与名师对话理空间几何体的结构三视图和直观图Word格式文档下载.docx

1、空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半辨识巧记1三类特殊多面体（1）直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱（2）正棱柱：正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱（3）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正棱锥2一个结论利用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形的倍3旋转体三视图的

2、常见结论（1）球的三视图都是半径相等的圆（2）水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形（3）水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形（4）水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形 双基自测1判断下列结论的正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱（）（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥（）（3）用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.（）（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同（）答案（1）（2）（3）（4）2下列说法正确的是（）A棱柱的侧面

3、都是矩形B棱柱的侧棱都相等C棱柱的棱都平行D棱柱的侧棱总与底面垂直解析由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边（也是棱）不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确故选B.答案B3（必修2P10，练习T1改编）如图，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD，剩下的几何体是（）A棱台 B四棱柱C五棱柱 D六棱柱解析长方体ABCDABCD截去图中部分后，因为EHAD，所以FGAD，所以剩下的几何体是五棱柱ABFEADCGHD.故选C.答案C

4、4（必修2P15练习T4改编）如图为一个几何体的三视图，则该几何体是（）A四棱柱 B三棱柱 C长方体 D三棱锥解析将三视图还原为直观图，如图所示，该几何体为三棱柱，故选B.5一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为_解析由正视图和侧视图知俯视图为底边长为2，其边上的高为1的三角形，故其面积为S俯211.答案1考点一空间几何体的结构特征【例1】（1）下列结论正确的是（）A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意

5、一点的连线都是母线（2）设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析（1）A错误如右图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥B错误如下图，若ABC不是直角三角形，所得几何体不是圆锥；若ABC是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体也不是圆锥C错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D正确故选D.（2）命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平

6、行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的答案（1）D（2）空间几何体结构特征的判断技巧（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定（2）通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可对点训练给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

7、存在每个面都是直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_解析棱柱的侧面不一定全等两两垂直很容易得到三个线面垂直，从而得到三个侧面两两垂直两个过相对侧棱的面垂直于底面，易得侧棱垂直于底面，所以是直四棱柱如图PA面ABC，ABC90，则四面体PABC的四个面都是直角三角形答案考点二空间几何体的三视图有关三视图的考查是高考的重点、热点，考查的主要形式以选择题、填空题为主常见的命题角度有：（1）由直观图确定三视图；（2）由三视图还原直观图.角度1：由直观图确定三视图【例21】（2018全国卷）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，右图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆

8、放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）思路引导解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.故选A.答案A角度2：由三视图还原直观图【例22】（2018北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A1 B2 C3 D4思路引导将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示易知，BCAD，BC1，ADABPA2，ABAD，PA平面ABCD，故PAD，PAB为直角三角形，PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又BCAB，且

9、PAABA，BC平面PAB，又PB平面PAB，BCPB，PBC为直角三角形，容易求得PC3，CD，PD2，故PCD不是直角三角形，故选C.三视图问题的常见类型及解题策略（1）由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线（2）由几何体的三视图还原几何体的形状在三视图中，要注意实、虚线的区别在还原不规则的三视图时，可灵活应用补形法，将其直观图变为正方体或长方体，然后再将几何体分割为满足原三视图所对应的几何体1.（2019河北武邑中学期末）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，

10、E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）解析用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图所示，则该几何体的侧视图为选项A.故选A.2（2018武汉市高三二调）某几何体的三视图如图所示，则从该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A. B. C2 D2解析由三视图知，该几何体是一个四棱柱，记为四棱柱ABCDA1B1C1D1，将其放在如图所示的长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，四棱柱的高为1，连接AC1，观察图形可知，几何体中两顶点间距离的最大值为AC1的长，即，故选B.考点三空间几何体的直

11、观图【例3】（1）福建龙岩联考）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）（2）如图所示，ABC是ABC的直观图，且ABC是边长为a的正三角形，则ABC的面积为（）A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析（1）由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.故选A.（2）解法一：如图，过C作CD与y轴平行，在BCD中，CBD60，CDB45，BCa.由正弦定理得，得CDa.在ABC中，AB边上的高CD2CDa，ABC的面积Saaa2.故选C.解法二：S2S2a2sin60a2.故选C.答案（1）A

12、（2）C拓展探究若本例（2）改为“已知ABC是边长为a的正三角形，求其直观图ABC的面积”，应如何求？解如图所示的平面图形和直观图由斜二测画法可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于D，则CDOCa.SABCABCDaaa2.平面图形与其直观图的关系（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图S原图形如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A2 B. C. D1解

13、析由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45，腰和上底长均为1，得下底长为1，所以原图是上、下底分别为1,1，高为2的直角梯形所以面积S（11）22.故选A.纠错系列三视图识图不准致误素养解读：三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个正投影，几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线【典例】某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中最大的面积是（）A2 B2C. D2易错分析（1）不能正确把握投影方向、角度致误；（2）不能正确确定点、线的投影位置致误；（3）不能正确应用实线与虚线区分可见与不可见轮廓线致误规范解答如图，在正方体ABC

14、DA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即D1BCB1，其四个面的面积分别为2,2，2，2，故最大的面积是2.故选D.答案D（1）在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度（2）绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”（3）还原几何体后，应该再投影一次检验还原的正确性 感悟体验在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的

15、顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2,1），（2,2,2）给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A和 B和C和 D和解析在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A（0,0,2），B（2,2,0），C（1,2,1），D（2,2,2），则四面体ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和，故选D.课后跟踪训练（四十五）基础巩固练一、选择题如图所示，从三棱台ABCABC中截去三棱锥AABC，则剩余部分是（）A三棱锥B四棱锥C三棱柱D三棱台解析由题图可知剩余部分为四棱锥ABBCC，故选B.2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A圆柱

16、B圆锥 C四面体 D三棱柱解析因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，故选A.3（2018河南方城一中月考）如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形OABC是（）A正方形 B矩形C菱形 D一般的平行四边形解析在直观图中，OCCD2，所以OD2.如右图所示，在原图形中，有ODCD，OD4，CD2，所以OC6，从而得原图形四边相等，但CO与OA不垂直，所以原图形为菱形故选C.4（2019河北正定中学调研）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）解析抓住其一条对

17、角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确故选D.5（2019贵州黔东南州一模）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）解析选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选项C的俯视图不符合要求，通过观察，选项D满足要求，故选D.二、填空题6给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故

18、错；对于，若底面不是矩形，则错；正确答案7（2019云南昆明模拟）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于_解析由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为.答案8（2019吉林一模）三棱锥SABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为_解析由已知中的三视图可得SC平面ABC，且底面ABC为等腰三角形，在ABC中AC4，AC边上的高为2，故BC4，在RtSBC中，由SC4，可得SB4，故答案为：4答案4三、解答题9.如图所示，一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30.求圆锥的

19、母线长和圆锥的轴截面面积解由题意得，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，轴截面面积为S，则母线长l，底面半径r2tan30，所以S2，即圆锥的母线长为，轴截面面积是.10已知正三棱锥VABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示（1）画出该三棱锥的直观图；（2）求出侧视图的面积解（1）如图所示（2）根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA2，SVBC26.能力提升练11（2019安徽黄山一模）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）根据题意，得点A在平面BCC1B1上的投影是点B，点D在平面BCC1B1上的投影是点C，棱AB1在平面BCC1B1上

20、的投影是BB1，棱AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1，棱B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1，棱B1C是被挡住的棱，应画成虚线，如图所示故选B.12（2019福建南平质检）已知某简单几何体的三视图如图所示，若正（主）视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（）A. B. C2 D.由三视图可知该几何体是三棱锥ABCD（如图所示）BC2，CD2，因为正（主）视图的面积为1，故正（主）视图的高为1，由此可计算出BD2为最长的棱长，故选C.13如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为线段A1B1的中点，点F，G分别是线段A1D与BC1上的动点，当三棱锥EFGC的俯视

21、图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是_解析E在底面ABCD上的投影为AB中点E，C在底面ABCD上的投影为C点本身，F的投影在边AD上，G的投影在边BC上，如图：要使三棱锥EFGC的俯视图的面积最大，则F与D重合，G与B重合则三棱锥EFGC的正视图为等腰三角形EAB，底边长为2，底边上的高为2，面积S22.答案214.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形（1）根据下图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求PA.解（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线）边长为

22、6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.（2）由侧视图可求得PD6.由正视图可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA6 cm.拓展延伸练15（2019福建漳州调研）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（）A. B2 C3 D2在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1MB1C.故通过计算可得D1CD1B1B1C2，D1MMC，MB13，故最长棱的长度为3，故选C.16（2019河南开封一模）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）解析由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C，D；把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；故选B.