离散数学第五版清华大学出版社第1章习题解答Word文件下载.docx

1、13 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为（1）pq（2）pq（3）pq（4）p（5）pq（6）p（7）（8）p以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。分析 本题要求读者记住pq及pq的真值情况。pq为假当且仅当p为真,q为假,而pq为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，在4个蕴含式中，只有（2）pr，其中，p同（1），r：明天为3号。在这里，当p为真时，r一定为假，pr为假，当p为假时，无论r为真还是为假，pr为真。215 （1）pq，其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。（2）pq，其中，p：小王聪明，q：小王

2、用功（3）pq，其中，p：天气冷，q：老王来了（4）pq，其中，p：他吃饭，q：他看电视（5）pq，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（6）pq，其中，p，q的含义同（5）（7）pq，其中，p，q的含义同（5）q，其中，p：经一事，q：长一智分析 1在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：他一边吃饭， q：他一边看电视。2 后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，

3、关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。pq所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p，就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则p”“没有q，就没有p”等都表达了q是p的必要条件，因而都符号化为pq或q的蕴含式。在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为pq，而在（6）（7）中，p成了q的必要条件，因而符号化为qp。在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。16 （1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。 （1）中公式含3个命题变项，因而它应该有23=8

4、个赋值：000，3001，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式p（qr）的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。 在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有24=16个赋值：0000，0001，1111。现在考查0011是它的成假赋值。1.7 （1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后

5、一列全为1，所以，（1）为重言式。pqrp（pqr）p q r0 0 0 0 10 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1等值演算法p（pqr）p（ppr） （蕴含等值式）（pp）pr （结合律）1qr （排中律）1 （零律）4 由最后一步可知，（1）为重言式。 （2）用等值演算法判（2）为重言式。 （pp）p （p）p （蕴含等值式） p （等幂律） p 1 （排中律） （3）用等值演算法判（3）为矛盾式 （pq）q（pq）q （蕴含等值式）qq （德摩根律） p（qq） （结合律） p0 （矛盾律） 0 （

6、零律） 由最后一步可知，（3）为矛盾式。 （5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。 真值表法p q p pqqp（pq）（qp）0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。 主析取范式法 （p） （pq）（q5（pq）（q）p1）（1q）p（qq）（pp）pq）（pq）（q）（pm0m1m2.在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。其余各式的类型，请读者自己验证。分析 1 真值表法判断公式的类别是万能。公式A为重

7、言式当且仅当A的o真值表的最后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。2o 用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A为重言式当且仅当A与1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A为非重言式的可满足式了。例如，对（6）用等值演算判断它的类型。（pp）q0q （矛盾律）（pq）（q0） （等价等值式）0q）（q0） （蕴含等值式）（1q）q

8、 （同一律）1q （零律）6到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。用主析取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n（n为A中所含命题变项的个数）个极小项；A为矛盾式当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项，但不是完全的。当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。用主合取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含

9、任何极大项，此时记A的主合取范式为1；A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含2n个极大项（n为A中含的命题变项的个数）；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。1.8 （1）从左边开始演算（pq）（p p（qq）（分配律）p1 （排中律）p.（同一律）（2）从右边开始演算p（qr）p（qr） （蕴含等值式）pq）（pr）（分配律）（pq）（pr）.（蕴含等值式）（3）从左边开始演算（pq）7（pq）（qp）（pq）pq）（p）（qq）（pq）q）（pq）（pq）（pq）.请读者填上每步所用的基本等值式。本题也可以从右边开始演算（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）

10、pq）（qp）（qq）（1pq）（qp）1（pq）（qp）（pq）.读者填上每步所用的基本的等值式。1.9 （1）（pq）p）（pq）p （蕴含等值式）（pq）p） （德摩根律） pqp （结合律、交换律）（pp）q （矛盾式）0. （零律）8由最后一步可知该公式为矛盾式。（2）（pq）（qp）（pq）（pq）p） （蕴含等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。（3）（pq）（p） （蕴含等值式）pq）p （德p （吸收律）q. （交换律）由最后一步容易观察到，11为该公式成假赋值，因而它不是重言式，又00，01，10为成真赋值，因而它不是矛盾式，它是

11、非重言式的可满足式。1.10 题中给出的F，G，H，R都是2元真值函数。给出的5个联结词集都是全功能集，可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。（1）设A=（pq），易知A是,中公式且与F等值，即FA.（2）设B=pq，易知B是,中公式且与F等值，即FB.（3）设C=pq），易知C是,中公式，且FC.（4）设D=（p（qq）（p（qq），易知D为中公式，且FD.（5）设E=（pp）q，易知E为中公式，且FE. 只要找到一个联结词集中与F等值的公式，经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F等值的公式。例如，已知A=（pq）是,公式，且FA。进行以下

12、演算，就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。对 A进行等值演算，消去联结词，用，取代，得9A=（pq）pq）pq记为B.则B为,中公式，且FB。再对A进行等值演算，消去，用pq）记为C.则C为,中公式，且FC。再对B进行演算，消去，用取代，在演算中，注意，对于任意的公式A，有A（AA）AA.B=p p（qq）（p（qq）（p（qq）（p（qq）（p（qq）记为D.则D为中公式，且FD.再对C进行演算，消去,用取代，在演算中注意，对于任意的公式A（AA）AA.C=pq（pp）q记为E.则E为中公式，且FE. 开始找一个与某真值函数等值的公式的方法，除观察法外，就是根据10该真值函数的真值表，求

13、它的主析取范式，而后进行等值演算即可。例如，由G的真值表可知G的主析取范式为m1m3，于是Gm1m3pq）（pq）pp）qq.由于公式q不带联结词，所以，它应该为任何联结词集中的合式公式。3 在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。例如，取qq.（,中公式）B=qq.（,中公式）C=qq.（,中公式）D=（qq）（qq）.（中公式）E=（qq）（qq）.（中公式）则GABCDE,对于同一个真值函数G，找到与它等值的形式各异的公式。对于H和R，请读者自己去完成。1.11 （1）对C是否为矛盾式进行讨论。当C不是矛盾式时，ACBC，则一定有AB，这是因为，此时，ACA,BCB，所以，有

14、AACBB必有AB而当C不是矛盾式时，ACBC，不一定有AB，举反例如下：设A,B,C均为含命题变项p,q的公式，A，B，C及AC,BC的真值表如表1.4所示，从表1.4可看出，ACBC，但AB。表1.411p q A B C AVC BVC0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 01 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1（2） 对C是否为重言式进行讨论:若C为重言式,则ACA,CB,于是AACBCB.因而有AB当 C 不是重言式时,请读者举反例说明, ACBC时, 不一定有AB.（3） 若B,则AB.证明如下:A （双重否定律）B（B）B（双重否定律）所以1.12 （1

15、） 设（1）中公式为A.A（p（qr）（pqr）（p（qr）（pqr）qr）（pqr）A（q（rr）（pqr）（pqAm0m1m712于是,公式A的主析取范式为m0m1m2m7易知,A的主合取范式为M3M4M5M6A的成真赋值为000, 001, 010, 111A的成假赋值为011,100,101,110（2）设（2）中公式为BB（pq）（qp）pq）（qpqp （吸收律）（pq）p（q）p（pq）（pq）m0m2m3所以,B的主析取范式为m0m2m3.B的主合取范式为M1B的成真赋值为00,10,11.B的成假赋值为01.（3）设（3）中公式为C.C（pq）qr（pq）qr13 p（qq）

16、rp0r0.所以,C的主析取范式为0.C的主合取范式为M0M1M2M3C的成假赋值为00,01,10,11C无成真赋值,C为矛盾式.设公式 A 中含n（n1）个命题变项,且 A 的主析取范式中含l（0l2n）个极小项,则A的主合邓范式中含2nl个极大项,而且极大项的角标分别为0到2n1这2n个十进制数中未在A的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.在（1）中,n=3,A的主析取范式中含4个极小项,所以,A的主合取范式中必含234=4个极大项,它们的角标为0到7中未在主析取范式的极小项角标中出现过的3,4,5,6. 这样,只要知道A的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在（2）,（3）

17、中情况类似. A的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为A的成真赋值.在（1）中,由于主析取范式中的极小项角标分别为 0,1,2,7,它们的二进制表示分别为000,001,010,111,所以,A 的成真赋值为以上各值.类似地,A 的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A的成假赋值.1.13 （1） 首先求p（qr）的主析取范式.p（qr）p（qr）qr）.由于演算过程较长,可以分别先求出由p,q,r派生的极小项.注意,本公式中含3个命题变项,所以,极小项长度为3.14pqq）（rr）qr）（qr）r）（m0m1m2m3p（r）（pm0m1m4m5r（pp）（qq）rqr）（pqr）m

18、1m31m5m7p（qr）m0m1m2m3m4m5m7类似地,可求出q（pr）主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知,（p（qr）（q（pr）.（2） pqqq）（pq）（p）（ppq）（p15pqm0.由于pq与pq的主析取范式不同.因而它们不等值,即pq pq.1.14 设p:A输入;设q:B输入;设r:C输入;由题的条件,容易写出FA,FB,FC的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的中的公式即可.表1.5 p qrFFFABC 0 00 0 0 0 0 01 00 1 0 10 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0

19、0 1 0 0 1 01 1 0 0 1 101 0 0 1 11 1 0 0FA（pqr）（pqq）（rr）（pq）（q）（pq） p16（pq）（pq）（pp）FB（pqr）pq） p p（qq）.FC （pr）（pq）r（pq）r（pq）r（pq）r（pq）（pq）（pq）（rr）分析 在将公式化成或中公式时,应分以下几步:（1）先将公式化成全功能集,中的公式.（2） 使用（AA）AA,17或（AA）AA.使用双重否定律AB（AB）（AB）（AB）（AB）或AB（AB）（AB）（AB）（AB）使用德摩根律AAB（AA）（BB）或AAB（AA）（BB）115 设p：矿样为铁；q：矿样为铜；

20、r：矿样为锡.设F1（甲全对）（乙对一半）（丙全错），q）（r）（pr）（pr）（rqpr000.F2（甲全对）（乙全错）（丙对一半）q）（pr）（pr）（r）18qprpr）000F3（甲对一半）（乙全对）（丙全错）pq）（pq）（pr）（prpr（ppqr）0pqr.F4（甲对一半）（乙全错）（丙全对）（q）（pr）（ppqrp0（p pr.F5（甲会错）（乙对一半）（丙全对）（pq）（r）（pr）（p（pq（pqprp00F6（甲全错）（乙全对）（丙对一半）pr）（pr）（19（pqprpr（pqF（一人全对）（一人对一半）（一人全错）则F为真命题，并且FF1F2F3F4F5F6pqr）（pr）1.但，矿样不可能既是铜又是锡，于是q,r中必有假命题，所以pqr0,因而必有r1.于是，必有P为真，q与r为假，即矿样为铁。1.16 令p：今天