第14招抽象函数的图像和性质Word文档下载推荐.docx

1、题型二抽象函数的值域般利用抽象函数的单调性来分析解答【例2】 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数 X、y , f （x y）rf（x）f（y）总成立，且存在Xi - X2，使得f（Xi） = f（X2），求函数f （x）的值域【解析】令x = F = 得f（0） = Lf（0）為即有/（0）=0或/（0） = 1一若7（0） =0,则/（x） = /（x+0） = /（x）/（0） = 0,对任意葢亡盘均成立，这与存在实数耳使得曲）芒/（乞）成立矛盾，故/（0）0,必有/（0） = 1.由于f仗亠y） = 对任竜yR均成立,因此，对任意送R,有 冷 + 対二 /（f ）/（） = 0下

2、面来证明，对任意M乩/（X）0设存在 xoeJ?, ffiW/（xo） = O,则 /（0） = /（ - ） = /（）/（-） = 0遠与上面已证的）2 0矛盾，因此，对任青*乩/（功芒0,所以/（）【点评】在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段【反馈检测2】已知函数f （x）的定义域为 0,11,且同时满足：（1）对任意 10,11,总有f（x）_2 ； f （1） =3 （3）若 xi _ 0, X2 _ 0 且 Xi X2 -1，则有 f（Xi X2） _ f（Xi） f （血）- 2.（I）求f （0）的值；（II）求f （x）的最大

3、值.题型三抽象函数的奇偶性利用奇偶函数的定义判断证明，多用赋值法 【例3】已知函数f（x）（x.二R, x = 0）对任意不等于零的实数 xx2都有f （x1x2） = f（xj f（x2）, 试判断函数f（x）的奇偶性.【解析】取为=7 比=1 得：/（-i）=/（-i）+/ffi, Brtt/q）=o又取曲二勺二T得：/（1） 所以f（T） = o再取孔二 X, = -1 则 /（-X）= /（-I） + /W ,艮卩子（一力=/（X）因为/GO为非零的数，所以为偶iSi数【点评】（1）抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则

4、函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求f（-x）；最后比较f（-x）和f（x）的关系，如果有f（-x）=f（x），则函数是偶函数,如果有f（-x）=-f（x）， 则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 （ 2）要判断抽象函数的奇偶性，多用赋值法，给已知的等式中的变量取恰当的值，如 x,-x,0, -1,1等，有时需要多次赋值，才能达到解题目标 学科网【反馈检测3】定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数 x, y都有f（x yH f（x） f（y）成立, 且当x 0时f（x） ：0恒成立（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明f（x）为减函数；若函数

5、f（x）在-3,3）上总有f（x）乞6成立，试确定f （1）应满足的条件题型四抽象函数的单调性一般利用函数单调性的定义分析解答 【例4】 设f （x）定义于实数集上，当 x . 0时，f （x） . 1，且对于任意实数 x, y，有f（x y） = f（x） f（y），求证：f （x）在R上为增函数.【解析】证明：中取龙=0,得/（0） = /（0）2 若/（0） = 0, H y, /（%） = 0,与（力1 矛盾所以/（0*0,即有/0B寸，/（x） 1 0 当x0f f（-x） 而/（x） /（-x） = /（0） = lf（-x）又Sx = 0时，/（0） = 1所以对任意xcRf恒有

6、/（x） 设-：X: X2 二，则 X2 -X! 0, f（X2 - xj 1所以 f（Xi）- f（X2）= f （Xi） - fXi +（X2 - Xi） = f （Xi） - f （Xi） f （X2 - Xi）=f （Xi）（i - f （X2 - Xi）因为 f （xj 0 i- f （x2 - x-i） 0 所以 f （x-i） f （x2）所以y二f （x）在R上为增函数.（i）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的，同样利用函数的单调性的定义（ 2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简,f（X1）- f（x 2）=f（X1）- fX1 +（X2- X

7、1） = f（X1）- f（X1）f（X2- X1）= f （X1）（1- f（X2- X1）这是解答的关键，想方设法把变量X1或X2，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号 【反馈检测4】已知函数f （x）的定义域为R,对任意实数 m, n都有f（m n） = f（m）f（ n）,且当x 0时,0 ： f （x） 1 ;（2）证明：f （x）在R上单调递减.【反馈检测5】函数f （x）对于x 0有意义，且满足条件f （2） =1, f （xy） = f （x） f （y）, f （x）是减函（1）证明：f（1）=0 ；（2）若f （x） f（x-3）_2成立，求x的取值范围【反馈检测6】已知函

8、数f（x）满足f（1）=2，且对任意x, yR都有f（x_y）二丄凶，记f（y）n 10I 丨 aai a? |）|an,则i f （6 i）二 i 1 i 4题型五抽象函数的周期性一般先结合已知猜想函数的周期，再利用周期性的定义证明【例6】已知函数f （x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线 x = 1对称.（1）求f（0）的值；函数f （x）是周期函数；（3）若f （x） =x（0 : x乞1）,求当R时，函数f （x）的解析式，并画出满足条件的函数 f （x）至少一个周 期的图象【解析】解:；丁（兀）为丘上的奇函数对任意*乩都= 则/（-0） = -/（o）/./（o）=o证明厂丁

9、（龙）为上的奇函数，二对任誉艾芒&都有/（一=3v /（X）的團象关于直线1对称对任青龙丘e都有/a+x=/d-x）,二用 1+兀代兀得/（2 +%） = /1 -（1 + 切二 /（-%） = -/（x）打2 +（2-x） = /（疋+2） = 4-/W=/W即/（4十力二 /（x） f （x）杲周期函数? 4是其周期.当 4k 一1 岂 x 乞 4k 1 时，f （x） = x 4k， k Z当 4k 1 ： x ： 4k 3 时，f （x） - -x 2 -4k， k Z图象如下:f（x -4k（4k-4k 1）I-x+2-4k（4k+1 cx0 ,由已知f （可一可）=0 （1）又 /

10、（ -） = -/（）由 （2）得fgXg）,根擔函数单调性的定义知/（在（-x.+x）上是减函数.（工）在73）上的最犬值为（）.要使点Q“恒成立，当且仅当/（-3）-2【反馈检测4答案】（1 ）见解析；（2）见解析.【反馈检测4详细解析】证明;令刑=0/ = 1,则/（0+1）=只/（I）VSx0Bt 0/W0,Z. /（0）二 13 VxQ 时，0 1二当x0,则/（-x+x） = /（-j0/（x） =/（x）=丿鱼=/（-x）任取逝，花E必且工1总花，则/（花）/（坷）=71（乞一两）十珀f 3）=/（比幻/（兀）-3）= /厲-对11/3） :冯一码 aO,二IKOcf（花一x0v

11、l,古攵/（冯一坷）一1故“0 /（X,）.a数/（是农上的单调减迢数.【反馈检测5答案】（2） x v/（2） = l 二log。2 = 1 a 7=2 . ./（x）=log;x /. /（8） = hg28=log: 2a=3（1）抽象函数的性质往往是从常见的正比例函数、 指数函数、对数函数和幕函数中抽象出来的，所以在解答抽象函数的客观题时，可以根据抽象函数的性质寻找对应的函数模型， 再利用具体函数来解答.（2）常见的模型有：f （x 士 y）二f （x）二f （y）=正比例函数f （x）二kx（k = 0），f（x y）二 f （x） f （y）= 指数函数 f （x）二 ax（a 0,且 a = 1）， f （xy）二 f（ x）f（y）= 幕函数 f（x）=x a， f（xy）=f（x）+f（y）=对数函数 f（x）=logax（a 0,且a=1）.