C）；把剩下的一个盘

12、子从A移动到C Hanoi（N-1,B,A,C）； 以A柱为中转柱将N-1个盘子从B柱移动到C柱从上面的例子我们可以看出，在使用递归算法时，首先弄清楚简单情况下的解法，然后弄清楚如何把复杂情况归纳为更简单的情况。在信息学奥赛中有的问题的结构或所处理的数据本身是递归定义的，这样的问题非常适合用递归算法来求解，对于这类问题，我们把它分解为具有相同性质的若干个子问题，如果子问题解决了，原问题也就解决了。例2求先序排列 （NOIP2001pj）问题描述给出一棵二叉树的中序与后序排列。求出它的先序排列。（约定树结点用不同的大写字母表示，长度8）。样例 输入：BADC BDCA 输出：ABCD我们先看看三

13、种遍历的定义：先序遍历是先访问根结点，再遍历左子树，最后遍历右子树；中序遍历是先遍历左子树，再访问根结点，最后遍历右子树；后序遍历是先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根结点；从遍历的定义可知，后序排列的最后一个字符即为这棵树的根节点；在中序排列中，根结点前面的为其左子树，根结点后面的为其右子树；我们可以由后序排列求得根结点，再由根结点在中序排列的位置确定左子树和右子树，把左子树和右子树各看作一个单独的树。这样，就把一棵树分解为具有相同性质的二棵子树，一直递归下去，当分解的子树为空时，递归结束，在递归过程中，按先序遍历的规则输出求得的各个根结点，输出的结果即为原问题的解。源程序program

14、noip2001_3;varz,h : string;procedure make（z,h:string）; z为中序排列,h为后序排列vars,m : integer;begin =length（h）;m为树的长度write（hm）; 输出根节点s:=pos（hm,z）; 求根节点在中序排列中的位置if s1 then make（copy（z,1,s-1）,copy（h,1,s-1）; 处理左子树if ms then make（copy（z,s+1,m-s）,copy（h,s,m-s）; 处理右子树readln（z）;readln（h）;make（z,h）;递归算法不仅仅是用于求解递归描述的

15、问题，在其它很多问题中也可以用到递归思想，如回溯法、分治法、动态规划法等算法中都可以使用递归思想来实现，从而使编写的程序更加简洁。比如上期回溯法所讲的例2数的划分问题，若用递归来求解，程序非常短小且效率很高，源程序如下 n,k: tol:procedure make（sum,t,d:integer）;var i: if d=k then inc（tol） else for i:=t to sum div 2 do make（sum-i,i,d+1）;tol: make（n,1,1）; writeln（tol）;有些问题本身是递归定义的，但它并不适合用递归算法来求解，如斐波那契（Fibonacc

16、i）数列，它的递归定义为：F（n）=1 （n=1,2）F（n）=F（n-2）+F（n-1） （n2）用递归过程描述为：Funtion fb（n:integer）:Begin if n（2,3）-（4,4），若不存在路径,则输出no我们以44的棋盘为例进行分析，用树形结构表示马走的所有过程（如下图），求从起点到终点的路径,实际上就是从根结点开始深度优先搜索这棵树。马从（1，1）开始， 按深度优先搜索法，走一步到达（2，3），判断是否到达终点，若没有，则继续往前走，再走一步到达（4，4），然后判断是否到达终点，若到达则退出，搜索过程结束。为了减少搜索次数，在马走的过程中，判断下一步所走的位置是否在

17、棋盘上，如果不在棋盘上，则另选一条路径再走。const dx:array1.4of integer=（2,2,1,1）; dy:array1.4of integer=（1,-1,2,-2）;type map=record x,y: i,n,m:array0.50of map;procedure dfs（i:var j:=1 to 4 doif （ai-1.x+dxj0）and（ai-1.x+dxj0）and（ai-1.y+dyj,aj.x,aj.y, halt;输出结果并退出程序 dfs（i+1）;搜索下一步ai.y:出栈 a1.x:a1.y: readln（n,m）; dfs（2）; writeln（no从上面的例子我们可以看出，深度优先搜索算法有两个特点：1、己产生的结点按深度排序，深度大的结点先得到扩展，即先产生它的子结点。2、深度大的结点是后产生的，但先得到扩展，即“后产生先扩展”，与栈的工作原理相同，因此用堆栈作为该算法的主要数据结构，存储产生的结点。对于不同的问题，深度优先搜索算法基本上是一样的，但在具体处理方法和编