北师大版小学六年级数学数学行程问题和工程问题例题精讲.docx

1、北师大版小学六年级数学数学行程问题和工程问题例题精讲大连五四路小学数学研究组小学六年级必须掌握的行程问题1、行程问题：行程问题可以大概分为简单问题、相遇问题、时钟问题等。2、常用公式：1）速度时间=路程；路程速度=时间；路程时间=速度；2）速度和时间=路程和；3）速度差时间=路程差。3、常用比例关系：1）速度相同，时间比等于路程比；2）时间相同，速度比等于路程比；3）路程相同，速度比等于时间的反比。4、行程问题中的公式：1）顺水速度=静水速度+水流速度；2）逆水速度=静水速度水流速度。例1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：回来用了多少时间？分析与解答：在行

2、程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：去时，有sv=s/v=4，则回来时的时间为：，即回来时用了3.5小时。评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。例2：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。解答：后半段路程长：2402=120（千米），后半段用时为：620.5=2.5（小时

3、），后半段行驶速度应为：1202.5=48(千米/时)，原计划速度为：2406=40（千米/时），汽车在后半段加快了：4840=8（千米/时）。答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。例3：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。解答：轮船顺水速度为23111=21（千米/时），轮船逆水速度为2110=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：2111=10（小时）答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。例4：汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小

4、时48千米的速度返回到甲地，求该车的平均速度。分析：求平均速度，首先就要考虑总路程除以总时间的方法是否可行。解答：设从甲地到乙地距离为s千米，则汽车往返用的时间为：s48+s72=s/48+s/72=5s/144，平均速度为：2s5s/144=144/52=57.6(千米/时)评注：平均速度并不是简单求几个速度的平均值，因为用各速度行驶的时间不一样。例5：一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？分析：求速度，首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程和总时间的关系

5、。解答：剩下的路程为300120=180（千米），计划总时间为：30050=6（小时），剩下的路程计划用时为：612040=3（小时），剩下的路程速度应为：1803=60（千米/小时），即剩下的路程应以60千米/时行驶。评注：在简单行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法。例6：骑自行车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行驶，下午1时到；以每小时15千米的速度行驶，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到；如果希望中午12时到，应以怎样的速度行进？分析：求速度，先找相应的路程和时间，本题中给了以两种方法骑行的结果，这是求路程和时间的关键。解答：考虑若以10千米/时的速度骑行

6、，在上午11时，距离乙地应该还有102=20（千米），也就是说从出发到11时这段时间内，以15千米/时骑行比以10千米/时骑行快20千米，由此可知这段骑行用时为：20（1510）=4（小时），总路程为154=60（千米），若中午12时到达需总用时为5小时，因此骑行速度为605=12（千米/时），即若想12时到达，应以12千米/时速度骑行。例7：一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，时速1500千米，回来时逆风，时速为1200千米，这架飞机最多飞出多远就需往回飞？分析：求路程，需要速度和时间，题目中来回速度及总时间已知，我们可以选择两种方法：一是求往、返各用多少时间，再与速度相乘，二

7、是求平均速度与总时间相乘，下面给出求往返时间的方法。解答：设飞机去时顺风飞行时间为t小时，则有：1500t=1200(6t),2700t=7200,t=8/3(小时)，飞机飞行距离为15008/3=4000（千米）评注：本题利用比例可以更直接求得往、返的时速，往返速度比5：4，因此时间比为4：5，又由总时间6小时即可求得往、返分别用时，在往返的问题中一定要充分利用往返路程相同这个条件。例8：有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡，平路及下坡的路程相等，某人骑车过桥时，上坡平路，下坡的速度分别为每秒4米、6米、8米，求他过桥的平均速度。分析：上坡、平路及下坡的路程相等很重要，

8、平均速度还是要由总路程除以总时间求得。解答：设这座桥上坡、平路、下坡各长为S米，某人骑车过桥总时间为：s4+s6+s8=s/4+s/6+s/8=13/24s，平均速度为：3s13/24s=24/133=72/13=5又7/13（秒），即骑车过桥平均速度为5又7/13秒。评注：求平均速度并不需要具体的路程时间，只要知道各段速度不同的路程或时间之间的关系即可，另外，三段或更多路的问题与两段路没有本质上的差别，不要被这个条件迷惑。例9：某人要到60千米外的农场去，开始他以每小时5千米的速度步行，后来一辆18千米/时的拖拉机把他送到农场，总共用了5.5小时，问：他步行了多远？解答：如果5.5小时全部乘

9、拖拉机，可以行进：185.5=99(千米)，其中9960=39（千米），这39千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求行走的时间为39（185）=3（小时），即这个走了3个小时，距离为53=15（千米），即这个人步行了15千米。评注：在以两种速度行进的题目中，假设是以一种速度行进，通过行程并和速度差求时间非常重要的方法。例10：已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒，求火车的速度和长度。分析：本题关键在求得火车行驶120秒和80秒所对应的距离。解答：设火车长为L米，则火车

10、从开始上桥到完全下桥行驶的距离为（1000L）米，火车完全在桥上的行驶距离为（1000L）米，设火车行进速度为u米/秒，则： 由此知200u=2000，从而u=10，L=200，即火车长为200米，速度为10米/秒。评注：行程问题中的路程、速度、时间一定要对应才能计算，另外，注意速度、时间、路程的单位也要对应。例11：甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少1/5，乙用的时间比甲多了1/8，问甲、乙两人的速度之比是多少？分析：速度比可以通过路程比和时间比直接求得。解答：设甲走了S米，用时T秒，则乙走了S（11/5）=5/4 S（米），用时为：T（1+1/8）=9/8 T（秒），甲速度为：S/T，乙

11、速度为：5/4 S 9/8 T=10S/9T，甲乙速度比为S/T ：10S/9T=9：10评注：甲、乙路程比4/5，时间比8/9，速度比可直接用：4/5 8/9=9/10，即9：10。例12：一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6小时，逆流要8小时，水流速度为每小时2.5千米，求船在静水中的速度。分析：顺流船速是静水船速与水流速度之和，而逆流船速是两者之差，由此可见，顺流与逆流船速之差是水流速的2倍，这就是关键。解答：设船在静水中速度为U千米/时，则：（U+2.5）6=(U2.5)8，解得U=17.5，即船在静水中速度为17.5千米/时。评注：行船问题是行程问题中常见的一种，解这些题时注意

12、船速、水流之间的关系。例13：甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以每小时4.5千米的速度走了路程的一半，又以每小时4.5千米的速度走完了另一半，乙班用一半时间以每小时4.5千米的速度行进，另一半时间以每小时5.5千米的速度行进，问：甲、乙两班谁将获胜？分析：表面上看两班行军都是两种速度各一半，但时间的一半与路程的一半是不同的。解答：设总路程为S千米，则：甲班用时：T1=S/2 4.5S/25.5=S/9S/11=20/99S(小时)，乙班用时：T2=S （4.55.5）2=1/5 S(小时)，比较可得：T1T2，即乙班用时较短，会获胜。评注：以上解法具体分析了两种方法的用时，其实我们只从性质分析

13、，已用一半时间快走，一半时间慢走，所以快走的路程比慢走的距离长，也就是说乙用快速走的路程超过了总路程的一半，因此自然比甲班快。这道题也代表了一类的问题。例14：甲、乙两人在400米环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑，两个第一次相遇与第二次相遇间隔40秒，已知甲每秒跑6米，问乙每秒跑多少米？分析：环形跑道上相反而行，形成了相遇问题，也就是路程、时间及速度和关系的问题。解答：第一次相遇到第二次相遇，两个人一共跑400米，因此速度和为40040=10（米/秒），乙速度为106=4（米/秒），即乙每秒跑4米。评注：环形跑道上的相遇问题要注意一定时间内两人行进路程的总和是多少。例15：一辆公共汽车和一辆

14、小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少时间两车再次相距69千米？分析：相遇问题中求时间，就需要速度和及总路程，确定相应总路程是本题重点。解答：第一次相距69千米时，两车共行驶了：29969=230（千米），所用时间为230（4052）=2.5（小时），再次相距69千米时，两车从第一次相距69千米起又行驶了：692=138（千米），所用时间为：138（4052）=1.5（小时），即2.5小时后两车第一次相距69千米，1.5小时后两车再次相距69千米。评注：相遇问题与简单行程问题一样也要注意距离、速度

15、和及时间的对应关系。例16：一列客车与一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快6千米，3小时后，两车相距342千米，求两车速度。分析：已知两车行进总路程及时间，这是典型的相遇问题。解答：两车速度和为：3423=114（千米/小时），货车速度为（1146）2=60（千米/时），客车速度为11460=54（千米/时），即客车速度54千米/时，货车速度为60千米/时评注：所谓“相遇问题”并不一定是两人相向而行并相遇的问题，一般地，利用距离和及速度和解题的一类题目也可以称为一类特殊的相遇问题。例17：甲、乙两辆车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时从甲地出发开到乙地去，出发6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车速度。分析：题目中没有给任何卡车与甲车相遇前或与乙车相遇后的情况，因此只能分析卡车从与甲车相遇到乙车相遇这段时间的问题。解答：卡车从甲车相遇到与乙车相遇这段时间与乙车在做一个相遇运动，距离为出发6小时时，甲、乙两车的距离差：（5240）6=72（千米），因此卡车与乙车速度和为：721=72（千米/时），卡车速度为7240=32（千米/时）评注：在比较复杂的运动中，选取适当时间段和对象求解是非常重要的。例18：甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B