可靠性分析威布尔三参数估计方法比较分析Word格式.docx

1、 因此 , 国内外一直有人在致力于相 关研究。早期 的做法通常是 先由 作图法得到位置参数 , 然后线性回归分析得形状参 数和尺度参数8, 9, 然而小样本作图法误差大 , 相关研究人员找到了新的参数估计方法。傅惠民 10提出了相关系数优化法。张秀之11将概率权重矩法应用到海风预测 方面。然各参 数估计方法适 用范 围和精度不同 , 工程选用上就有一定困难 , 因此对 各方法进行比较 , 确定其适用范围和优缺点很有必 要。本文在综合分析基础上 , 对目前可靠性研究方 面比较常用 的相关 系数优 化法 10, 12、 概率 权重 矩法11, 13 15与本文提出的参数拟合割线优 化法进行了比较研

2、究 , 得出相关结论对在不同样本数据条件 下 , 选用何种参数估 计方法进行拟合 , 有一定 的指 导作用。1 威布尔的三参数分布模型1 15设随机变量 X 服 从三 参数 威布尔 分布 , 记 为 （, ,f （x =-1exp-, x0, x 0; 为尺度参数 , 为 位置参数 , 0。2 威布尔分布参数估计方法2 1 相关系数优化法 10, 12相关系数优化法 是一种十分有效 和通用的参 数估计方法。其基本 思想是先以线性 相关系数为 目标函数确定位置参数 , 然后通过线性回归分析求 得形状参数和尺度参数 10, 具体如下。由 X 的累积分布函数可知F （x =1-exp-（x （4对

3、（4 式进行变换 , 取对数得l n（1-F =-x -l ln1（1-F =l n - l x -（5令=Y , l x -=X （6 ln =A, =B （7可得 Y =A +BX （8 由于变量 X 和 Y 之间成线性关系 , 所以 , 可以 根据已知的一组试验数据 （x i , F （x i , 通过式 （6, 变换得到新的数据 （Xi , Y i , 再由线性回归分析确定 出待定参数 A 、 B 和系数 R （X,Y 分别为A =Y -B X, B =L XY /LXX , R =L XY /XX YY （9aY = 1n! ni=1Y i , X =X i , L XX =! n

4、i=1X 2i -nX 2,L XY =! n 1X i Y i -nX Y, L YY ! n 1Y 2i -n Y 2（9b由上式可见 , 由于 X i , L XX , L XY 均是含位置参数 的函数 , A, B, R 也是与位置参数 有关的函数。又 因所要求的位置参数 必须使线性相关系数 R 的 绝对值取最大值 , 所以可以由下面的方法求得位置 参数 。线性相关系数 R （X,Y 为关于 X, Y 的函数 , 即 为位置参数 的函数 , R 对 求导有R =L X YXX L YYi =1X i Y i -nX Y（!X 2i -n X 2 （!Y 2i -n Y 2d=0 2=0

5、（10 化简整理得方程L XYd L XY-2L XXd L XX=0（11 解上面的微分方程就可得到位置参数 的值。 显然 , 由于式 （11 无法直接求解 , 所以必 须用数值 分析的方法求解得位置参数 的允许精度范围内 的数值解。求得 , 由式 （9 即可得 A, B, R, 从而由式 （7 可求得形状参数 和尺度参数 的值。2 2 参数拟合最优化割线法在文献 10中 , 作者先建立含有相关系数的函 数 , 通过逐步搜索的 方法求解相关系 数 , 再进 行线 性回归分析 , 最后求得 三参数。与之 相比 , 本 文采 用一种新方法进行参数拟合。由于文献 10中逐 步搜索的方法有一定的误

6、差 , 这里提 出新方法 , 参 数拟合割线优化法能有效地减少计算误差 , 提高计 算的精度 , 过程如下。设由试验得到一组疲劳寿命的样本为 （T1, T 2, T 3, #, T n , 先求 出 其 相 应 的顺 序 统 计 量 为 （t 1 , t 2 , #, t n , 样本容量为 n, 显然 , 位置参数 %t 1 。 对 （4 式进行变换 , 得到一个是线性 关系的变 量 Y 与 X （8 式 , 的最优解是两变量 X 、 Y 要有 （Xi , Y i 最接近一条直线 , 此时才是最佳拟合效果 10, 16。 由式 （11 可知 , 位置参数 的值可由解微分方 ,6118科 学

7、技 术 与 工 程 10卷F （ =L X Y d L X Y d -2L XX dL XX dL X Y d （S XY -X Y d -2L XX d （SXX -X 2;d （S XY -X Y d =-n ! n i =1Y i t i - -n ! n i =1Y it i - d （S XX -X 2d =-2n ! n i =1X i t i - -2n !n i =1X it i -=F （ =0（12 由式 （12 知 , 需对参数 求解。 在此采用和文献 10相比更优的割线法17来迭代求解方程 ! （ =0。先设 的初始值为 1和 0; 第 j -1步 的迭代值为 j -1

8、; 第 j 步 的迭代值为 j ; 则第 j +1步的迭代值和迭代终止条件可得知为 j +1= j （ j （ j - j -1j -! （ j - j =0, 1, 2, #! （ j +1 % 。 （13式 （3 中 为精度 , j = j +1时方程 ! （=0即得 解 , 退出迭代。综上所述 , 用参数拟合割线优化法进行 W eibull 分布的三个参数计算步骤归结如下 :（1 令 0=t 1-0 1; （2 选择 c 的取 值 （c 可 取大于 1的任 意实 数 , 确定递推步长 h =t 1 /c, 并且令 j =0;（3 计算 j +1= j h;（4 若 ! （ j +1 !

9、（ j 0, 令 j =j +1, 返回 （3;（5 若 ! （ j =ja=p rod（1:nu m -i /prod（1:j /prod（1:num -i -j; elsea =0;endb =b +a *S（i ;b =b /num;b =b *prod （1:j*p rod（1:num -j-1 /prod（1:num -1; pwm （j+1 =b ;pwm4*（pwm （4*pwm （1 -pwm （2*pwm （2 /（4*pwm （4 + pwm （1 -4*p wm （2 a=4*（pwm （4*pwm （1 -pwm （2*pwm （2 /（4*pwm （4+ pwm （1

10、 -4*p wm （2 （pwm （1 -a /gamm a（l og（pwm （1 -2*pwm （2 /（pwm （2 - 2*pwm （4 /l og（2 l og（2 /log（pwm （1 -2*pwm （2 /（2*（p wm （2 -2*pwm （4 4*（-（* pwm （1 -4*pwm （2 b =（pwm （1 -a /gamm a（log（pwm （1 -2*pwm （2 /（pwm （2 -2*pwm （4 /l og（2 c=l og（2 /log（pwm （1 -2*pwm （2 /（2*（pwm （2 -2* pwm （4 %a , b, c 分别表示威布尔分布

11、三参数 , , 。 由程序可知 , 计算中未采用文献 7中的 （21 式和 （22 式 , 而是直接将 （19 式通过 MATLAB 程 序得出结果。3 计算实例与结果分析算例 1某材料缺口试样 （K r 在应力水平 S max =200 9 M Pa（应力比 R =0 75 作用下 , 测得的一组试件的 疲劳 寿 命 数 据 为 :325000, 376300, 387300, 447500, 456300, 524300, 574400, 635100（单位 :周 。用相关系数优化法求得 W e i b u ll 分布的三参数 为 =251664 7, =250227 8, =1 7495

12、。参数 拟合 割 线 优 化 法 采 用 中 位 秩 拟 合 法 时 = 266683 6, =227418 6, =1 7826; 采 用平均秩 拟合法 =251582 6, =250278 4, =1 7502。 基于 MATLAB 的 超 过 概 率 权 重 矩 法 求 得 = 256619 2, =235703 0, =1 8995。算例 2某一疲劳试验材料在同一应力水平下 , 测得一 组试件的疲劳寿命 （单位 :千周 , 如表 1所示。 表 1 疲劳寿命试验数据序数疲劳寿命N i /kC6120科 学 技 术 与 工 程 10卷参数进行估计 , 从算例 1和算例 2的计算结果和相 关

13、研究的大量计算结果都表明这 3种算法都有相当 的精度 , 可在工程上应用。算例 2还采用 The il 不等 系数及相关系数对计算结果进行了检验 , 结果对照 列于表 2中。表 2 三种参数估计方法结果对比算法 位置参数尺度形状Th eil 不等系数相关 系数相关系数优化法276470 5321148 52 04140 0571630 99841参数拟合割线优化法276359 7321226 32 04240 0206790 99967改进的概率权重矩法279071 1313825 22 14010 0223310 99915算例 1参数拟合割线优化法同时给出了中位秩 平均秩的结果。但为了便于

14、比较 , 表 2中相关系数 优化法、 参数拟合割线优化法都是按照中位秩算法 计算样本分布。下面是分析结果。（1 3种方法中相关系数优化法可适用于截尾 试验数据 ; 由 （10 式表明 , 相关系数的大小只与位 置参数的估计值有关。由表 2可看出 , 相关系数优 化法使得试验数据的拟合已具有非常好的线性度 , 本文提出的参数拟合割线优化法与之 相比有更好 的拟合效果 , 相关系数更大 , Theil 不等系数也更小 , 采用割线优化法有更高 的精度。而且 与相关系数 优化法相比 , 后者采用割线法求解参数方程比前者 通过逐步搜索的方法有更快的收敛速度。（2 概率权重矩法直接计算各参数 , 与前两

15、者 相比更方便简单 , 文献 7, 11中采用一些近似公式 后 , 不需要迭 代计 算 , 但它不 适合 极少 子样 情况。 当样本数量极小 , 如 小于 10时有研究表明 , 为 负值 , 显然不符合事实。本文提出的改进的概率权 重矩法 , 通过应用 MATLAB 进 行迭代计算 , 提高了 精度 , 结果接近真值。如算例 1, 为小样本的情况 , 计算结果 与前面 两个算 法基 本一 致 , 可 知其 可行 性。因此 , 概率权重矩法在疲劳寿命等可靠性分析 中具有重要实用价值。尤其对于小样本 , 概率权重 的 W ei b ull 分布参数准确度会更高 14。（3 不同容量的样本实例计算表

16、明 , 随着样本 容量的增加 , 各估计 方法之间的差异 越来越小 , 在 样本容量较大时 , 各 种估计方法均可 使用 ; 在 样本 容量较小时 , 各种估计方法的差异较大 , 基于 MAT LAB 的超过概率权重矩法 在中等样本数时精 度更 高 , 而且更便于工程 人员应用 , 只需要样本数 就可 快速得出相应参数和可靠性指标。因此 , 使用者需 根据实际情况选择合适的估计方法。4 结论（1 提出确定 W eibull 分布参数 的新方法 , 参 数拟合割线优化法 , 并用它进行工程实例计算和与 其他方法比较 , 确定其优劣程度以及适用范围。 （2 对文献 11中概率权重矩法加以改进 ,

17、提 出了更高精度 , 而 且又更 适合 于工程 使用 的基 于 MATLAB 的概率 权重矩法。给出了计 算样本概 率 重矩的 MATLAB 语言程序 , 直接由样本数据可运行 得出三参数值。程序过程 为 :根据试 验样本值 , 计 算各阶样本超过概率加权矩值 M s 1, 0, k , 而样本概率加 权矩是总体概率加权矩的无偏估计 （Ms 1, 0, k =M （k , 然后 根 据 （19 式 可 得 疲劳 寿 命 W eibull 分 布 的 参数。（3 对威布尔分布参数估计的 3种方法进行比 较研究 , 通过相关系数、 Theil 不等系数比 较了各种 方法的差异 , 得出各 自相应的

18、适用范 围 , 对正 确选 用三参 数威 布 尔分 布 参数 求 解方 法 有一 定 指 导 意义。参 考 文 献1 W ei bu ll W A st ati sti cal distri bu ti on f uncti on of w ide appli cabili ty J ou rnal of Appli ed M echan i cs , 1951; 73（9:293 2972 H as um iT, Ak i m oto T , A iz aw aY TheW e i bull logW ei bu ll d i stri bu tion for i nteroccurrenc

19、e ti m es of eart hquak es Physica A, 2009; 388（4: 491 4983 高镇同 疲劳应用统计学 北京 :国防工业出版社 , 19864 T i ryak i ol u M, H udak D On esti m ati ngW ei bu llm odulus by the li n ear regress i on m et hod Journa l of M aterials Science , 2007; 42（24:612125期 郭 必柱 , 等 :6122 科 学 技 术 与 工 程 10卷 概率 权重 矩 法及 其在 W eibul

20、 l分布 参 数估 计中 的应 5 W eibu llW Fat igue test ing and an alysis of results N ew Y ork M acm il . : lan Com pany, 1961 6 L ittle R E Jebe E H Stat ist ical design of fatigue experm ents London , i , Eng land A pplied Science Publishers 1975 : , 7 G reenw ood J A, Landw ehr J M, M atalas N C, et al P rob

21、ab ility w eigh ted m om en ts d ef in ition and relat ion to param eters of several d is tribu : tions exp ressab le in in verse for W ater R esources R esearch, 1979; m 15（ 5 : 1049 1054 8 高木升 社, 1977 9 徐 灏 概率疲劳 沈阳: 东北大学出版社, 1994 可靠 性基 础 数学 广 五所, 译 北京: 国 防工 业出 版 11 张秀之 用 海洋预报, 1994; 11 （ 3 : 56 61 12 史景钊, 蒋国良 用相关 系数法估 计威布 尔分布 的位置 参数 河南农业大学学报, 1995; 29 （ 2 : 167 171 13 宋 松 柏 P 分布 参 数的 概率 权重 矩 法 S 函 数 计算 2008 28（ 5 : 1 ; 14 邓 建 5 上 海: 同济 大 水文, 地 下 结构 可 靠 度理 论 与应 用 研 究 学,