第五章拉普拉斯变换前5节Word文件下载.docx

1、Jo f （t pdt + Jt f （t ）edtTstdbo0 f（t）edt +Jt f（t ）e_ dtMj0|f（t jedt + A |f（t）Bdt2 31） ,，t_0为非指数阶信号。2） p t e：t为指数阶信号，其中p t为多项式 3）二0为收敛坐标，过二0垂直于匚轴的垂线为收敛轴，匚:-匚0为收敛域（已知收敛域）。4）指数阶函数是衡量信号拉氏变换存在的标准， 并指定了收敛轴。在 收敛轴右边拉氏变换收敛，并不意味着其左边一定不收敛。例 1: f Uu tu t -1 e,0 - 即收敛beL t e_stdt =e ：01|0 -S S（5-4）例2:负指数信号 Sty甘

2、醴一0 二（5-5）例3:幕次信号L 外二：fedt 二nLfSn=0, L :u tsn=1, L Itu t 2 s n=n, L fu t 唁 sJ积分下限：当f t在t=0处是第一类间断点时，亦有F s 二 L If ti；=f t edt=of t edt= ,：f t edt（5-6）（5-7）（5-8）（5-9）但是，此时t： t，f t t。因此，在用拉氏变换方法解微分方程时，积分下限宜取零负，以便于处理初值问题，豁免从零 负求 零正之苦难。后续讨论拉氏变换微分性质，即可进一步理解此良苦用心！5.2性质（信号与系统第二版（郑君里）4.3）-代数性质：线性：f n 1 nL if

3、i t 八：i L tfi t 1 （5-10）.i m i d卷积:L f1 t f2 t i；.； = F1 s F2 s（5-11）川f），tl耳（s）爭状摆响应 土*云=丁卩）H （如=g松（f计=码A（f）=（r）图5-2像卷积（s域卷积）：L : f1 t f2 t F1 s F2 s2兀J1 ；丁上：F1 z F2 s-z dz（5-12） 乘 f1 t2j j：f2 t图5-3f1 t f2 tJ拓扑性质（微/积分性质）：微分：此处容易混淆，各版本书叙述不一样，务必提高警惕!L If t t0_，sF s -f 0_L ：f t t 0 f=sF s - f 0 .（5-13）

4、L f tt edt 二 f t et |。二 s。二一 f t edt 二 sF s - f 0二注1:由（5-9）式易知，上式兰色项相等；因此，只需式中 红色的零负与零正 分别对应即可，而不管信号在零点是否有跳变！注2:对于因果信号，有f 0_ =0，则 L fpf t，sF s ， p s j -，者的作用等价，即：pf t二sF s二jFiQ 。此时，积分下限可以是0+、0-、0均可，象函数完全相同，即L曹此时，更有L p2f t 丄 L pf t /f t 二 sF s - f 0干AsF s - f 0（5-14）二 s|_sF s - f 0-f 0_（5-15）= s2F s

5、-sf 0_ - f 0_特别地，当f 0=0,f 0=0, , f 2 0=0时，有（5-16）pnf t = snF s积分:-L ： f J 0 u t ?+ L ： 0 f . d . ?J f 0 Lf . d J 1 t t 严旳 t 1二 -e.0 f d. - 0 f t edt =-F s_ S - o s s11 1 J 1L f t f 0 F sIP J s 丿 s 像微分（s域微分）：-JL Jtf t s ： pF s （5-18）像积分：f 1 :L ft 二 s F z dz （ 5-19） F z dz = dz eJtf t dt、s * Ls J0= 0

6、ft sdz dt1 st 1 If t e dt = L f t0 t tJ其他性质：平移（延时）：L Cf t-t。u t -t。,e赵 L Cf t 1 （5-20） 延时切 图5-4口诀：时延 负旋转 像平移（调制）：（5-21） f t e r = F s - y. i 口诀：正旋转:-频移。例：已知L u t ， 则有相似（尺度变换）（5-22）初值定理：若Lf ts存在，L : f t /存在,所以，当s； :时，et； 0, ae，两点除外若f t在t = 0处有跳变：f 0 . f 0_ =厶，可有sF s - f L ff t 0 f t e-stdt f t edt 0

7、f t edt0 . st ： st-.0 t e dt 0 f t e dtt edt取极限有：lim |sF s - f 0_ = lim o f t e_stdt即：f o. _f 0_注3:若ft在t = 0有冲激：f t二k. t f1 t，贝UF s=k Fi s , f 0/= fi 0g=lim sFi s终值定理：若Lf t.； = F s存在，L f t /存在，sF s在除原点外的二,（右半闭平面）解析（相当与实变函数的光滑），贝UsF （s ）= f （0十）+ f t ）etdtlim sF （s ）= f （O+）+lim J fC）（t）e_stdts 0 s 0

8、 0+CO dTf tdt二 f 0 f ： -f 0 = f ：1）应用:图5-6希望输出能够再现输入，即timJy t Lv t =0= ： 02） Sr 0, s-； j ,必然二）0, 0,（慢变信号）3）二e：tu t 0，右半平面有一极点，不满足定理条件5.3拉普拉斯逆变换- 极点、零点：（信号与系统第二版（郑君里）4.4）F s 二 LF s的极点口 = F 口：当N与D互素时，口即D s的零点F（s）的零点召二F（z）=0 ;当N与D互素时，z即N（s ）的零点。已知F s，求ft :;j:F s e ds , - 0 = max Re p （最右边极点）图5-81 J 口出处

9、 st st st If t .j F se ds crF se ds- “F s e d（5-26）1 st st 石卩丁 s e ds rF s e ds；二葛 JcF ses沁二 ResF s est u ti iF s = N s，若 deg N : deg D，贝U（ 5-27）式成立; D（s）5）1 ?当F s不是有理函数时，需考察 crF s estds = ON （s 8） F s , deg N = deg D qD（s）N0（s）FCs 冇,Dos=Ds=、。Cs 也i =0 D0 s解：f （t ）= Res# （s jest 出 + Res# （s ）ess3 2 _

10、L _L _t=2 + t e + 2 te十 2 e IL 2J部分分式展开：N（s） F s ， deg N : deg DD（s ）， g gFs 二 （S P1 ） （S Pr 卅厂（S Pn ）P1 : r 阶，Pr 1 =Pn 一阶Ci 二 ResF s 爲Gr 二 ResF s 爲=P1加 $ - pi r F sr -1 ! ILds su t GePit u t（5-31）5.4系统函数（信号与系统第二版（郑君里）4.6, 4.7）-问题的提出：输入 v t，求 ii t ,io t ,y t输入 ii t ，求 v t ,i。t ,y t叩 Y（t）图5-9A（t）Xt）输

11、入/输出图 5-10h t为系统的冲击响应系统函数：（5-32）图 5-11零状态响应:y t 二 L “Y s 2 L “H s X （5-33）I系统的几种描述形式：竺_. A（t）竺图 5-12y t =H p x tH s = L ：h t ?Y s 二H s X s形式 dH s 二 H Plsm，p 二二，s 收敛域若写为y t i；=H s x t ，则s表示微分算子;但不能写作Y s二H s x t。系统的多种输入输出描述：冲击响应拦系统算子拦系统函数 訂微分方程描述h（t） H（p） H（s）*零状态响应零状态响应 非零状态响应丄H s零、极点与h t的波形特征：H s =

12、N s ， n 与 D 互素，deg N : deg D D（s）Ci . C-S P1 S 一 Pr 1 S Pn y S P1 id 1S Pif r n（5-34）h t = L J :H s 4。狀甩皿一二 CiePit u t Li# “1）2）ePlt,tePlt,，tr4ePlt,eP，ePnt线性无关，与极点有关，称为模态。Gi,，Gr，Gr 1,Cn决定于H S的零极点分布。H （s ）是s的实系数有理函数，对于p中的共轭对:口 = a j 、p2 = Pi = a - j o,Pi与P2共同产生输出：eat sin- .ot u t4） 对 H （s ），若 p严 Rep

13、才0yzs t 二 Res：Y s- 1 1 二 s-j s H s - est- J。 s因此：ys t二H j 0 ej 0t，称为正弦稳态响应H （j%）=H（s）|sj厂 H（j%|eJ%） ys（t ）= H （j% 宦鬧咖 1）对矩阵A, Rn ,为特征向量，为属于的特征根。对应（5-35）式有：ej 0t为特征函数，H j 0为系统针对输入特 征函数的特征根-谱。v t = Acos 0t 二0（5-36） ys（t ） = |H （jcoo Acos（ot +日0 （o ）v t = Asin ot 兀（5-37） ys（t ）=|H （jcoo jAsin（C0ot+To +

14、0（0 ”J频率响应：输入频率变化的单频信号时输出的响应。当跑遍-：，:时，H j-即系统的频率响应（谱）。H （j ）=|H j je如,其中，H（j国 为系统的幅频特性（响应），幅度谱；为系统的相频特性（响应），相位谱。BIBO稳定系统的传递函数等价性：系统 BIBO 稳定u J”h（t）dtu H（s ）极点乏兀 （5-38）此时，H s |sj = H r = F :h = H 反例（积分器）： H id = f t u t-积分器的单位冲激响应为h t =u t = H s =-t f dT J-o0图 5-17 1 H j = H s lj j国而F 二F h t =丄，因此两者不等。j时J确定频率特性的几何方法:mN s 心【s ZjH s =d （s）n （s- Pi）i 4m K【7 Ki |Nkekh j 丨丨 - 口i =1Kit_ kFjkNkenjH j ej -（5-39）I 丨 Miei咼K【NkH j - nkdn Mim nj 八耳 j# im差矢量是与正实轴的夹角：逆时针为正，顺时针为负 例：考虑图5-18的情况H j =KNkjkMM