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1、平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的两条弧.3.弧、弦、圆心角的关系（1）定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的 相等，所对的 也相等；（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等.4.圆周角定理在 中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 .同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 .半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90的圆周角所对的弦是 .典例诠释考点一 同弧上的圆心角和圆周角的关系例1 如图1-12-1，在O中，ACB34，则AOB的度数是（ ）图1-12-1A.17 B.34 C.56 D.

2、68【答案】 D【名师点评】 理解同弧上圆心角和圆周角的关系，并能准确识别.考点二 垂径定理的应用例2 如图1-12-2，O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则O的半径为（ ）图1-12-2A. B.2 C. D.【答案】 A【名师点评】 此类问题常利用垂径定理把弦长、半径、圆心距转化到同一个直角三角形中，然后利用勾股定理求解.基础精练1.（2016西城二模）如图1-12-3，AB是O的一条弦，直径CDAB于点E.若AB=24，OE=5，则O的半径为（ ）A.15 B.13 C.12 D.10图1-12-3 【答案】 B2.（2016海淀一模）如图1-12-4，AB为O的弦，OCAB于点C.

3、若AB=8，OC=3，则O的半径长为 .图1-12-4【答案】 53.（2016大兴一模）如图1-12-5，AB是O的直径，弦CDAB于点E.若CD6，OE=4，则O的直径为（ ）图1-12-5A.5 B.6 C.8 D.104.（2016门头沟一模）如图1-12-6，O的半径长为2，点A为O上一点，半径OD弦BC于点D，如果BAC=60，那么OD的长是（ ）图1-12-6A.2 B. C.1 D.【答案】 C5.（2016西城一模）在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图1-12-7，直角角尺中，AOB=90，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆

4、的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（ ）A.17 B.14 C.12 D.10图1-12-76.（2016朝阳二模）如图1-12-8，在O中，AB为O的弦，半径OCAB于点D，若OB的长为10，sinBOD=，则AB的长为 .图1-12-8【答案】 167.（2016海淀二模）如图1-12-9，A，B，C，D为O上的点，OCAB于点E，若CDB=30，OA=2，则AB的长为（ ）图1-12-9A. B.2 C.2 D.48.（2016东城期末）如图1-12-10，O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，P=30，则弦AB的长为 .图1-12-10

5、A.2 B.2 C. D.29.（2016东城期末）如图1-12-11，点A,B,C在O上，CO的延长线交AB于点D，A=50，B=30，则ADC的度数为（ ）图1-12-11A.70 B.90 C.110 D.12010.（2016丰台期末）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（ ） A B C D11.（2016门头沟期末）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图1-12-12，CD为O的直径，弦ABCD于点E，如果CE=1，AB=

6、10，那么直径CD的长为 .”图1-12-12【答案】 2612.（2016平谷期末）如图1-12-13，把一个宽度为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（ ）图1-12-13A.5 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm13.（2016南京）如图1-12-14,扇形OAB的圆心角为122,C是上一点，则 ACB= .图1-12-14 图1-12-15【解】 如图1-12-15,设扇形OAB所在的圆为O，在优弧AB上取一点D，连接AD,BD,则四边形ACBD为圆内接四边形

7、. AOB=122， ADB=AOB=61.在圆内接四边形ACBD中, ADB+ACB=180， ACB=180ADB=18061=11914.（2016通州期末）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图1-12-16）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于点N，P，则N，M，P三点把弧AB四等分.你认为小明的作法是否正确： ，理由是 .图1-12-16【答案】 不正确，弦AN与MN不等，.真题演练1.（2014北京）如图1-12-17，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，A=22.5，OC=4，CD的

8、长为（ ）图1-12-17A.2 B.4 C.4 D.82.（2010北京）如图1-12-18，AB为O的直径，弦CDAB,垂足为点E，连接OC，若OC=5,CD=8,则AE= .图1-12-18【答案】 23.（2009北京）如图1-12-19，AB为O的直径，弦CDAB，点E为上一点，若CEA=28，则ABD= .图1-12-19【答案】 28第二节 与圆有关的位置关系点和圆的 位置关系了解点和圆的位置关系尺规作图（利用基本作图完成）：过不在同一直线上的三点作圆；能利用点与圆的位置关系解决有关简单问题直线和圆的位置关系了解直线和圆的位置关系；会判断直线和圆的位置关系；理解切线与过切点的半径

9、的关系；会用三角尺过圆上一点画圆的切线掌握切线的概念；能利用切线的判定与性质解决有关简单问题；能利用直线和圆的位置关系解决有关简单问题；能利用切线长定理解决有关简单问题运用切线的有关内容解决有关问题知识要点1.点和圆的位置关系若圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外 ；点在圆上 ；点在圆内 .2.直线和圆的位置关系如果圆的半径是r，圆心到直线l的距离是d，那么直线l和O相交 ；直线l和O相切 ；直线l和O相离 .3.圆的切线的性质与判定（1）切线的定义：直线和圆只有 公共点时，这条直线叫做圆的切线.（2）切线的性质：圆的切线 于过切点的半径.（3）判定：和圆有 公共点的直线是圆的切线；

10、圆心到直线的距离等于圆的 ，那么这条直线是圆的切线（作垂直证半径）；经过半径外端并且 于这条半径的直线是圆的切线（作半径证垂直）.（4）切线长:切线的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，这点和圆心的连线 两条切线的夹角.4.确定圆的条件： 的三个点确定一个圆.5.尺规作图（利用基本作图完成）：如图1-12-20，过不在同一直线上的三点作圆.已知：不在同一条直线上的三个点A，B，C.求作：圆O，使它经过点A，B，C.图1-12-20考点一 确定圆的条件例1 如图1-12-21，在55正方形网格中，一条圆

11、弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）图1-12-21 A.点P B.点Q C.点R D.点M【名师点评】 此题考查经过不共线的三个点作一个圆的方法，即作任意两条线段的垂直平分线，交点即为此圆的圆心.考点二 点、直线和圆的位置关系例2 在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）A.与x轴相交，与y轴相切 B.与x轴相离，与y轴相交C.与x轴相切，与y轴相交 D.与x轴相切，与y轴相离【名师点评】 此题要能画出图形，结合图形来判断直线和圆的位置关系，画图是解题关键.考点三 圆的切线的性质与判定例3 （2016海淀一模）如图1-12-22，AB，AD是O的弦

12、，AO平分BAD.过点B作O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO.延长BO交O于点E，交AD于点F，连接AE，DE.（1）求证：CD是O的切线；（2）若AE=DE=3，求AF的长.图1-12-22 （1）【证明】 如图1-12-23，连接OD.图1-12-23 BC为O的切线， CBO=90 AO平分BAD， 1=2. OA=OB=OD， 1=4=2=5， BOC=DOC, BOCDOC， CBO=CDO=90， CD为O的切线.（2）【解】 AE=DE， =, 3=4. 1=2=4， 1=2=3. BE为O的直径， BAE=90, 1=2=3=4=30 AFE=90在RtAFE中， A

13、E=3，3=30 AF=.【名师点评】 （1）要证明CD是O的切线，连接半径OD，证明ODC=90，结合角平分线和等腰三角形的知识，证明BOCDOC即可.（2）利用“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可以得到DAE=ABE=30.又由BE为O直径，可知BAE90，即而BAF=60，故AFE=90，在AFE中，AF可解.考点四 切线长定理的应用例4 如图1-12-24,PA、PB是O的切线，切点是A、B，已知P60，OA3，那么AOB所对劣弧的长度为（ ）图1-12-24A.6 B.5 C.3 D.2【名师点评】 此题考查切线的性质和四边形内角和定理，先求出AOB的度数，再利用弧长公式计算弧

14、AB的长.昌平期末）已知O的半径长为5，若点P在O内，那么下列结论正确的是（ ）A.OP5 B.OP=5 C.0OP5 D.0OP5通州一模）如图1-12-25，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）图1-12-25A.（0，0） B.（1，1） C.（1，0） D.（1，1）西城期末）如图1-12-26，C与AOB的两边分别相切，其中OA边与C相切于点P.若AOB=90，OP=6，则OC的长为（ ）图1-12-26A.12 B. 12 C.6 D.6东城期末）如图1-12-27，AB是O的一条直

15、径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与O相切于D点，若CD=,则O半径的长为 .图1-12-27【答案】 1东城期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：如图1-12-28，过圆外一点作圆的切线.O和点P.过点P的O的切线.图1-12-28小涵的主要作法如下：如图1-12-29，（1）连接OP，作线段OP的中点A；（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交O于点B，C；（3）作直线PB和PC，所以PB和PC就是所求的切线.图1-12-29老师说：“小涵的作法正确.”请回答：小涵的作图依据是 .【答案】 直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线朝阳

16、一模）如图1-12-30，点D在O上，过点D的切线交直径AB的延长线于点P，DCAB于点C.DB平分PDC；（2）若DC=6，tanP=，求BC的长.图1-12-30【证明】 如图1-12-31，连接OD.图1-12-31 DP是O的切线， ODDP， ODP=90 ODB+BDP=90又 DCOB， DCB=90 BDC+OBD=90 OD=OB， ODB=OBD, OBD+BDP=90, BDP=BDC, DB平分PDC. （2）【解】 如图1-12-32，过点B作BEDP于点E.图1-12-32 BDP=BDC，BCDC， BC=BE. DC=6，tanP=， DP=10，PC=8.设B

17、C=x，则BE=x，BP=8x. PEBPCD， =, x=3, BC=3.东城一模）如图1-12-33，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长线交于点D，DEPO交PO延长线于点E，连接PB，EDB=EPB. （1）求证：PB是O的切线.（2）若PB=3，DB=4，求DE的长.图1-12-33（1）【证明】 EDB=EPB，DOE=POB， PBO=E=90 PB是O的切线.【解】 PB=3，DB=4， PD=5.设O的半径的长是r，如图1-12-34，连接OC.图1-12-34 PD切O于点C， OCPD. . . r=.可求出PO=.易证DEOPBO, =.解得DE=.石景山一模）

18、如图1-12-35，在ABC中，AB=AC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F.EFAB.（2）若C=30，EF=，求EB的长.图1-12-35 【证明】 如图1-12-36,连接OD，AD，图1-12-36 AC为O的直径， ADC=90又 AB=AC， CD=DB.又CO=AO， ODAB. FD是O的切线， ODDF, EFAB.【解】 C=30 AOD=60在RtODF中，ODF=90， F=30 OA=OD=OF.在RtAEF中，AEF=90，F=30 EF=， AE=. ODAB，OA=OC=AF， OD=2AE=2，AB=2OD=4

19、. EB=ABAE=3.丰台一模）如图1-12-37，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F.图1-12-37 CBF=CAB；（2）连接BD，AE交于点H，若AB=5，tanCBF=，求BH的长.【证明】 连接AE，如图1-12-38.图1-12-38 AB是O的直径， AEB=90 AB=AC， EAB=CAB. BF是O的切线， ABE+CBF=90 ABE+EAB=90 CBF=EAB, CBF=CAB.【解】 如图1-12-39.图1-12-39 tanEAB=tanCBF=，又 AB=5， 在RtABE中，由勾股定

20、理可得BE=. =， EBD=EAC=EAB. tanEBD=tanEAB=, =, EH=. BH=.西城一模）如图1-12-40，在ABC中，AB是O的直径，AC与O交于点D.点E在上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，AED=ACF.CFAB；（2）若CD=4，CB=4，cosACF=，求EF的长. 图1-12-40【证明】 连接BD，如图1-12-41.图1-12-41 ADB=90 DAB+1=90 1=2，23， 13. DAB+3=90 CFA=180（DAB+3）=90 CFAB.【解】 连接OE，如图1-12-42.图1-12-42 ADB=90， CDB=180A

21、DB=90 在RtCDB中，CD=4，CB=4， DB=8. 13， cos1=cos3=. 在RtABD中，cos1=， AB=10. OA=OE=5，AD=6. CD=4， AC=AD+CD=10. 在RtACF中，CF=ACcos3=8. AF=6. OF=AFOA=1. 在RtOEF中，EF=2.西城二模）如图1-12-43，四边形ABCD内接于O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，ACB=BAE=45图1-12-43AE是O的切线；（2）若AB=AD，AC=2，tanADC=3，求CD的长.【证明】 连接OA，OB，如图1-12-44.图1-12-44 ACB=45 AOB=2A

22、CB=90 OA=OB， OAB=OBA=45 BAE=45 OAE=OAB+BAE=90 OAAE. 点A在O上， AE是O的切线.【解】 过点A作AFCD于点F，如图1-12-45.图1-12-45 AB=AD， =. ACB=ACD=45 AFCD于点F， AFC=AFD=90 ACF=CAF=45, AF=CF. AC=2， 在RtAFC中，AF=CF=ACsinACF=2. 在RtAFD中，tan D=3， DF=. CD=CF+DF=.朝阳二模）如图1-12-46，O是MAN的边AN上一点，以OA为半径作O，交 MAN的平分线于点D，DEAM于点E.图1-12-46DE是O的切线；

23、（2）连接OE，若EDA=30，AE=1，求OE的长.【证明】 如图1-12-47,连接OD.图1-12-47 AD平分MAN， EAD=OAD. OA=OD， ODA=OAD. EAD=ODA. DEAM于E， AED=90 EAD+EDA=90 ODA+EDA=90 ODED. DE是O的切线.【解】 如图1-12-48,图1-12-48 EDA=30 ODA=60 ADO为等边三角形.在RtAED中，AE=1，可得AD=2，ED=. OD=AD=2.在RtODE中，由勾股定理可得OE=.13. （2016东城二模）如图1-12-49，在ABC中，BA=BC，以AB为直径的O分别交AC，B

24、C于点D，E，BC的延长线与O的切线AF交于点F.ABC=2FAC；（2）若AC=2，sinCAF=,求BE的长.图1-12-49 【证明】 如图1-12-50，连接BD.图1-12-50 AB是O的直径， ADB=90 DAB+DBA=90 BA=BC， ABC=2DBA，AD=AC. AF为O的切线， FAB=90 FAC+CAB=90 FAC=DBA. ABC=2FAC.【解】 如图1-12-51,连接AE, AEB=AEC=90图1-12-51 sinCAF=，ABD=CAF=CBD=CAE， sinABD=sinCAF=.，AD=AC=, AB=10, BC=BA=10. AEC=90，AC=2， CE=ACsinCAE=2. BE=BCCE=102=8.海淀二模）如图1-12-52，在ABC中，C=90，点E在AB上，以AE为直径的O切BC于点D，连接AD.图1-12-52AD平分BAC；（2）若O的半径为5，sinD