1、x=-1, t20, t2+11, 01, -1-11, -1x1。解得t2=0, -1x1,同理可得出y的范围。(5) 现在综合运用上述各种方法进行消参,首先,求x,y范围。由x=得x2=0, -1x1,由y=, t=0时,y=0;t0时,|y|=1,从而|y|1。注意到分子,分母的结构,采用平方消参, x2+y2=()2+()2=1。关键能不能用x, y表示t,且形式简单由x=得t2=,代入y=t(1+x) t=再代入x=,化简得x2+y2=1。法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象 可令t=tg,(-),x=cos2,y=sin2, x2+y2=1,又2(-,), -10),过原点作
2、互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB,CD,M为AB中点,N为CD中点,G为MN中点。求G点轨迹方程,并说明其图形。设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p) k2x2-4px-4p2=0, 若A,B坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则 xM=, yM=, ABCD, CD方程为y=-x,代入y2=4p(x+p), x2-4px-4p2=0,设C(x3, y3),D(x4,y4) N(2pk2, -2pk) 则G点坐标(x,y)为y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)x=p(k2+)p2=2p,而yR在方程中都已体现, 轨迹方程为y2=p(x-2p
3、)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。说明:消参一般应分别给出x,y的范围,而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况,消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹,这时应用语言作补充说明。如方程 0,,是个圆,但消参之后得x2+y2=1(|x|1, |y|1)却无法说明这一点。在线测试窗体顶端选择题1曲线的参数方程为(为参数),则方程所表示的曲线为() A、射线B、线段C、双曲线的一支D、抛物线 窗体底端2参数方程(为参数,且02)所表示的曲线是(). A、椭圆的一部分B、双曲线的一部分 C、抛物线的一部分,且过(-1,)点D、抛物线的一部分,且过(1,)点 3已知直线l的参数方程
4、为则直线l的倾斜角为() A、B、C、D、4抛物线(t为参数)的准线方程是() A、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-2 5弹道曲线的参数方程为(t为参数,v0,g为常数)当炮弹到达最高点时,炮弹飞行的水平距离是() 答案与解析 解析:(1) x=cos20,1,y=1-cos2=1-x, x+y-1=0, x0,1为一条线段。故本题应选B。(3)本题认为直线l的倾斜角是是不对的,因为只有当直线的参数方程为:(其中t为参数),其中的才是直线的倾斜角,消去参数t,化参数方程为普通方程后,再求直线l的倾斜角是可以的。但直线l的倾斜角适合tan=,这里只要把两个方程相除就可得:, tan=-又0
5、0)的对称轴上两点,且它们关于顶点O对称,过M,N作两条平行线,分别交抛物线于P1,P2,Q1,Q2,求证:|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2|。证明:由已知可设M(a,0), N(-a, 0)(a0) 则直线MP1,NQ1的参数方程为:和(2)其中t是参数,是倾斜角。把(1)(2)分别代入y2=2px中,由韦达定理可得:|MP2|=,|NQ1|NQ2|=,|MP1|NQ2| 评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义,即|t1|,|t2|为相应点到定点M的距离,据此证明了关于线段的等式问题。例5椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆焦点F1引直线交椭圆于M,N两点,设F
6、2F1M=,0,),若|MN|等于短轴时,求。a=3, c=2,b=1, F1(-2,0),椭圆方程+y2=1。法(1)设MN所在直线参数方程为.(1)(t为参数) 将(1)代入+y2=1得:(1+8sin2)t2-4tcos-1=0 t1+t2=, t1t2=,2b=2。|t1-t2|2=, =22, sin2=0,), sin=, =或。(法二)设MN方程:y=k(x+2 x1+x2=.(1),x1x2=.(2) |MN|=|x1-x2|.又|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2.(3) 将(1),(2)代入(3),将(3)代入(I)解得:k2=(下略) 另; e=, M(x1,y
7、1), N(x2,y2)由第二定义:|MF2|=ex2+a, |MF1|=ex1+a |MN|=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6, 2=+6, k2=(下略)。利用直线参数方程,常常解决弦长的问题,对比普通方程的弦长公式可知,形式上要简捷,运算上也将更加简化,减少运算的出错可能。例6过M(-1,0)的直线l交双曲线x2-y2=10于A,B两点,且|MA|=3|MB|,求直线l的方程。|MA|=3|MB|,若设普通方程,则两线段间的上述关系表述很繁琐,条件不利于应用。设直线参数方程点角式,直接利用参数t的几何意义表达|MA|=3|MB|,可以很方便的代入式子中去应用。设直线MA的参数方
8、程为(t为参数)(-1+tcos)2-t2sin2-10=0(cos2-sin2)t2-2tcos-9=0,有 t1+t2=又 |MA|=3|MB|, t1=3t2。当t1=3t2时,4t2=, 3 t2=, 3解得:cos2=,sin2=, tg=, l: y=(x+1)。 当t1=3t2时,同理可求l:y=本周小结:直线参数方程点角式问题,应注重从下面几点讲解。1会判断方程是否为点角式参数方程;2若参数方程为会化为点角式,并会求出倾角,一定要注意倾角的范围。3会应用它解决弦长问题,弦的中点线分弦成定比问题,点在直线上位置等常见问题。参考练习:1直线:(t为参数)的倾斜角是( )A、20B、
9、70C、110D、1602直线(t是参数)与圆(为参数)相交所得弦长为() A、(3-) B、C、D、(3+3圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过P0且倾角为的弦。(1)当=,求|AB|;(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线A的方程。参考答案: 1.C2.B 3.解:设直线AB方程为:(1)(t为参数)把(1)代入x2+y2=8,整理得: t2-2(cos-2sin)t-3=0.(2) 直线与圆相交,(2)有实根,则由韦达定理:t1+t2=2(cos-sin), t1t2=-3, 时,|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=2(cos-sin)2-4(-3)=30(2)弦A被点P0平分 cos-2sin)=0tg=,即k= A方程为:y-2=(x+1),即x-2y+5=0。1直线(t为参数)的倾斜角是() A、20B、70C、110D、1602曲线的参数方程为(0t5),则曲线是() A、线段B、双曲线的一支C
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