中考数学压轴题及解析分类汇编Word格式.docx

1、（2）因为抛物线yax2bxc经过A（3，0）、C（0，3）、D（1，0） 三点，所以 9a 3b c 0, a 1, 解得 c 3, b 2, a b c 0. c 3. 所以抛物线的解析式为yx22x3（x1）24，顶点G的坐标为（1，4）（3）如图2，直线BG的解析式为y3x1，直线CD的解析式为y3x3，因此CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为（x，3x1），那么BQ RtCOD的两条直角边的比为13，如果RtABQ与RtCOD相似，存在两种情况： 当BQ 3 3解得x 3所以Q1（3,10

2、），Q2（ 3, 8） BA当BQ 1 1解得x 1所以Q3（1,2），Q4（ 1,0）BA33333图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明ABBG；二是BQ 我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GHy轴，QNy轴，垂足分别为H、N通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90 在RtBGH中，sin 1 cos 1 当BQ 3时，BQ BA在RtBQN中，QN BQ sin 1 3，BN BQ cos 1 9当Q在B上方时，Q1（3,10）；当Q在B下方时，Q2（ 3, 8） 当BQ 1时，BQ Q3（1,2），Q4（ 1,

3、0） BA333例2RtABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y k（k 0）在第一象限x内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），BDE的面积为2（1）求m与n的数量关系；（2）当tanA1时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； 2（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点P的坐标请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD/x轴拖动点P在射线FD上运动，可以体

4、验到，AEO与EFP 相似存在两种情况思路点拨1探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD/x轴3如果AEO与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况 满分解答（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y k的图像上，所以x 4m k, 整理，得n2m 2n k. （2）如图2，过点E作EHBC，垂足为H在RtBEH中，tanBEHtanA1，EH2，所以BH1因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m1） 2已知BDE的面积为2，所以11解得m1因此D（4，BD EH （m 1） 2 222k

5、的图像上，所以k4因此反比例函数的解x1），E（2，2），B（4，3） 因为点D（4，1）在反比例函数y 析式为y 4 x设直线AB的解析式为ykxb，代入B（4，3）、E（2，2），得 4k ,b 3 1 解得k ，2k .b2 2 b 1因此直线AB的函数解析式为y 1x 12图2 图3 图4（3）如图3，因为直线y 1x 1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，21），所以FD/ x轴，EFPEAO因此AEO与EFP 相似存在两种情况：如图3，当EAEF 解得FP1此时点P的坐标为（1，1） AOFPEAFP 解得FP5此时点P的坐标为（5，1） AOEF如图4，当本题的题设部分有

6、条件“RtABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变第（2）题反比例函数的解析式为y 直线AB为y 12，x1 x 7第（3）题FD不再与x轴平行，AEO与EFP 也不可能相似图52013中考数学压轴题函数相似三角形问题（二）例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1

7、A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 （x1，y1）、（x2，y2）用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；图1 图2请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下

8、运动，观察图形和图像，可以体验到，x2x1随S的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF与GQE相似1第（2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G

9、在x轴的上方111（1）抛物线的对称轴为直线x 1，解析式为y x2 x，顶点为M（1， ） 8482（x1 1 x2 1） 3（x1 x2） 6，由此得到2s12111x1 x2 2由于y2 y1 3，所以y2 y1 x2 x2 x12 x1 3整理，得38484（2） 梯形O1A1B1C1的面积S 1 72 1 （x2 x1） （x2 x1） 3因此得到x2 x1 4 S 8 x2 x1 14, x1 6, 解得 此时点A1的坐标为（6，3） x2 x1 2. x2 8.当S=36时， （3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似

10、的GAF与GQE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF中，GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于tan GAF DQt33t20 ，tan PQD ，所以 解得t QP5 t445 t7图3 图4第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例4如图1，已知点A （-2，4） 和点B （1，0）都在抛物线y mx2 2mx n上（1）求m、n；（2）向右平移

11、上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形A ABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B、C、D为顶点的三角形与ABC相似请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A ABB为菱形再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，BCD与ABC相似有两种情况1点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B 的坐标、AC和BC的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求

12、ABC与BCD相似，根据菱形的性质，BACCBD，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论（1） 因为点A （-2，4） 和点B （1，0）都在抛物线y mx2 2mx n上，所以4 4m 4m n 4, 解得，n 4 m 3 m 2m n 0.（2）如图2，由点A （-2，4） 和点B （1，0），可得AB5因为四边形A ABB为菱形，所以A ABB AB5因为y 4284162x x 4 x 1 ，所以3333原抛物线的对称轴x1向右平移5个单位后，对应的直线为x4 因此平移后的抛物线的解析式为y, 4 x 4 2 1633图2（3） 由点A （-2，4） 和点B （6，0），可得A

13、B如图2，由AM/CN，可得2BNBC，即 解得BC 8BMBAAC ABC与BCD中，BACCBDABBC ，解得BD 3此时OD3，点D的 ACBDBD如图3，当坐标为（3，0）如图4，当ABBD513，解得BD 此时OD，点D ACBC33的坐标为（13，0）在本题情境下，我们还可以探求BCD与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况我们也可以讨论BCD与CB B相似，这两个三角形有一组公共角B，根据对应边成比例，分两种情况计算2013中考数学压轴题函数相似三角形问题（三）例5如图1，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，2）三点（1）求此抛物线

14、的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标 ,请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示PAM与OAC相似的三个情景双击按钮“第（3）题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，DCA的面积最

15、大1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA（1）因为抛物线与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，设抛物线的解析式为1y a（x 1）（x 4），代入点C的 坐标（0，2），解得a 所以抛物线的解析2115式为y （x 1）（x 4） x2 x 2 222（2）设点P的坐标为（x, （x 1）（x 4） 1如图2，当点P在x轴上方时，1x4，PM （x 1）（x 4），AM 4 x 11 （x 1）（x 4

16、）AMAO如果 2，那么 2解得x 5不合题意 PMCO4 x1 （x 1）（x 4）AMAO11如果 ，那么 解得x 2 PMCO24 x2此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x4，PM 1 （x 1）（x 4），AM x 421（x 1）（x 4）解方程 2，得x 5此时点P的坐标为（5, 2） x 41（x 1）（x 4）1解方程 ，得x 2不合题意 x 42如图4，当点P在点B的左侧时，x1，PM 1 （x 1）（x 4），AM 4 x2解方程 2，得x 3此时点P的坐标为（ 3, 14） 4 x1（x 1）（x 4）1解方程 ，得x 0此时点P与点O重合，不合题意

17、 4 x2综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或（ 3, 14）或（5, 2）（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为y 1x 2 2125m m 2），点E2211511的坐标为（m,m 2）所以DE （ m2 m 2） （m 2） m2 2m 22222设点D的横坐标为m（1 m 4），那么点D的坐标为（m, 因此S DAC 112（ m 2m） 4 m2 4m （m 2）2 4 22当m 2时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）图5 图6第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和AD

18、M的面积设点D的横坐标为（m，n）（1 m 4），那么S 由于n 111（2n 2） 4 m（n 2） n（4 m） m 2n 4 222125m m 2，所以S m2 4m 22例6如图1，ABC中，AB5，AC3，cosA点B重合），作DE/BC交射线CA于点E.（1） 若CEx，BDy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；（2） 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；（3） 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；3D为射线BA上的点（点D不与10图1 备用图 备用图请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D

19、可以在射线BA上运动双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，DEF为等腰三角形1先解读背景图，ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的DEF也是等腰三角形2用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况3求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意4第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题（1）如图2，作BHAC，垂足为点H在RtABH中，

20、AB5，cosA所以AHAH3 ，AB1031AC所以BH垂直平分AC，ABC 为等腰三角形，ABCB5 22因为DE/BC，所以ABAC5，即5 3于是得到y x，（x 0） DBEC3yxDEAEMNAN，即DE |3 x|， BCACBCAC53（2）如图3，图4，因为DE/BC，所以1|3 x|MN因此DE 5|3 x|，圆心距MN 5|6 x| 3653在M中，rM 11511BD y x，在N中，rN CE x 22622当两圆外切时，5130x x 5|6 x|解得x 或者x 10 6213630，此时DE 5（3 x） 15 13313如图5，符合题意的解为x 当两圆 图6 图

21、7（3）因为ABC是等腰三角形，因此当ABC与DEF相似时，DEF也是等腰三角形如图8，当D、E、F为ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF2.5根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF4.1如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时BF 12534图8 图9 图10 图11第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是ABC的高，D、E、F为ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形例 7如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）平移二次函数y tx2的图象，得到的抛物线F满

22、足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B、C两点（OB<OC），连结A，B（1）是否存在这样的抛物线F，使得OA OB OC？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO23，求抛物线F对应的二次函数的解析式请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A在y轴上运动，可以体验到，AQ与BC保持平行，OAOB与OAOB保持32双击按钮“t3”，“t06”，“t06”，“t3”，抛物线正好经过点B（或B）1数形结合思想，把OA OB OC转化为t2 x1 x22如果AQBC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到tb3分类讨论tanABO23，按照A、B、C的位置关系

23、分为四种情况A在y轴正2半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况（1）因为平移y tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q（t，b），所以抛物线F对应的解析式为y t（x t）2 b因为抛物线与x轴有两个交点，因此tb 0令y 0，得OB t b，OC t tb t所以|OB| |OC| |（t b）（ t tbb）| |t2 | t2 OA2即ttt2 b t2所以当b 2t3时，存在抛物线F使得|OA|2 |OB| |OC| t（2）因为AQ/BC，所以tb，于是抛物线F为y t（x t）2 t解得x1 t 1,x2 t 1当t 0时，由

24、|OB| |OC|，得B（t 1,0）如图2，当t 1 0时，由tan ABO 数的解析式为y 3x2 18x 24 t3|OA| ，解得t 3此时二次函2|OB|t 1如图3，当t 1 0时，由tan ABO 函数的解析式为y t3|OA|3 ，解得t 此时二次2|OB| t 15321848xx525125如图4，如图5，当t 0时，由|OB| |OC|，将 t代t,可得t 时二次函数的解析式为y 3，t 3此53218xx48或y 3x2 18x 24525125图4 图5第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ/BC，所以tb，于是抛物线F为y t（x t）2 t由tan ABO OA3

25、2 ，得OB OA OB23把B（t,0）代入y t（x t）2 t，得t 3（如图2，图5） 把B（ t,0）代入y t（x t）2 t，得t （如图3，图4）2323352013中考数学压轴题函数等腰三角形问题（一）例1如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）当点P从O向C运动时，点H也随之运动请

26、直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上双击按钮“第（3）题”， 拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动双击按钮“第（2）题”可以切换1用含m的代数式表示表示APD的三边长，为解等腰三角形做好准备2探求APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解3猜想点H的运动轨迹是一个难题不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？RtOHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C（1）因为PC/DB，所以CP PM MC 1因此PMDM，CPBD2m所BDDMMB以AD4m于是得到点D的坐标为（2，4m）（2）在APD中，AD2 （4 m）2，AP2 m2