北京高考数学文科试题及答案.docx

1、北京高考数学文科试题及答案绝密启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合则（ ）( A ) ( B ) ( C ) ( D ) （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A） （B） （C） （D）（3）下列函数中为偶函数的是（ ） （A） （B） （C） （D）（4）某校老年、中年和青年教师的人

2、数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ） （A）90 （B）100 （C）180 （D）300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300（5） 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）（A）3 （B） 4 (C) 5 (D) 6（6）设是非零向量，“”是“/”的（ ）（A） 充分而不必要条件（B） 必要而不充分条件（C） 充分必要条件（D） 既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） (A) 1 （B） （B） (D) 2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表

3、记录了该车相邻两次加油时的情况。在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程（A）6升 （B）8升 （C）10升 （D）12升 第二部分（非选择题共110分）2、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数的实部为 （10）三个数中最大数的是 （11）在中，则 （12）已知是双曲线的一个焦点，则 （13）如图，及其内部的点组成的集合记为D，为D中任意一点，则的最大值为 （14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文

4、成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最小值。（16）（本小题13分）已知等差数列满足（）求的通项公式；（）设等比数列满足；问：与数列的第几项相等？（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”

5、表示未购买。商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598（）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18）（本小题14分）如图，在三棱锥中，平面 平面，为等边三角形，,且,分别为的中点。（）求证: /平面;（）求证：平面平面;（）求三棱锥的体积。（19）（本小题13分）设函数。（I）求的单调区间和极值；（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。(20)(本小题14分)已知椭圆：,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点。（1）求椭圆的离心率；（II）若

6、垂直于轴，求直线的斜率；（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由。绝密考试结束前 2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12） （13） （14）乙 数学三、解答题（共6小题，共80分） （15）（13分）解：（） 的最小正周期为.（）当 时，即时，取得最小值.所以在上的最小值为(16)(共13分)解：（）设等差数列的公差为. 又 （）设等比数列的公比为. 由 与

7、数列的第63项相等.（17）（共13分）解：（）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为（）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为（）与（）同理，可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。（18）（共14分）解：（）因为分别为的

8、中点， 所以 又因为平面, 平面 所以平面（）因为，为的中点， 所以. 又因为平面平面，且平面， 平面 平面 所以平面，又因为平面 所以平面平面（）在等腰直角中， 所以 所以正的面积 又因为平面， 所以,又因为, 所以.(19) (共13分) 解：（）由 所以的定义域为 令 解得 与在区间上的情况如下：减增 所以，的单调减区间为，单调增区间为； 在处取得极小值.（）由（）知，在区间上的最小值为. 因为存在零点，所以，所以.1 当时，在区间上单调递减，且.所以是在区间上的唯一的零点.2 当时，在区间上单调递减，且所以在区间上仅有一个零点. 综上可知：若存在零点，则在区间上仅有一个零点。(20) (共14分) 解：（）椭圆的标准方程为 所以 所以椭圆的离心率（）因为直线过点且垂直于轴， 所有可设 直线的方程为. 令， 得. 所以直线的斜率.（）直线与直线平行，证明如下： 当直线的斜率不存在时，由（）可知. 又因为的斜率 所以当直线的斜率存在时，设其方程为 设 则直线的方程为 令， 得点.由 得 所以 直线的斜率. 因为 所以， 所以综上所述，直线与直线平行.