浙江专用版高考数学大一轮复习第十章计数原理101分类加法计数原理与分步乘法计数原理文档格式.docx

1、解析由分步乘法计数原理知，用0,1，9十个数字组成三位数（可用重复数字）的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重复数字的三位数的个数为900648252.故选B.2满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（）A14 B13 C12 D10解析当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对（0，1），（0,0），（0,1），（0,2）均满足要求；当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为（1，1），（1,0），（1,1），（1,2），（1，1），（1,0），（1,1），（2，1），（2,0）综

2、上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.3从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A24 B18 C12 D6解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212（个）奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有316（个）奇数根据分类加法计数原理，知共有12618（个）奇数4（教材改编）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，知总的报

3、名方法共2232（种）题型一分类加法计数原理的应用例1高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人（1）从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解（1）完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有5060551

4、65（种）不同的选法（2）完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法根据分类加法计数原理，共有30302080（种）不同的选法思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类（2016全国丙卷）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的

5、“规范01数列”共有（）A18个 B16个 C14个 D12个答案C解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C个，共28414（个）题型二分步乘法计数原理的应用例2（1）（2016全国甲卷）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A24 B18 C12 D9（2）有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有

6、_种不同的报名方法答案（1）B（2）120解析（1）从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6318（种），故选B.（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120（种）引申探究1本例（2）中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36729

7、（种）2本例（2）中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216（种）思维升华（1）利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事（2）分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成（1）（教材改编）已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合

8、中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是（）A12 B8 C6 D4（2）（2016石家庄模拟）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得冠军的可能性有_种答案（1）C（2）4554解析（1）分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是326个，故选C.（2）五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4

9、个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性题型三两个计数原理的综合应用例3（1）如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法（2）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_答案（1）260（2）36解析（1）区域A有5处涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方

10、法，区域D也有3种涂色方法所以共有544533260（种）涂色方法（2）第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236（个）思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路（1）弄清完成一件事是做什么（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类（3）弄清分步、分类的标准是什么（4）利用两个计数原理求解济南质检）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相

11、同的颜色，则不同的涂色种数有_答案96解析按区域1与3是否同色分类：（1）区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5（还有3种颜色）有A种方法区域1与3涂同色，共有4A24（种）方法（2）区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法这时共有A1372（种）方法故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为247296.12利用两个基本原理解决计数问题典例（1）把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（）A24种 B4种 C43种 D34种（2）某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时

12、间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有_种错解展示解析（1）因为每个信箱有三种投信方法，共4个信箱，所以共有3334（种）投法（2）乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法，共有3412（种）方法答案（1）D（2）12现场纠错解析（1）第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法（2）因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有437（种）答案（1）C（2）7纠错心得（1）应用计数原理解

13、题首先要搞清是分类还是分步（2）把握完成一件事情的标准，如典例（1）没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误1（2016镇海中学模拟）有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有（）A8种 B9种C10种 D11种解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3339（种）不同的监考方法2小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正

14、面不相对，则不同的摆法有（）A4种 B5种 C6种 D9种解析记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法，故选B.3将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有（）A12种 B10种C9种 D8种答案A解析第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2（种）选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C6（种）选派方法由分步乘法计数原理，不同的选派方案共有2612（种）4（201

15、5四川）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（）A144个 B120个 C96个 D72个解析由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3A72（个）；若万位是4，则有248（个），故比40 000大的偶数共有7248120（个）故选B.5将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有（）A1种 B3种C6种 D9种解析因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色故有316（种）涂色方案6将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字

16、母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A12种 B18种C24种 D36种解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有一种排法因此共有A2112（种）不同的排列方法7（2016大连模拟）将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有_种答案9解析编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法于是由分类加法计数原理，得共有3339（种）不同的填法8如图所

17、示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种答案13解析四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共3种可能故不通的情况有24313（种）可能9（2016日照模拟）从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为_答案17解析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到A20（个）对数，但log23log49，log32log94，log24log39，log42log93，综上可知，共有201417

18、（个）不同的对数值10（2016天津模拟）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则（1）4位回文数有_个；（2）2n1（nN*）位回文数有_个答案（1）90（2）910n解析（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计91090（种）填法，即4位回文数有90个（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格结合分步乘法计数原理，知有910n种填法11有一项活动需在3名老师，6名男

19、同学和8名女同学中选人参加（1）若只需一人参加，有多少种不同选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？（3）若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？解（1）只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为36817. （2）分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6814（种）选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为31442. （3）教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种由分步乘法计数原理知总方法数为368144（种）12如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可

20、供使用，求不同的染色方法种数解方法一设想染色按SABCD的顺序进行，对S，A，B染色，有5360（种）染色方法由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C），S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择从而对C、D染色有13227（种）染色方法由分步乘法计数原理，不同的染色方法种数为607420.方法二根据所用颜色种数分类，可分三类第一类：用3种颜色，此时A与C，B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点，共A60（种）涂法；第二类：用4种颜色，此时A与C，

21、B与D中有且只有一组同色，涂法种数为2A240（种）；第三类：用5种颜色，涂法种数共A120（种）综上可知，满足题意的染色方法种数为60240120420.*13.已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则：（1）yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数？其中偶函数有多少个？（2）yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解（1）a的取值有5种情况，b的取值6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示56180（个）不同的二次函数若二次函数为偶函数，则b0，故有5630（个）（2）yax2bxc的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示2672（个）图象开口向上的二次函数