实验数据误差分析和数据处理Word文档下载推荐.docx

1、测量仪器不良，如刻度不准，仪表零点未校正或标准表本身存在偏 差等；周围环境的改变，如温度、压力、湿度等偏离校准值；实验人员的习惯和偏向，如读数 偏高或偏低等引起的误差。针对仪器的缺点、外界条件变化影响的大小、个人的偏向，待分别 加以校正后，系统误差是可以清除的。（2）偶然误差 在已消除系统误差的一切量值的观测中，所测数据仍在末一位或末两位数 字上有差别，而且它们的绝对值和符号的变化，时而大时而小，时正时负，没有确定的规律， 这类误差称为偶然误差或随机误差。偶然误差产生的原因不明，因而无法控制和补偿。但是，倘若对某一量值作足够多次的等精度测量后，就会发现偶然误差完全服从统计规律，误差的大 小或正

2、负的出现完全由概率决定。因此，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋近于 零，所以多次测量结果的算数平均值将更接近于真值。（3） 过失误差 过失误差是一种显然与事实不符的误差，它往往是由于实验人员粗心大 意、过度疲劳和操作不正确等原因引起的。此类误差无规则可寻，只要加强责任感、多方警惕、细心操作，过失误差是可以避免的。3、精密度、准确度和精确度反映测量结果与真实值接近程度的量，称为精度（亦称精确度）。它与误差大小相对应， 测量的精度越高，其测量误差就越小。“精度”应包括精密度和准确度两层含义。（1）精密度：测量中所测得数值重现性的程度，称为精密度。它反映偶然误差的影响程 度，精密度高就表示

3、偶然误差小。（2）准确度 测量值与真值的偏移程度，称为准确度。它反映系统误差的影响精度，准确 度高就表示系统误差小。（3） 精确度（精度） 它反映测量中所有系统误差和偶然误差综合的影响程度。在一组测量中，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度也不一定高，但精确度 高，则精密度和准确度都高。为了说明精密度与准确度的区别，可用下述打靶子例子来说明。如图 2-1所示。图2-1（a）中表示精密度和准确度都很好，则精确度高；图 2-1（b）表示精密度很好，但准 确度却不高；图 2-1（c）表示精密度与准确度都不好。在实际测量中没有像靶心那样明确的真 值，而是设法去测定这个未知的真值。学生在实验过程中

4、，往往满足于实验数据的重现性，而忽略了数据测量值的准确程度。绝 对真值是不可知的，人们只能订出一些国际标准作为测量仪表准确性的参考标准。随着人类认 识运动的推移和发展，可以逐步逼近绝对真值。4、误差的表示方法利用任何量具或仪器进行测量时，总存在误差，测量结果总不可能准确地等于被测量的真 值，而只是它的近似值。测量的质量高低以测量精确度作指标，根据测量误差的大小来估计测 量的精确度。测量结果的误差愈小，则认为测量就愈精确。（1）绝对误差 测量值X和真值A0之差为绝对误差，通常称为误差。记为：D 二 X _A （2-5）由于真值A0 一般无法求得，因而上式只有理论意义。常用高一级标准仪器的示值作为

5、实际 值A以代替真值A0 由于高一级标准仪器存在较小的误差，因而 A不等于A0，但总比X更接近 于A0 X与A之差称为仪器的示值绝对误差。记为d =X _A （2-6）与d相反的数称为修正值，记为C - d = A - X （2-7）通过检定，可以由高一级标准仪器给出被检仪器的修正值 C。利用修正值便可以求出该仪器的实际值A。A = x C （2-8）（2 ）相对误差 衡量某一测量值的准确程度，一般用相对误差来表示。示值绝对误差 d与被测量的实际值A的百分比值称为实际相对误差。（2-9）、：A =d 100%A以仪器的示值X代替实际值A的相对误差称为示值相对误差。、X = 100 % （2-1

6、0）X一般来说，除了某些理论分析外，用示值相对误差较为适宜。 （3 ）引用误差 为了计算和划分仪表精确度等级，提出引用误差概念。其定义为仪表示 值的绝对误差与量程范围之比。d -示值绝对误差;标尺上限值-标尺下限值。（4）算术平均误差算术平均误差是各个测量点的误差的平均值。.平=丄 i , 2, , n （2-12）n 测量次数；d i 为第i次测量的误差。（5）标准误差 标准误差亦称为均方根误差。其定义为上式使用于无限测量的场合。实际测量工作中，测量次数是有限的，则改用下式一 5： （2-14）k n _1标准误差不是一个具体的误差，匚的大小只说明在一定条件下等精度测量集合所属的每一 个观测

7、值对其算术平均值的分散程度，如果 C的值愈小则说明每一次测量值对其算术平均值分 散度就小，测量的精度就高，反之精度就低。在化工原理实验中最常用的u形管压差计、转子流量计、秒表、量筒、电压等仪表原则上 均取其最小刻度值为最大误差，而取其最小刻度值的一半作为绝对误差计算值。5、测量仪表精确度测量仪表的精确等级是用最大引用误差（又称允许误差）来标明的。它等于仪表示值中的 最大绝对误差与仪表的量程范围之比的百分数。式中：3 ma仪表的最大测量引用误差; d max仪表示值的最大绝对误差；X n标尺上限值一标尺下限值。通常情况下是用标准仪表校验较低级的仪表。所以，最大示值绝对误差就是被校表与标准 表之间

8、的最大绝对误差。测量仪表的精度等级是国家统一规定的，把允许误差中的百分号去掉，剩下的数字就称为 仪表的精度等级。仪表的精度等级常以圆圈内的数字标明在仪表的面板上。例如某台压力计的允许误差为1.5%，这台压力计电工仪表的精度等级就是 1.5，通常简称1.5级仪表。仪表的精度等级为a,它表明仪表在正常工作条件下，其最大引用误差的绝对值 3 max不能超过的界限，即100% 2X/3。这样就可以达到满足测量误差要求，又可以选择精度等级较低的测量仪表，从而 降低仪表的成本。二、有效数字及其运算规则在科学与工程中，该用几位有效数字来表示测量或计算结果，总是以一定位数的数字来表 示。不是说一个数值中小数点

9、后面位数越多越准确。实验中从测量仪表上所读数值的位数是有 限的，而取决于测量仪表的精度，其最后一位数字往往是仪表精度所决定的估计数字。即一般 应读到测量仪表最小刻度的十分之一位。数值准确度大小由有效数字位数来决定。1、有效数字一个数据，其中除了起定位作用的0”外，其他数都是有效数字。如 0.0037只有两位有 效数字，而370.0则有四位有效数字。一般要求测试数据有效数字为 4位。要注意有效数字不一定都是可靠数字。如测流体阻力所用的 U形管压差计，最小刻度是 1mm但我们可以读到0.1mm女口 342.4mmHg又如二等标准温度计最小刻度为 0.1 C，我们可以读到 0.01 C，如15.16

10、 C。此时有效数字为4位，而可靠数字只有三位，最后一位是不可靠的，称为可疑数字。 记录测量数值时只保留一位可疑数字。为了清楚地表示数值的精度，明确读出有效数字位数，常用指数的形式表示，即写成一个 小数与相应10的整数幕的乘积。这种以10的整数幕来记数的方法称为科学记数法。0.00478有效数字为4位时，记为4.780*10 有效数字为3位时，记为4.78*10有效数字为2位时，记为4.7*102、有效数字运算规则（1）记录测量数值时，只保留一位可疑数字。（2 ）当有效数字位数确定后，其余数字一律舍弃。舍弃办法是四舍六入，即末位有效数字 后边第一位小于5,则舍弃不计；大于5则在前一位数上增1;等

11、于5时，前一位为奇数，则进1为偶数，前一位为偶数，则舍弃不计。这种舍入原则可简述为：小则舍，大则入，正好等于 奇变偶”。如：保留4位有效数字 3.71729 t3.717;5.14285 t 5.143T 7.624t 9.376（3）在加减计算中，各数所保留的位数，应与各数中小数点后位数最少的相同。例如将24.65 0.0082 1.632 三个数字相加时，应写为 24.65 + 0.01 + 1.63 = 26.29 。（4）在乘除运算中，各数所保留的位数，以各数中有效数字位数最少的那个数为准；其结 果的有效数字位数亦应与原来各数中有效数字最少的那个数相同。例如：0.0121 X 25.6

12、4 X 1.05782应写成 0.0121 X 25.64 X 1.06=0.328。上例说明，虽然这三个数的乘 积为0.3281823，但只应取其积为0.328。（5）在对数计算中，所取对数位数应与真数有效数字位数相同。三、误差的基本性质在化工原理实验中通常直接测量或间接测量得到有关的参数数据，这些参数数据的可靠程 度如何？如何提高其可靠性？因此，必须研究在给定条件下误差的基本性质和变化规律。1、误差的正态分布如果测量数列中不包括系统误差和过失误差，从大量的实验中发现偶然误差的大小有如下 几个特征：（1）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多，即误差的概率与误差的大小有关。 这是误差的单

13、峰性。（2）绝对值相等的正误差或负误差出现的次数相当，即误差的概率相同。这是误差的对称 性。（3）极大的正误差或负误差出现的概率都非常小，即大的误差一般不会出现。这是误差的 有界性。（4）随着测量次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。这叫误差的低偿性。根据上述的误差特征，可疑的出误差出现的概率分布图，如图 2-2所示。图中横坐标表示偶然误差，纵坐标表示个误差出现的概率，图中曲线称为误差分布曲线，以 y=f（x）表示。其数学表达式有高斯提出，具体形式为：2y ： 1 e 疋 （2-20）y2JICF或 y = h ex2 （2-21）Vsi上式称为高斯误差分布定律亦称为误差方程。式中 的关系

14、为 y = 1若误差按函数关系分布，则称为正态分布。6越小，测量精度越高，分布曲线的峰越高切窄；6越大，分布曲线越平坦且越宽，如图 1-3所示。由此可知， 6越小，小误差占的比重越大，测量精度越高。反之，则大误差占的比重越 大，测量精度越低。6为标准误差，h为精确度指数，6和h（2-22）2、 测量集合的最佳值在测量精度相同的情况下，测量一系列观测 值M 1, M 2, M 3,， ，M n所组成的测量集合，假设其平均值为M ,则各次测量误差为mxi =M i -M m, i=1、2, n,当采用不同的方法计算平均值时，所得到误 差值不同，误差出现的概率亦不同。若选取适当 的计算方法，使误差最

15、小，而概率最大，由此计 算的平均值为最佳值。根据高斯分布定律，只有 各点误差平方和最小，才能实现概率最大。这就 是最小乘法值。由此可见，对于一组精度相同的 观测值，采用算术平均得到的值是该组观测值的 最佳值。3、 有限测量次数中标准误差6的计算图2-2 误差分布图2-3不同6的误差分布曲线由误差基本概念知，误差是观测值和真值之差。在没有系统误差存在的情况下，以无限多 次测量所得到的算术平均值为真值。当测量次数为有限时，所得到的算术平均值近似于真值， 称最佳值。因此，观测值与真值之差不同于观测值与最佳值之差。令真值为A,计算平均值为a,观测值为M并令d=M-a D=M-A则di 二Mi V, D

16、i 二M i -Ad 2 = M 2 - a, D 2 =M 2 - Adn =M n， Dn =M n -Adi 八 M i na 7 Di 八 M i -nA因为Mi -na =0 x M i =na代入v Dj- Mi -nA中，即得a 二 A - n将式（223）式代入di =M i -a中得D d（2 23）（2 24）dj 二（M j A） 丄二Dj 丄将式（224）两边各平方得（2 26）中的传热速率。因此，间接测量值就是直接测量得到的各个测量值的函数。其测量误差是各个 测量值误差的函数。图2-4 误差分布曲线的积分表2-1误差概率和岀现次数t|X|=t （7不超出|x|的概率2

17、 0 （t）超出凶的概率1-2 0 测量次数超出|x|的0.670.67。0.497140.5028611 70.682690.3173132 70.954500.04550223 70.997300.0027037044 70.999910.0000911111（1）函数误差的一般形式 在间接测量中，一般为多元函数，而多元函数可用下式表示：y= f（X1,X2,，Xn） （2 28）式中y间接测量值；Xi 直接测量值。由台劳级数展开得.y = .-x .x .-Xn （ 2 29）1 乐2 &或.-y -.-Xii 4 Xi它的最大绝对误差为鸟=廿* （2 30）i土汶 式中 丄 一误差传递

18、系数；Xi 直接测量值的误差；y 间接测量值的最大绝对误差。函数的相对误差3为.Hx”yx yX y（2 31）*十+6n-X,IKXn（2）某些函数误差的计算 函数y=x z绝对误差和相对误差由于误差传递系数 f f =却，则函数最大绝对误差-X -Z - y= （ | x|+| z| ）函数的最大绝对误差为式中 M量热器内水的质量m被测物体的质量to测量前水的温度ti放入量热器前物体的温度t2测量时水的温度CpH2o水的热容，4.187Kjkg. K）测量结果如下：M=250 0.2g m=62.31 0.02gt0=13.52 0.01 C t1 =99.32土 0.04Ct2=17.7

19、9 0.01C试求测量物的比热容之真值，并确定能否提高测量精度。为了简化计解：根据题意，计算函数之真值，需计算各变量的绝对误差和误差传递系数。算，令 0 0=t2-t0=4.27C , 0 1=t1t2=81.53C ,.方程改写为 MBCp CpH2Omp 2表2-2某些函数的误差传递公式函数式误差传递公式最大绝对误差Ay最大相对误差 ry =x 4x2 +X3应=蚩吉1丨出山2 1出山3 1）5 / yy =x! +X20 =蚩 |）右=凶yy =x/2A =| X1* | +| X2& |）6 =抓 *X1 X2）y =xx2X3岛=（| 乂必23 | +| X1 xx2 | +| X2

20、X3AX1 |） 邑 +* +从）X1 X2 X3y =xn 1丄 =（nx “X） =：Kny =/x1 一丄_xn ix）6r =y =咅 / X2 . / X2 占4 X iX2、占y =（ 2 ）5 =土餌丄扣2 1 X! X2y =cx=c 酬6 =土y =lg x凶=4.4343 f x5 = Ay / yy =ln x甘|d = Ay / y各变量的绝对误差为酎 =0.2g g =Qt2 斗心t0 =0.01 +0.01 =0.023 =0.02 g 也日0 =冷2| +|如| =0.04 +0.01 =0.05各变量的误差传递系数为”p 4CPH2。 4.27 4.187 3p

21、 一 3.52 10 4：M m p 62 .31 81 .53Cp M -0C ph 2o 4.27 X4.187 2- - 1.41 10:m m 二 62.31 81.53Cp MC ph2o 250 4.187 = = =0.206 上0 m 62.31 81.53-cp M 0C ph2o 250 4.27 4.187 二- - 1.08 10m 62 .31 81 .53函数的绝对误差-3 -2 -2=3.52X10 0.2 1.41 10 0.02+0.206X）.02 1.08 0.05-3 -3 -3 -3=0.704 10 0.282 10 + 4.12 10 -0.54X

22、10=4.00 XI0-3 J/（g K）250 X4.27 c ixxC p 4.187 =0.880 J/（g K）62.31 81 .53故真值 Cp=0.8798 0.0003 J/ K）由有效数字位数考虑以上的测量结果清度已满足要求。若不仅考虑有效数字位数，尚需从 比较各变量的测量精度，确定是否有可能提高测量精度。则本例可从分析比较各变量的相对误 差着手。各变量的相对误差分别为少 0.2 4Em 8 10 - =0.08%M 250Am 0.02 4Em 3.21 10 - =0.032 %m 62.310.02 3E 二 = =4.68 10 - =0.468 %-二 4.27E

23、-6.13 10 - -0.0613 %丁 81 .53其中以0 0的相对误差为0.468%,误差最大，是M的5.85倍，是m的14.63倍。为了提高 Cp的测量精度，可改善0 0的测量仪表的精度，即提高测量水温的温度计精度，如采用贝克曼温 度计，分度值可达0.002,精度为0.001。则其相对误差为0.002 4 0”E 4.68 10 - =0.0468 00-4.27由此可见，变量的精度基本相当。提高 0 0精度后Cp的绝对误差为3 2 2 Cp=3.52X10- 10- 0.02+0.2060.002 1.08 3 3 3 310- 0.282 10- + 0.412 10-0.54X10-4=2.94 10 J/（g K）系统提高精度后，Cp的真值为Cp=0.8798 0.0003 J/（g- K）