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1、法二：为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），把工作量多设份额.此题，10 与 15 的最小公倍数是 30.设全部工作量为 30 份.那么甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.两人合作所需天数是30（3+2）=6（天）数计算，就方便些.法三：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是 1510=32.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也需时间是因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体 1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.一、两个人的问题一、两个人的问题：标题上说的“两个人”，也

2、可以是两个组、两个队等等的两个集体.例例 1 1 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成.现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？答：乙需要做 4 天可完成全部工作.解二：解二：9 与 6 的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18 份.甲每天完成 2 份，乙每天完成 3 份.乙完成余下工作所需时间是（18-2 3）3=4（天）.解三：解三：甲与乙的工作效率之比是6 9=2 3.甲做了 3 天，相当于乙做了 2 天.乙完成余下工作所需时间是 6-2=4（天）.例例 2 2 一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了

3、，由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270解：解：共做了 6 天后，原来，甲做 24 天，乙做 24 天，现在，甲做 0 天，乙做 40=（24+16）天.这说明原来甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天来代替.因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是如果甲独做，所需时间是答：甲或乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天.例例 3 3 某工程先由甲独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需 48 天完成.现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解解：先对

4、比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-48=15（天），乙要多做 48-28=20（天），由此得出甲的甲先单独做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21（天），相当于乙要做因此，乙还要做28+28=56（天）.答：乙还需要做 56 天.例例 4 4 一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在两队合作，其间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+1=11

5、（天）.答：从开始到完工共用了 11 天.解二解二：设全部工作量为 30 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 1 份.在甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天之后，还需两队合作（30-3 8-1 2）（3+1）=1（天）.解三：甲队做 1 天相当于乙队做 3 天.在甲队单独做 8 天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做 23=6（天）.乙队单独做 2 天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中 3 天可由甲队 1 天完成，因此两队只需再合作 1 天.欢迎关注：69039270例例 5 5 一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在

6、他们两队一起做，其间甲队休息了 3 天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16 天.问乙队休息了多少天？如果 16 天两队都不休息，可以完成的工作量是由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了 5 天半.解二：设全部工作量为 60 份.甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.两队休息期间未做的工作量是（3+2）16-60=20（份）.因此乙休息天数是（20-3 3）2=5.5（天）.解三：甲队做 2 天，相当于乙队做 3 天.甲队休息 3 天，相当于乙队休息 4.5 天.如果甲队 16 天都不休息，只余下甲队 4 天工作量，相当于乙队 6 天工作

7、量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5（天）.例例 6 6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要 10 天，单独完成乙工作要 15 天；李单独完成甲工作要 8 天，单独完成乙工作要 20 天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为 60 份（15 与 20 的最小公倍数），张每天完成 4 份，李每天完成 3 份.8 天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要（60-48）（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：这两项工作都完成最少

8、需要 12 天.（最优化）例例 7 7 一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天，如果两人合作，他要 8 天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？设这项工程的工作量为 30 份，甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.欢迎关注：69039270两人合作，共完成 3 0.8+2 0.9=4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在 8 天内完成，所以两人合作的天数是（30-38）（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例例 8 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时如果这件工作始终由甲一人

9、单独来做，需要多少小时？乙 6 小时单独工作完成的工作量是乙每小时完成的工作量是两人合作 6 小时，甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是答：甲单独完成这件工作需要 33 小时.二、多人的工程问题二、多人的工程问题例例 9 9 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成.问甲一人独做需要多少天完成？设这件工作的工作量是 1.甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要 90 天完成.例 9 也可以整数化，设全部工作量为 180 份，甲、乙合作每天完成 5 份，乙

10、、丙合作每天完成 4 份，甲、丙合作每天完成 3 份.请试一试，计算是否会方便些？例例 1010 一件工作，甲独做要 12 天，乙独做要 18 天，丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？甲做 1 天，乙就做 3 天，丙就做 32=6（天）.说明甲做了 2 天，乙做了 23=6（天），丙做 26=12（天），三人一共做了 2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了 20 天.本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24 这三数有一个易求出的最小公倍

11、数 72.可设全部工作量为 72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.总共用了例例 1111 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 13 天完成.如果丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙两人合作 1天.问这项工程由甲独做需要多少天？丙 2 天的工作量，相当乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 42=2（倍），甲、乙合作 1 天，与乙做 4 天一样.也就是甲做 1 天，相当于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的 3 倍.他们共同做 13 天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需要 26 天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 321，就知甲做

12、 1 天，相当于乙、丙合作 1 天.三人合作需13 天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做 13 天来完成.（OK）例例 1212 某项工作，甲组 3 人 8 天能完成工作，乙组 4 人 7 天也能完成工作.问甲组 2 人和乙组 7 人合作多少时间能完成这项工作？设这项工作的工作量是 1.甲组每人每天能完成乙组每人每天能完成甲组 2 人和乙组 7 人每天能完成答：合作 3 天能完成这项工作.解二：甲组 3 人 8 天能完成，因此 2 人 12 天能完成；乙组 4 人 7 天能完成，因此 7 人 4 天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化为：甲组独做 12 天，乙组独做 4 天，问合作几

13、天完成？小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.例例 1313 制作一批零件，甲车间要 10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要 6 天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要 8 天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件 2400 个.问丙车间制作了多少个零件？仍设总工作量为 1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了 4200 个零件.解二解二：10 与 6 最小公倍数是 30.设制作零件全部工作量为 30 份.甲每天完成 3 份，甲、乙一起每天完成 5 份，由此得出乙每天完

14、成 2 份.乙、丙一起，8 天完成.乙完成 82=16（份），丙完成 30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是 1614=87.已知甲、乙工作效率之比是 32=128.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400（12-8）7=4200（个）.（差倍）例例 1414 搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时.有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？设搬运一个仓库的货物的工作量

15、是 1.现在相当于三人共同完成工作量 2，所需时间是答：丙帮助甲搬运 3 小时，帮助乙搬运 5 小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运 4.三人共同搬完，需要 60 2（6+5+4）=8（小时）.甲需丙帮助搬运（60-6 8）4=3（小时）.乙需丙帮助搬运（60-5 8）4=5（小时）.三、水管问题三、水管问题例例 1515 甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10 分钟后打开乙管，经过 3 分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入 0.6 立方米水，这个水池的容积是多少立方米？甲每分钟注入水量是乙每分钟注入水量是因此水池容积是答：水池容积是 27 立方米.例例 1616 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在按预定时间注满水池，如果开始时就打开 10 根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？开始时打开 6 根水管.例例 1717 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需 3 小时，单开丙管需要 5 小时.要排光一池水，单开乙管需要乙、的顺序轮流打开 1 小时，问多少时间后水开始