1、精品椭圆高考题目汇总教师版含答案考点11椭圆1。(2010广东高考文科7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()ABCD【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,列出、的关系,再转化为、间的关系,从而求出。【规范解答】选.椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,,即:,又,,即,(舍去)或,故选.2.(2010福建高考文科1)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A。2B。3 C。6D.8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值。【思路点拨】先求出椭圆的左焦点,设P为动点
2、,依题意写出的表达式,进而转化为求解条件最值的问题,利用二次函数的方法求解.【规范解答】选C,设,则,又因为,又,所以。3.(2010海南高考理科T20)设分别是椭圆E:(ab0)的左、右焦点,过斜率为1的直线与E相交于两点,且,,成等差数列。()求E的离心率;()设点P(0,-1)满足,求E的方程。【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时,一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识。【思路点拨】利用等差数列的定义,得出,满足的一个关系,然后再利用椭圆的定义进行计算。【规范解答】()由椭圆的定义知,,又得,的方程为,其中设,则两点坐标满足方程组化简
3、得,则,。因为直线AB斜率为1,所以得,故,所以E的离心率.()设两点的中点为,由()知,.由,可知.即,得,从而.椭圆E的方程为。【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质,从题目中提取有价值的信息,然后列出方程组进行相关的计算.4。(2010北京高考文科9)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是,离心率是,直线与椭圆C交与不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.()求椭圆C的方程;()若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;()设Q(x,y)是圆P上的动点,当变化时,求y的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程,直线与圆的位置关系,函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中的关系,离心率.直
4、线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解。第()问中最大值的求法用到了三角代换,体现了数学中的转化与化归思想。【思路点拨】由焦点可求出,再利用离心率可求出。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.【规范解答】()因为,且,所以所以椭圆C的方程为.()由题意知由得所以圆P的半径为。由,解得.所以点P的坐标是(0,).()由()知,圆P的方程.因为点在圆P上。所以由图可知.设,则当,即,且,取最大值2.【方法技巧】(1)直线与圆的位置关系:时相离;时相切;时相交;(2)求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.5.(2010辽宁高考文理科20)设椭圆C:的右焦点为F,过点F的
5、直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,.(I)求椭圆C的离心率;(II)如果|AB|=,求椭圆C的方程.【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程,考查了椭圆的离心率,椭圆的标准方程,考查了圆锥曲线中的弦长问题,以及推理运算能力.【思路点拨】(I)联立直线方程和椭圆方程,消去x,解出两个交点的纵坐标,利用这两个纵坐标间的关系,得出a、b、c间的关系,求出离心率。(II)利用弦长公式表示出AB,再结合离心率和,求出a、b,写出椭圆方程.【规范解答】【方法技巧】1、直线、圆锥曲线的综合问题,往往是联立成方程组消去一个x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程,使问题得以解决.2、弦
6、长问题,注意使用弦长公式,并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题.6.(2010天津高考文理科20)已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为(),点在线段的垂直平分线上,且,求的值。【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力。【思路点拨】(1)建立关于a,b的方程组求出a,b;(2)构造新的一元二次方程求解。【规范解答】(1)由,得,再由,得由题意可知,解方程组得a=2,b=1,所以椭圆的方程为。
7、(2)解:由(1)可知A(2,0).设B点的坐标为(x1,,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去整理,得由得设线段AB是中点为M,则M的坐标为以下分两种情况:(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0)。线段AB的垂直平分线为y轴,于是(2)当k时,线段AB的垂直平分线方程为(后边的Y改为小写)令x=0,解得由整理得综上7.(2010福建高考理科17)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(I)求椭圆C的方程;(II)是否存在平行于OA的直线,使得直线与椭圆C有公共点,且直线OA与的距离等于4?
8、若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由。【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【思路点拨】第一步先求出左焦点,进而求出a,c,然后求解椭圆的标准方程;第二步依题意假设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,利用判别式限制参数t的范围,再由直线OA与直线的距离等于4列出方程,求解出t的值,注意判别式对参数t的限制.【规范解答】(I)依题意,可设椭圆的方程为,且可知左焦点为,从而有,解得,又,故椭圆的方程为;(II)假设存在符合题意的直线,其方程为,由得,因为直线与椭圆C有公共点,所以,解得.另一方面,由直
9、线OA与直线的距离等于4可得,由于,所以符合题意的直线不存在.【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时,我们一定要注意判别式的限制.因为抛物与直线有交点,注意应用进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.8。(2010安徽高考理科19)已知椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率。(1)求椭圆的方程;(2)求的角平分线所在直线的方程;(3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由。【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单性质,点关于直线的对称性等知识,考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平,探究意识,创新意识和
10、综合运算求解能力【思路点拨】(1)设出椭圆的标准方程,再根据题设条件构建方程(组)求解;(2)根据角平分线的性质求出直线的斜率或直线上的一个点的坐标,进而求得直线的方程;(3)先假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点,在此基础之上进行推理运算,求解此两点,根据推理结果做出判断。【规范解答】(1)设椭圆的方程为(),由题意,又,解得:椭圆的方程为(2)方法1:由(1)问得,又,易得为直角三角形,其中设的角平分线所在直线与x轴交于点,根据角平线定理可知:,可得,直线的方程为:,即.方法2:由(1)问得,又,,,,直线的方程为:,即。(3)假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、,令、,且的中点为,又,
11、两式相减得:,即(3),又在直线上,(4)由(3)(4)解得:,所以点与点是同一点,这与假设矛盾,故椭圆上不存在关于直线对称的相异两点。【方法技巧】1、求圆锥曲线的方程,通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程,再根据题设条件构建方程(组)求解;.2、利用向量表示出已知条件,可以将复杂的题设简单化,便于理解和计算;3、对于存在性问题,其常规解法是先假设命题存在,再根据题设条件进行的推理运算,若能推得符合题意的结论,则存在性成立,否则,存在性不成立。9(2010陕西高考文理科20)如图,椭圆C:()求椭圆C的方程;()设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,是否
12、存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(2)是一个开放性问题,考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论【规范解答】()由知a2+b2=7,由又,由解得故椭圆C的方程为()设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)假设存在直线l使成立,()当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得因为由求根公式得:将代入上式并化简得()当l与x轴垂直时,满足的直线l的方程为,
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