高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 枚举法二文档格式.docx

1、（A，B，C）（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3）， （1，2，1），（1，2，2），（1，2，3）， （3，3，1），（3，3，2），（3，3，3）在上述可能解集合中，满足题目给定的检验条件的解元素，即为问题的解。如果我们无法预先确定解的个数或各解的值域，则不能用枚举，只能采用搜索等算法求解。由于回溯法在搜索每个可能解的枚举次数一般不止一次，因此，对于同样规模的问题，回溯算法要比枚举法时间复杂度稍高。例8 给定一个二元一次方程aX+bY=c。从键盘输入a,b,c的数值，求X在0，100，Y在0，100范围内的所有整数解。 分析：要求方程的在一个范围内的解，只要对这个范围内的所有整数

2、点进行枚举，看这些点是否满足方程即可。参考程序：program exam8;var a,b,c:integer; x,y:begin write（Input a,b,c:）;readln（a,b,c）; for x:=0 to 100 do for y: if a*x+b*y=c then writeln（x, ,y）;end.从上例可以看出，所谓枚举法,指的是从可能的解集合中一一枚举各元素,用题目给定的检验条件判定哪些是无用的,哪些是有用的.能使命题成立,即为其解。例9 巧妙填数 1 9 2 3 8 4 5 7 6 将19这九个数字填入九个空格中。每一横行的三个数字组成一个三位数。如果要使第

3、二行的三位数是第一行的两倍, 第三行的三位数是第一行的三倍, 应怎样填数。如图6: 图6本题目有9个格子，要求填数，如果不考虑问题给出的条件，共有9！=362880种方案，在这些方案中符合问题条件的即为解。因此可以采用枚举法。但仔细分析问题，显然第一行的数不会超过400，实际上只要确定第一行的数就可以根据条件算出其他两行的数了。这样仅需枚举400次。因此设计参考程序：program exam9; i,j,k,s:function sum（s:integer）: sum:=s div 100 + s div 10 mod 10 + s mod 10end;function mul（s:longi

4、nt; mul:=（s div 100） * （s div 10 mod 10） * （s mod 10） for i:=1 to 3 do for j:=1 to 9 do if ji then for k: if （kj） and （ki） then begin s := i*100 + j*10 +k; 求第一行数 if 3*s1000 then if （sum（s）+sum（2*s）+sum（3*s）=45） and （mul（s）*mul（2*s）*mul（3*s）=362880） then 满足条件，并数字都由19组成 begin writeln（s）; writeln（2*s）;

5、 writeln（3*s）; writeln; end;例10 在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:没猜对任何一个优胜者的名次。也没猜对任何一对名次相邻的学生。条件2: 你如果按D, A , E , C , B 来排列五人名次的话, 其结果是:说对了其中两个人的名次。还猜中了两对名次相邻的学生的名次顺序。本题是一个逻辑判断题，一般的逻辑判断题都采用枚举法进行解决。5个人的名次分别可以有5！=120种排列可能，因为120比较

6、小，因此我们对每种情况进行枚举，然后根据条件判断哪些符合问题的要求。根据已知条件，A1,B2,C3,D4,E5,因此排除了一种可能性，只有4！=24种情况了。Program Exam10;Var A,B,C,D,E :Integer; Cr :Array1.5 Of Char;Begin For A:=1 To 5 Do For B: For C: For D: For E:=1 To 5 Do BeginABCDE没猜对一个人的名次 If （A=1） Or （B=2） Or （C=3） Or （D=4） Or （E=5） Then Continue; If A,B,C,D,E1,2,3,4,

7、5 Then Continue;他们名次互不重复DAECB猜对了两个人的名次If Ord（A=2）+Ord（B=5）+Ord（C=4）+Ord（D=1）+Ord（E=3）2 Then Continue;ABCDE没猜对一对相邻名次If （B=A+1） Or （C=B+1） Or （D=C+1） Or （E=D+1） Then Continue;DAECB猜对了两对相邻人名次If Ord（A=D+1）+Ord（E=A+1）+Ord（C=E+1）+Ord（B=C+1） CrA:=A;CrB:BCrC:C CrD:DCrE:E Writeln（Cr1,Cr2,Cr3,Cr4,Cr5）; End;En

8、d.例11：来自不同国家的四位留学生A,B,C,D在一起交谈,他们只会中、英、法、日四种语言中的2种,情况是, 没有人既会日语又会法语;A会日语,但D不会,A和D能互相交谈,B不会英语,但A和C交谈时却要B当翻译,B,C,D三个想互相交谈,但找不到共同的语言,只有一种语言3人都会,编程确定A,B,C,D四位留学生各会哪两种语言。将中、法、日、英四种语言分别定义为CHN、FRH、JPN、ENG,则四种语言中取两种共有（CHN,ENG）,（CHN,FRH）,（CHN,JPN）,（ ENG,FRH）,（ ENG,JPN）,（FRH,JPN）六种组合，分别定义为1、2、3、4、5、6。据已知，没有人既

9、会日语又会法语;因此，组合6不会出现；A 会日语，所以A只可能等于3、5；D不会日语, 所以D只可能等于1、2、4；B不会英语，所以B只可能等于2、3；见下表。如果我们对A、B、C、D分别进行枚举，根据判定条件，即可找到答案。（CHN,ENG）（CHN,FRH）（CHN,JPN）（ ENG,FRH）（ ENG,JPN）ABCD程序如下：program EXAM11; type Language = （CHN,ENG,FRH,JPN）; TNoSet= set of Language; const No: array 1 . 5 of TNoSet= （CHN,ENG, CHN,FRH, CHN

10、,JPN, ENG,FRH, ENG,JPN）; var A, B, C, D: 1 . 5; Can1, Can2, Can3, Can4: Boolean; function Might（Lang: Language）: Bool:=false; if NoA * NoA * NoC = Lang then Bool := True; if NoA * NoB * NoD = Lang then Bool : if NoA * NoC * NoD = Lang then Bool : if NoB * NoC * NoD = Lang then Bool : Might := Bool p

11、rocedure Print（A, B, C, D: Integer）; procedure Show（P: Integer; Ch: Char）; I: Lang: Language; Write（ch, for Lang := CHN to JPN do if Lang in NoP then case Lang of CHN: Write（CHN5）; FRH:FRH JPN:JPN ENG:ENG Writeln; Show（A, Show（B, Show（C, Show（D, for A := 3 to 5 do if A 4 then for B := 2 to 3 do= 1 t

12、o 5 do for D := 1 to 4 do if D 3 then begin A和D能互相交谈 Can1 := NoA * NoD ; A和C交谈时却要B当翻译 Can2 := （NoA * NoC = ） and （NoA * NoB ） and （NoB * NoC ）; B,C,D三个想互相交谈,但找不到共同的语言 Can3 := NoB * NoC * NoD = ; 只有一种语言3人都会 Can4 := Ord（Might（CHN） + Ord（Might（ENG） + Ord（Might（FRH） + Ord（Might（JPN） = 1; if Can1 and Can

13、2 and Can3 and Can4 then Print（A,B,C,D）; end.例12 古纸残篇在一位数学家的藏书中夹有一张古旧的纸片。纸片上的字早已模糊不清了, 只留下曾经写过字的痕迹, 依稀还可以看出它是一个乘法算式, 如图7所示。这个算式上原来的数字是什么呢？夹着这张纸片的书页上,“素数”两个字被醒目的划了出来。难道说, 这个算式与素数有什么关系吗？有人对此作了深入的研究, 果然发现这个算式中的每一个数字都是* * * * * * * * * * * * * * * *图7素数, 而且这样的算式是唯一的。请你也研究一番, 并把这个算式写出来。实际上，只要知道乘数和被乘数就可以写

14、出乘法算式，所以我们可以枚举乘数与被乘数的每一位。然后再判断是不是满足条件即可。计算量是45=1024，对于计算机来说，计算量非常小。Program Exam12;Const Su : Array1.4 Of Longint=（2,3,5,7）; A1,A2,A3,B1,B2,X,Y,S :Longint;Function Kx（S:Longint）:Boolean;判断一个数是不是都是由素数组成 Kx:=True; While S0 Do Begin If Not（S Mod 10） In 2,3,5,7） Then Begin=False; Exit; S:=S Div 10;End; F

15、or A1:=1 To 4 Do For A2: For A3: For B1: For B2:=1 To 4 Do Begin X:=SuA1*100+SuA2*10+SuA3;X为被乘数 If X*SuB11000 Then Continue; If X*SuB2 If X*（SuB1*10+SuB2）10000 Then Continue;它们分别是两个四位数，一个五位数 If （Kx（X*SuB1）=False） Or （Kx（X*SuB2）=False） Or （Kx（X*（SuB1*10+SuB2）=False） Then Continue;满足其他数都是由质数构成 Writeln

16、（,SuA1,SuA2,SuA3）;* ,SuB1,SuB2）;-,X*SuB2）;,X*SuB1）;,X*（SuB1*10+SuB2）;例13：时钟问题（IOI94-4）在图8所示的3*3矩阵中有9个时钟，我们的目标是旋转时钟指针，使所有时钟的指针都指向12点。允许旋转时钟指针的方法有9种，每一种移动用一个数字号（1，2，9）表示。图2-11示出9个数字号与相应的受控制的时钟，这些时钟在图中以灰色标出，其指针将顺时针旋转90度。输入数据：由输入文件INPUT.TXT读9个数码，这些数码给出了9个时钟时针的初始位置。数码与时刻的对应关系为：012点13点26点39点图2-11中的例子对应下列输

17、入数据：330222212输出数据：将一个最短的移动序列（数字序列）写入输出文件OUTPUT.TXT中，该序列要使所有的时钟指针指向12点，若有等价的多个解，仅需给出其中一个。在我们的例子中，相应的OUTPUT.TXT的内容为：5849输入输出示例：INPUT.TXTOUTPUT.TXT5489具体的移动方案如图10所示。首先，我们分析一下表示时钟时针初始位置的数码j（0j3）与时刻的对应关系：每移动一次，时针将顺时针旋转90度。由此我们可以得出：对于任意一个时钟i（1i9）来说，从初始位置j出发至少需要Ci=（4-j） mod 4次操作，才能使得时针指向12点。而对每种移动方法要么不采用，要

18、么采用1次、2次或3次，因为操作四次以后，时钟将重复以前状态。因此，9种旋转方案最多产生49个状态。移动方案选取与顺序无关。样例中，最佳移动序列为5849，同样4589序列也可达到目标。因此，求解过程中可以直接选取序列中从小至大排列的移动序列即可。设 pi表示第i种旋转方法的使用次数（0pi3，1i9）。则可能的解的集合为P1，P2，P9，该集合共含49个状态。从图2.11中，我们可以分析出9个时钟分别被哪些方法所控制，见下表：时钟号控制时钟方案检验条件11、2、4C1=（P1+P2+P4） mod 421、2、3、5C2=（P1+P2+P3+P5） mod 432、3、6C3=（P2+P3+

19、P6） mod 441、4、5、7C4=（P1+P4+P5+P7） mod 451、3、5、7、9C5=（P1+P3+P5+P7+P9） mod 463、5、6、9C6=（P3+P5+P6+P9） mod 474、7、8C7=（P4+P7+P8） mod 485、7、8、9C8=（P5+P7+P8+P9） mod 496、8、9C9=（P6+P8+P9） mod 4因此我们可以设计如下枚举算法：for p1:=0 to 3 do for p2: . . . for p9: if c1满足时钟1 and c2满足时钟2 and . and c9满足时钟9 then 打印解路径；显然，上述枚举算法

20、枚举了所有49=262144个状态，运算量和运行时间颇大。我们可以采取缩小可能解范围的局部枚举法，仅枚举第1、2、3种旋转方法可能取的43个状态，根据这三种旋转方法的当前状态值，由下述公式P4=order（C1-P1-P2）;P5=order（C2-P1-P2-P3）;P6=order（C3-P2-P3）;P7=order（C4-P1-P4-P5）;P8=order（C8-P5-PP9）;P9=order（C6-P3-P5-P6）;得出其余P4P9的相应状态值。然后将P1，P2，P9代入下述三个检验条件一一枚举，以求得确切解。由此可见，上述局部枚举的方法（枚举状态数为43个）比较全部枚举的方法

21、（枚举状态数为49个）来说，由于大幅度削减了枚举量，减少运算次数，因此其时效显著改善，是一种优化了的算法。program IOI94_4; Inp = input.txt Outp = output.txt Clock, Map: array 1 . 3, 1 . 3 of Integer; Clock：第（I+2）mod 3）*3+J个时钟从初始时间到12点的最少移动次数 Map:最短移动序列中，数字（I+2）mod 3）*3+J的次数 procedure Init; I, J: Assign（Input, Inp）; Reset（Input）; for I := 1 to 3 do 读入9

22、个时钟指针的初始位置，求出每个时钟从初始到12点的最少移动次数 for J := 1 to 3 do begin Read（ClockI, J）; ClockI, J := （4 - ClockI, J） mod 4; Close（Input）; function Order（K: Integer）: c: c:=k; while c4 then dec（c,4）;Order := k; procedure Main; 计算和输出最短移动序列 I, J, K: 枚举最短移动序列中数字1、2、3的个数可能取的43种状态 Assign（Output, Outp）; Rewrite（Output）;

23、 for Map1, 1 := 0 to 3 do for Map1, 2 : for Map1, 3 := 0 to 3 do begin Map2,1:=Order（Clock1,1-Map1,1-Map1,2）; Map2,3:=Order（Clock1,3-Map1,2-Map1,3）; Map2,2:=Order（Clock1,2-Map1,1-Map1,2-Map1, 3）; Map3,1:=Order（Clock2,1-Map1,1-Map2,1-Map2, 2）; Map3,3:=Order（Clock2,3-Map1,3-Map2,2-Map2, 3）; Map3,2:=Order（Clock3,2-Map3,1-Map3,3-Map2, 2）; 根据数字1、2、3个数的当前值，得出数字49的个数 if （Map2,1+Map3,1+Map3,2）mod 4=Clock3,1） and （Map2,3+Map3,2