七年级数学下册 84 因式分解复习无答案新版沪科版Word下载.docx

1、即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.4x2-9=（2x）2-32=（2x+3）（2x-3）.（2）完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2.其中，a22ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.4x2-12xy+9y2=（2x）2-22x3y+（3y）2=（2x-3y）2.下列变形是否正确？为什么？（1）x2-3y2=（x+3y）（x-3y）；（2）4x2-6xy+9y2=（2x-3y）2；（3）x2-2x-1=（x-1）2.点拨 （1）不正确，目前在有理数范围内不能再分解.（2）不正确，4x2-6xy+9y2

2、不是完全平方式，不能进行分解.（3）不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.知识点4 分组分解法（1）形如： am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）（2）形如：x2-y2+2x+1=（x2+2x+1）-y2 =（x+1）2-y2 =（x+y+1）（x-y+1）.把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识规律小结 （1）分组分解法一般分组方式不惟一.将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：方法1：am+an+bm+bn=

3、（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）.方法2：am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（m+n）（a+b）.（2）分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.am+an+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；（2）按次数分组；（3）按系数分组.把下列各式因式分解.（1） am+bm+an+bn；（2）x2-y2+x

4、+y；（3）2ax-5by+2ay-5bx.知识点5 关于x2+（p+q）x+pq型二次三项式的因式分解x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.事实上：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）.x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.把x2+3x+2分解因式.（分析）因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=12，一次项系数3=1+2，这

5、是一个x2+ （p+q） x+pq型式子.解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）典例剖析 师生互动基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；（2）会分解关于x2+（p+q）x+pq型的二次三项式.例1 用提公因式法将下列各式因式分解.（1）ax-ay； （2）6xyz-3xz2； （3）-x3z+x4y；（4）36aby-12abx+6ab； （5）3x（a-b）+2y（b-a）；（6）x（m-x）（m-y）-m（x-m）（y-m）.（分析） （1）（4）题直接提取公因式分解即可，（5）题和（6）题首先要适当的变形，其中（5）题把b-a化成

6、-（a-b）的，（6）题把（x-m）（y-m）化成（m-x）（m-y），然后再提取公因式.（1）ax-ay=a（x-y）（2）6xyz-3xz2=3xz（2y-z）.（3）-x3z+x4y=x3（-z+xy）.（4）36aby-12abx+6ab=6ab（6y-2x+1）.（5）3x （a-b）+2y（b-a）=3x（a-b）-2y（a-b）=（a-b）（3x-2y）.（6）x（m-x）（m-y）-m（x-m）（y-m）=x（m-x）（m-y）-m（m-x）（m-y）=（m-x）（m-y）（x-m）=-（m-x）2（m-y）.小结 运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：（1）因式分解的结果

7、每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.如：（7m-8n）（x+y）-（3m-2n）（x+y）=（x+y）（7m-8n）-（3m-2n）=（x+y）（4m-6n）.=2（x+y）（2m-3n）.（2）如果出现像（5）（6）小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到（a-b）n=（b-a）n（n为偶数）.分解因式a（x-y）2+b（y-x）3+c（y-x）2.本题既可以把（x-y）统一成（y-x），也可以把（y-x）统一成（x-y）,但比较而言把（x-y）化成（y-x）比较简便，因为（x-y）2=（y-x）2.a（x-y）2+b（y-x）3+

8、c（y-x）2=a（y-x）2+b（y-x）3+c（y-x）2=（y-x）2a+b（y-x）+c=（y-x）2（a+by-bx+c）.（3）因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.（7a-8b）（a-2b）+（a-8b）（a-2b）=（a-2b）（7a-8b）+（a-8b）=（a-2b）（8a-16b）=8（a-2b）（a-2b）=8（a-2b）2.学生做一做 把下列各式分解因式.（1）am+an； （2）（xy+ay-by）；（3）（2a+b）（2a-3b）+（2a+5b）（2a+b）； （4）3x（a-b）-2y（b-a）；（5）4p（1-q）3+2（q-1）2； （6）ab2（x-y

9、）m+a2b（x-y）m+1.老师评一评 （1）原式=a（m+n） （2）原式=y（x+a-b）；（3）原式=2（2a+b）2； （4）原式=（a-b）（3x+2y）；（5）原式=（1-q）2（4p-4pq+2）； （6）原式=ab（x-y）m（b+ax-ay）.例2 把下列各式分解因式.（1）m2+2m+1； （2）9x2-12x+4；（3）1-10x+25x2； （4）（m+n）2-6（m+n）+9.（分析）本题旨在考查用完全平方公式分解因式.（1）m2+2m+1=（m+1）2.（2）9x2-12x+4=（3x-2）2.（3）1-10x+25x2=（1-5x）2.（4）（m+n）2-6（m

10、+n）+9=（m+n-3）2.（1）（x2+4）2-2（x2+4）+1； （2）（x+y）2-4（x+y-1）.老师评一评 （1）原式=（x2+3）2； （2）原式=（x+y-2）2.例3 把下列各式分解因式.（1）x2+7x+10； （2）x2-2x-8；（3）y2-7y+10； （4）x2+7x-18.（分析） 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=25，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子，可以用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行因式分解.（1）x2+7x+10=（x+2）（x+5）.（2）x2-2x-8=（x-4）（x+2

11、）.（3）y2-7y+10=（y-2）（y-5）.（4）x2+7x-18=（x+9）（x-2）.小结 对于x2+（p+q）x+pq型二次三项式的因式分解，pq0，则p,q同号，若p+q0，则p0，q0；若q+p0，则p0，q0；若pq0，则p,q异号，若p+q0，则绝对值大的为正数，若p+q0,则绝对值大的为负数.（1）m2-7m+12； （2）x2y2-3xy-10；（3）（m-n）2-（m-n）-12； （4）x2-xy-2y2.老师评一评 （1）原式=（m-3）（m-4）； （2）原式=（xy-5）（xy+2）；（3）原式=（m-n-4）（m-n+3）； （4）原式=（x-2y）（x+y

12、）.综合应用题本节知识的综合应用主要包括：（1）用分组分解法分解因式；（2）与方程组的综合应用；（3）与几何知识的综合应用；（4）几种因式分解方法的综合应用.例4 分解因式.（1）x3-2x2+x； （2）（a+b）2-4a2； （3）x4-81x2y2；（4）x2（x-y）+y2（y-x）； （5）（a+b+c）2-（a-b-c）2.（分析）本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.（1）x3-2x2+x=x（x2-2x+1）=x（x-1）2.（2）（a+b）2-4a2=（a+b+2a）（a+b-2a）=（3a+b）（b-a）.（3）x4-81x2y2=x2（x2-81y2）=x2（x

13、+9y）（x-9y）.（4）x2（x-y）+y2（y-x）=x2（x-y）-y2（x-y）=（x-y）（x2-y2）=（x-y）（x+y）（x-y）=（x+y）（x-y）2.（5）（ a+b+c）2-（a-b-c）2=（a+b+c）（a-b-c）（a+b+c）-（a-b-c）=2a（2b+2c）=4a（b+c）.例5 利用分组分解法把下列各式分解因式.（1）a2-b2+a-b； （2）a2+b2-2ab-1；（3）（ax+by）2+（ay-bx）2； （4）a2-2ab+b2-c2-2c-1.（分析） 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，

14、二是分组后能应用公式，其中（1）题分组后存在公因式，（3）题需去括号后重新分组，（2）和（4）题分组后能运用公式.（1）a2-b2+a-b=（a2-b2）+（a-b）=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）（a+b+1）.（2）a2+b2-2ab-1=（a2-2ab+b2）-1=（a-b）2-1=（a-b+1）（a-b-1）.（3）（ax+by）2+（ay-bx）2=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=（a2x2+a2y2）+（b2y2+b2x2）=a2（x2+y2）+b2（x2+y2）=（a2+b2）（x2+y2）.（

15、4）a2-2ab+b2-c2-2c-1=（a2-2ab+b2）-（c2+2c+1）=（a-b）2-（c+1）2=（a-b）+（c+1）（a-b）-（c+1）=（a-b+c+1）（a-b-c-1）.小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：（1）如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；（2）如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x2+（p+q）x+pq型式子或完全平方公式分解因式；（3）如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.最后，直到每一个因式都不能再分解为止.例6 解方程组（分析）本题是一个二元二次方程组，就目前

16、的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为（x+2y）（x-2y）=5，再把x-2y=1代入方程（x+2y）（x-2y）=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.由得（x+2y）（x-2y）=5，把代入中得x+2y=5，原方程组化为+得2x=6，x=3.-得4y=4，y=1.原方程组的解为学生做一做 解方程组老师评一评 例7 若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状.a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，2a2+2b

17、2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.即（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）=0，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0.由平方的非负性可知，a=b=c.这个三角形是等边三角形.例8 利用因式分解计算下列各题. （分析）主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算.=234200=46800.（2）992+198+1=992+2991+1=（99+1）2=1002=10000.学生做一做 利用因式分解计算下列各题.（1）7.6199.9+4.3199.9-1.9199.9； （4）（5）2-（2）2.老师评一评 （1）原式=1999； （2）原式=1；（3

18、）原式=143000O； （4）原式=28.例9 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .（分析） 完全平方式是形如：2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（或差）.9x2+kxy+36y2=（3x）2+kxy+（6y）2，kxy=23x6y=36xy.k=36.学生做一做 若x2+（k+3）x+9是完全平方式，则k= .老师评一评 k=3或k=-9.探索与创新题例10 计算.（分析） 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即=a-b（a+b0）.解:原式=+ =（-1） （20042） =-1002.例11 若x2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（ ）A

19、.2个 B.3个 C.4个 D.6个（分析） 若把x2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x2+（p+q）x+qq考虑把20分解因数，20可分解为：201，（-20）（-1），102，（-10）（-2），54，（-5）（-4），所以k可能取的值有：20+1，（-20）+（-1）,10+2，（-10）+（-2）,5+4，（-5）+（-4）,故k可能取的值有6个，所以正确答案为D项.例12 分解因式（x4+x2-4）（x4+x2+3）+10.（分析）把x4+x2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构.令x4+x2=m，则原式可化为（m-4）（m+3）+10=m2-m-12+10=m

20、2-m-2=（m-2）（m+1）=（x4+x2-2）（x4+x2+1）=（x2+2）（x2-1）（x4+x2+1）=（x2+2）（x+1）（x-1）（x4+x2+1）.学生做一做 求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.老师评一评 设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2n（n+1）（n+2）（n+3）+1一定是一个完全平方数.例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.（分

21、析）用待定系数法，令x2+7xy+my2-5x+43y-24=（x+ay+b）（x+cy+d）,再对比系数求得m.设x2+7xy+my2-5x+43y-24=（x+ay+b）（x+cy+d）=x2+（a+c）xy+acy2+（b+d）x+（ad+bc）y+bd.对比多项式的系数得由，两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.（1）当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，（2）当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.m=-18.学生做一做 已知多项式2x3-x2+m有一个因式（2x+1）,求m的值.老师评一评 由已知条件可以设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）,则2x3-x

22、2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b.对比多项式系数可得中考展望 点击中考中考命题总结与展望本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视.中考试题预测例1 （1）分解因式：a2-25= ；（2）分解因式：xy2-x2y= ；（3）分解因式：x2-1= ；（4）分解因式：3x2-3= ；（5）分解因式：x2+2xy+y2-4= ；（6）分解因式：x3y2-4x= ；（7）分解因式：2x2-2= ；（8）分解因式：a3+2a2+a= ；（9）分解因式：x3y

23、-4xy+4y= ；（10）分解因式：a2-2ab+b2-c2= .（分析） （1）直接运用平方差公式分解即可.（2）直接运用提取公因式法分解即可.（4）3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1）.（5）解决本题采用分组分解法，x2+2xy+y2-4=（x2+2xy+y2）-4=（x+y）2-4=（x+y+2）（x+y-2）.（6）先提取公因式，再运用公式法分解因式.x3y2-4x=x（x2y2-4）=x（xy+2）（xy-2）.答案：（1）（a+5）（a -5） （2）xy（y-x） （3）（x+1）（x-1） （4）3（x+1）（x-1） （5）（x+y+2）（x+y-2）（6）x

24、（xy+2）（xy-2） （7）2（x+1）（x-1） （8）a（a+1）2 （9）y（x-2）2 （10）（a-b+c）（a-b-c）例2 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A.x2-y B.x2+2y C.x2+y2 D.x2-xy+y2答案:B例3 将多项式a2-ab+ac-bc分解因式，分组的方法共有 种.（分析） 一种是：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）；另一种是：a2-ab-ac-bc=（a2+ac）-（ab+bc），分组方法共有2种.例4 x2-y2-x-y分解因式的结果是 .（x+y）（x-y-1）例5 将下列式子因式分解：x-x2-y+y2=

25、 .（x-y）（1-x-y）（分析）运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组.由得（x-2y）（x+y）=0，把代入中，得x-2y=0，原方程组化为-得3y=2，y=.把y=代入中，得x=. 原方程组的解为例7 为使x2-7x+b在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为 .（任写一个）（分析） 这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子x2+（p+q）x+pq.-8例8 把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（ ）A.（1-x-y）（1+x-y） B.（1+x-y）（1-x+y）C.（1-x-y）（1-x+y） D.（1+x-y）（1+x+y）（分析）解决本题采用分组分解法

26、.1-x2+2xy-y2=1-（x2-2xy+y2）=1-（x-y）2=（1+x-y）（1-x+y）.故此，正确答案为B项.课堂小结 本节归纳1.本节主要学习了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分组分解法分解因式；形如x2+（p+q）x+pq的二次三项式的因式分解.2.会运用因式分解解决计算问题.自我评价 知识巩固1.若x2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）A.3 B.-5 C.7. D.7或-12.若（2x）n-81=（4x2+9）（2x+3）（2x-3），则n的值是（ ）A.2 B.4 C.6 D.83.把（a+b）-4（a2-b2）+4（a-b）2分解因式的结果是（ ）A.（3a-b）2 B.（3b+a）2 C.（3b-a）2 D.（3a+b）24.把（5x-2y）2+（2x+5y）2分解因式为（ ）A.2（5x-2y）2 B.-2（5x-2y）2C.29（x2+y2） D.以上都不对5.若多项式x2+pxy+qy2=（x-3y）（x+3y），则p,q的值依次为（ ）A.-12,-9 B.-6,9 C.-9,-9 D.0,-96.分解因式：4x2-9y2= .7.利用因式分解计算： = .8.若x=3.