插值与拟合Word文档格式.docx

1、曲率变化较小 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑（切变量连续）光顾二、 插值理论设函数y=f（x）在区间a,b上连续，在a,b上有互异点x0,x1,xn处取值y0,y1,yn 。如果函数（x）在点xi上满足（xi）=yi （i=0,1,2,n），则称（x）是函数y=f（x）的插值函数，x0,x1,xn是插值节点。若此时（x）是代数多项式P（x），则称P（x）为插值多项式。显然 f（x）（x），xa,b1. 拉格朗日插值构造n次多项式Pn （x）= yk lk （x）=y0l0 （x）+y1l1 （x）+ynln （x），这是不超过n次的多项式，其中基函数lk（x）= 显然

2、lk （x）满足lk （xi）= 此时 Pn（x）f（x）,误差Rn（x）=f（x）-Pn（x）= 其中（a,b）且依赖于x， =（x-x0）（x-x1）（x-xn）很显然，当n=1、插值节点只有两个xk,xk+1时 P1（x）=yklk（x）+yk+1lk+1（x）其中基函数lk（x）= lk+1（x）= 2. 牛顿插值构造n次多项式Nn（x）=f（x0）+f（x0,x1）（x-x0）+f（x0,x1,x2）（x-x0）（x-x1）+f（x0,x1,x2,xn）（x-x0）（x-x1）（x-xn）称为牛顿插值多项式，其中 （二个节点，一阶差商） （三个节点，二阶差商） （n+1个节点，n阶差

3、商）注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项Rn（x）中n+1阶导数的运算，用牛顿插值公式Rn （x）=f（x）-Nn（x）=f（x,x0,xn）n+1（x）,其中n+1（x）=（x-x0）（x-x1）（x-xn）3. 分段插值-子区间内，避免函数在某些区间失真1） 线性插值已知n+1个不同节点x0,x1,xn ,构造分段一次线性多项式P（x），使之满足 P（x）在a,b上连续 P（xk）=yk P（x）在xi,xi+1上是线性函数，P（x）= 2） 两点带导数插值-避免尖点、一阶连续区间a,b上两个互异节点xi,xi+1，已知实数y i,y i+1,m i,m i+1，为了构造

4、次数不大于3的多项式满足条件 引入,使之满足可以求出此时=+，其中4. 三次样条插值-二阶可导对于给定n+1个不同节点x0,x1,xn及函数值y0,y1,yn，其中a=x0x1n。由于该超定方程个数多于未知数个数，当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时无解。现在求其最小二乘解，它就是使余向量rx=b-Ax的谱范数rx2=（rxTrx）1/2 最小的n维向量。具体解法可以通过求解该方程组的法方程组ATAx=ATb获得。2. Matlab的实现1）线性拟合及多项式拟合ployfit（x,y,i） 以最高次为i的多项式拟合数据点（x,y）例1 x=0 1 2 3 4 5;y=0 21 62 70 77 110;coef=polyfit（x,y,1）;a1=coef（1）,a0=coef（2）;ybest=a1*x+a0;s=sum（y-ybest）.2）;axis（-1,6,-20,120）;plot（x,y, *plot（x,ybest）例2如下给出从二阶到十阶多项式拟合曲线的比较程序，并给出拟合曲线