量测系统概念设计与不确定度之快速评估蒙地卡罗模拟法范文文档格式.docx

1、然而隨著時代的演進，更快更有效率的評估方式也被提出，其中利用數值方法來計算量測不確定度則是目前最新的發展趨勢，而蒙地卡羅模擬法則為此一重要的代表作。藉由程式的撰寫與電腦的運算而有效率的產生量測系統的評估結果，不僅達到更為精準的結果，更可應用到以往評估方式所無法處理的複雜問題，因此本文將介紹此一方法的計算程序與應用方式，以作為未來國內在評估量測系統不確定度的一個參考工具。一、前言近年來國際標準化組織（ISO）為促進各國在科技研究、經貿發展以及國際的交流，特別針對物質的質或量的評估與表示方式，訂定了一些相關的標準，並在1993年發佈了“Guide to the expression of unce

2、rtainty in measurement”，簡稱ISO GUM，而此標準已成為各國家實驗室在評估量測不確定度時的重要參考依據。目前量測不確定度的評估可概分為兩大類（如圖一），一為實驗室本身（Intra-laboratory approach），另一為跨實驗室（Inter-laboratory approach）1。而此兩個方法又可再細分為 1.建立量測模型並利用不確定度傳播定律（Law of propagation of uncertainty）作分析 2.單一實驗室驗證 3.使用性能數據（ISO 5725） 4.使用能力試驗數據（ISO-Guide 43） 來作評估。其中第一項（Mode

3、ling approach）則是依據ISO GUM建構出量測系統的數學模型並考慮各個變數對量測值的影響，而變數的不確定度則以A類或B類的方式予以評估。然而隨著時代的演進與科技進步，越來越多的量測技術，並無法單純以傳統的ISO GUM來估算系統之量測不確定度，因此在2004年Joint Committee for Guides in Metrology （JCGM-WG1）第一工作小組提出了ISO GUM的補充內容，以使不確定度的分析更加的完整，其中並提到“蒙地卡羅模擬法為目前處理機率密度函數傳遞與不確定度評估之最有效率的數值計算工具” 。而目前此數值方法也已公布於GUM supplement

4、12，而在今年OIML （International Organization of Legal Metrology）也公佈此方法的指引文件（OIML G 1-1013），其中詳細的描述了以此方法進行不確定度評估的步驟與計算程序。目前各國家實驗室對於此方法也投入相當的資源進行研究，其中在歐洲方面，英國的國家實驗室（National Physical Laboratory, NPL）已進行了數年的研究，除了應用此方法在高能物理之計量科學外，更在今年舉辦蒙地卡羅模擬法的國際研討會以推廣該方法在量測科學的應用。而德國國家標準實驗室（Physikalisch Technische Bundesanst

5、alt, PTB）亦開始與英國NPL一同進行該方法的研究4。而亞洲區部分，日本國家標準實驗室（National Metrology Institute of Japan, NMIJ）與韓國國家標準實驗室（Korea Research Institute of Standards and Science, KRISS）也利用蒙地卡羅模擬法作了一些相關的應用並發表於BIPM（Bureau International des Poids et Mesures）的會議上。同時在今年的APMP（Asia Pacific Metrology Programme）亦針對蒙地卡羅模擬法進行相關的討論，因此應用

6、蒙地卡羅數值法於量測不確定度的分析已逐漸成為目前國際發展的趨勢，以補傳統不確定度評估方法的不足。另外在能源計量方面，由於全球能源的短缺，各個能源大國如美國、日本及歐洲對於液化天然氣（Liquefied Natural Gas, LNG）的需求均逐年提升，也使得LNG流量的計量更顯的重要，同時相關的計量技術與流量計的開發也正如火如荼的展開。目前各先進國家均已針對這主題加以研究，而荷蘭NMi （Nederlands Meetinstituut）則是第一個國家實驗室進行LNG校正與測試系統的設計，其系統設計除參考NIST發展的液態氮校正系統（如圖二）作評估外，並根據GUM supplement 1所

7、提供的蒙地卡羅數值法進行系統不確定度的評估並驗證其設計結果，以協助系統作進一步的修改與測試。由於LNG原級校正系統在應用秤重法設計的同時，可能會面對到低溫與結霜種種的問題，因此在不確定度的評估上會有其一定的困難點，因此藉由蒙地卡羅模擬法來評估系統與協助設計將更有效率。而利用蒙地卡羅模擬法於量測系統不確定度的評估主要有以下之好處：一、藉由電腦快速的運算速度與程式的撰寫可更有效率的評估系統的不確定度，而所計算出來的結果將較以一階泰勒展開近似的ISO GUM不確定度評估方式更為精準。二、蒙地卡羅模擬法主要是利用直接的方式模擬系統物理情況，而此方法可提供量測或校正系統反向思考設計的一個工具，藉由系統不

8、確定度目標的設定，而反向推估各個原始誤差源所需掌握的程度與評估系統設計的優劣。因此將此方法用於系統初期的概念設計或是現有系統不確定度的驗證，將是一個相當有效的評估方式，因此在本文中將針對此一計算方法作進一步的探討。二、理論架構與計算流程傳統之系統不確定度的評估主要是基於不確定度傳播定律（如圖三）。首先需建立量測系統方程式並確定誤差源與估計值，接著利用A類或B類的評估方式以求取標準不確定度，並經由一階泰勒級數的近似，將各個變數的資訊傳遞到量測系統方程式，進而得知量測系統之受測量與不確定度。而受測量之涵蓋區間（Coverage interval）的求得，則是基於結果為高斯分配的假設，倘若系統之量測

9、方程式為非線性的情況下，必須要利用高階的泰勒級數展開來作近似，以求得較精準的系統不確定度。但也因為如此，而增加不確定度評估的困難度。總結來說，傳統的ISO GUM不確定度評估模式的限制，包括有中央極限定理不全然適用、各誤差來源不全然是對稱分配以及難以應用於非線性之量測方程式等等，均使得實驗室在計算受測量時，難以確認其結果的機率分配圖形。而如果採用蒙地卡羅模擬法的話，藉由估算各誤差來源之機率密度函數（Probability Density Function, PDF）以模擬大量隨機數據，並將數據代入量測方程式以計算出受測量的機率分配，並評估其量測不確定度與相關統計結果，如此可較傳統ISO GUM

10、之不確定度評估方式得到更為精準與可靠的結果。這樣一來，即可不再受到非線性方程式的影響，也不用額外計算有效自由度（受限於t分配）與偏微分的問題。傳統量測不確定度的評估程序，主要是基於國際標準化組織（ISO）出版之量測不確定度表示方式指引（GUM），其量測不確定評估程序的八大步驟分別為：（1）建立量測系統數學模式 （2）確定各誤差源並計算其估計值 （3）標準不確定度之評估 （4）評估各估計值之共變數（Covariance） （5）計算受測量之估計值與靈敏係數（Sensitivity coefficient） （6）計算組合標準不確定度與有效自由度（Effective degrees of free

11、dom） （7）決定擴充係數（Coverage factor）與擴充不確定度 （8）量測不確定度的表達5。圖四為ISO GUM與蒙地卡羅模擬法在不確定度評估計算程序的差異，由圖中可知蒙地卡羅模擬法提供了一個數值的近似方式，藉由程式的計算模擬系統隨機情況以求取量測不確定度，相較於傳統之不確定度評估方式，此模擬法將可免去複雜的計算並使得應用的範圍更廣且更有效率。蒙地卡羅模擬法主要利用量測方程式之各個獨立變數的機率密度函數（PDF），隨機選取函數值並代入量測方程式中，以求得整個系統的資料分布6，如圖五所示。而利用此計算結果可進而求得受測量的估計值與其不確定度以及涵蓋區間與結果之機率分配。其計算流程可

12、概述如下：【1】從N個獨立變數（）的機率密度函數中，針對各個函數隨機選取樣本點，並將此樣本點的值代入系統方程式中以得到系統的受測量。而針對這個程序重複至足夠大的數目M ，以得到M個系統的受測量，並利用此M個值作進一步的分析並構建出受測量的分配圖形，如圖六所示。【2】利用此M個計算出的系統受測量估計值，作進一步的統計（如標準差、收斂區間等）與不確定度的分析。其中M的值需達到一定程度的數目（一般約為）才可達到一定的精確度。如要加快收斂的速度，可採用自適應（Adaptive）之疊代方法7，以加快收斂速度並達到所需的精確度。而此計算流程（如圖七8）的各個步驟將詳細描述如下：（1） 量測系統方程式：定義

13、量測系統的統御方程式，其中為系統的受測量，為輸入量，並評估各個輸入變數的機率密度函數（PDF）與不確定度。（2） 輸入變數的機率密度函數：在執行計算之前，需指定各個輸入變數的機率密度函數與相關資訊，而此資料的來源可依據經驗或科學的判斷以及有限制的資料來計算。其中常見的機率密度函數包含有：1.常態分配（Normal distribution）：若資料分布呈現鐘形、圖形左右對稱且平均數、中位數與眾數幾乎相等，資料中有68 %介於1倍標準差之間，95 %介於2倍標準差之間，99.73 %介於3倍標準差之間的話，可假設此資料為常態分配。 2.矩形分配（Rectangular or Uniform di

14、stribution）：若資料點落於a b區間範圍內的機率為1，且發生在該範圍內任何一點的機率皆相等，而在該範圍外的機率為0及呈現對稱於中心點的分布時，則可假設為矩形或均勻分配。3.三角分配（Triangular distribution）：若資料非常集中於中心點且集中程度介於常態分配與矩形分配之間，則可假設為三角分配。（3） 蒙地卡羅模擬法之疊代次數：疊代次數需達到一定的數量，如此計算結果才足以得到準確的受測量之期望值（Expectation）與不確定度。一般在次的計算下，計算結果即可達小數點以下一至兩位的精確度。另外可採用自適應的蒙地卡羅計算程序（Adaptive Monte Carlo

15、procedure），藉由觀測各變數的收斂情況而調整疊代的次數，以節省計算的時間。（4） 分配的取樣與傳遞：在計算的開始，會自各個輸入變數的機率密度函數中，隨機取樣出資料點， 並將所取得的值代入量測方程式中，經由分配的傳遞，進而求得系統輸出量之期望值、系統不確定度與分配圖形。同時利用輸出量的分配，還可進而求出收斂區間的端點值。（5） 輸出量之分配函數的近似：將輸出量作非遞減的排列（Non-decreasing order）以構成輸出量的分配圖形，並配合等間距的累積機率（Uniformly spaced cumulatively probability,），以近似輸出量的分配函數。三、範例介紹接著將利用質量校正（Mass Calibration）與微波功率表的校正（Comparison loss in microwave power meter calibration）兩個例子，說明蒙地卡羅模擬法的計算並與ISO GUM的評估結果作比較。【1】質量校正（Mass Calibration） 將一個質量、密度的物質與質量、密度的參考件，在空氣密度下使用天平進行質量校正。由於要考量到浮力的效應，應用阿基米德的原理，校正方程式可整理成，其中各個輸入量的機率密度函數（PDF）與相關資訊可見表一所示。以此