导数构造函数_精品文档资料下载.pdf

1、）2（0）2（ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或 x3.即 x（,1）（3,+）此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在 x 轴上方（或下方）即可.三：变形构造函数 例三已知函数21（）（1）ln2f xxaxax，1a （）讨论函数（）f x的单调性；（）证明：若5a，则对任意12,（0,）x x，12xx，有1212（）（）1f xf xxx 解：（）（II）例四、已知函数2（）（1）ln1f xaxax.（）讨论函数（）f x的单调性；（）设2a ，证明：对任意12,（0,）x x，1212|（）（）|4|f xf xxx.四

2、：消参构造函数 例五、设函数 21f xxalnx有两个极值点12xx，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论 f x的单调性；（II）证明：21 2 24lnf x【解】【解】（II）由题设和知 22210,2（1）,2xaxx 于是 2222222（1）1f xxxx lnx 设函数 22（1）1,g tttt lnt 则 2（1 2）1g ttt lnt 当12t 时，（）0g t；当1（,0）2t 时，0,g t故 g t在区间1,0）2是增函数 于是，当1（,0）2t 时，11 2 2（）.24lng tg 因此 221 2 2（）4lnf xg x 五：消元构造函数 例六、已知函数

3、，（）若函数，求函数的单调区间；（）设直线为函数的图象上一点处的切线证明：在区间上存在唯一的，使得直线l与曲线相切 （）1（）fxx，001（）fxx，切线l的方程为0001ln（）yxxxx,http:/即001ln1yxxx,6 分 设直线l与曲线（）yg x相切于点11（,）xx e，（）xg xe，101xex，10lnxx 8 分 直线l也为00011lnyxxxx，即0000ln11xyxxxx，9 分 xxfln xexg 11xxxfx xl00,xfxA,10 x xgy 由得 0000ln1ln1xxxx，0001ln1xxx 11 分 下证：在区间（1，+）上0 x存在且

4、唯一.由（）可知，（）x1ln1xxx在区间1,+（）上递增 又12（）ln011eeeee，22222213（）ln011eeeeee，13 分 结合零点存在性定理，说明方程（）0 x必在区间2（,）e e上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0 x 故结论成立 六：二元合一构造函数 例七、已知函数21（）ln（0）2f xxaxbx a且导数（1）0f（1）试用含有a的式子表示b，并求（）f x的单调区间；（2）对于函数图象上的不同两点1122（,）,（,）A x yB xy如果在函数图象上存在点00（,）M xy（其中012（,）xx x）使得点M处的切线/lAB，则称AB存在“跟随切线”。

5、特别地，当1202xxx时，又称AB存在“中值跟随切线”。试问：在函数（）f x上是否存在两点AB、使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出AB、的坐标，若不存在，说明理由。解（1）（2）假设存在1122（,）,（,）A x yB xy，不妨设120 xx，则222121212121211（lnln）（）（1）（）2ABxxa xxaxxyykxxxx 212121lnln1（）（1）2xxa xxaxx （1）函数图象在1202xxx处的切线斜率为 12120122（）（）（1）22xxxxkfxfaaxx （2）由（1）（2）得：2112212112lnln12（）（1）（1）22xxxx

6、a xxaaaxxxx 化简得：212112lnln2xxxxxx 所以22211211212（1）2（）ln1xxxxxxxxxx 七：构造函数解不等式 例八、设函数f（x）mxmmxx12223（其中 m -2）的图像在 x=2 处的切线与直线 y=-5x+12 平行；（）求 m 的值与该切线方程；（）若对任意的 Mxfxfxx2121,1,0,恒成立，则求 M 的最小值；（）若a0,b0,c0 且 a+b+c=1，试证明：109111222ccbbaa 解：（）m=1，2 分 y=5x+10（过程略）；4 分（）Mmin=274（过程略）；8 分（）xxxxxxf2122223 时取等号

7、）（当且仅当（可证明）又时当时取等号当，时，由上知，当311093125027111,31,250272502711110,10,10,1;0,0,0）31（25027125027112750211,02222222222222222222cbaccbbaacbacbacbacbaccbbaacbacbacbaxxxxxxxxxx14 分 例九、设函数（）ln1f xxpx（）求函数（）ln1f xxpx的极值点（）当0p 时，若对任意的0 x，恒 有（）0f x，求p的取值范围。222222222ln2ln3ln4ln21（,2）2342（1）nnnnN nnn 解：八不等式恒成立中的构造

8、九极值点偏移中的构造 值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.已知 21ln2f xxxmxx，mR若 f x有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：212ex x（e为自然对数的底数）解法一：齐次构造通解偏移套路解法一：齐次构造通解偏移套路 于是222121111222111lnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxx 又120 xx，设21xtx，则1t 因此，121lnlnln1ttxxt，1t 要证12lnln2xx，即证：

9、1 ln21ttt，1t 即：当1t 时，有21ln1ttt设函数 21ln1th ttt，1t，则 222212111011ttth tttt t，所以，h t为1.上的增函数注意到，10h，因此，10h th学&科网 于是，当1t 时，有21ln1ttt所以，有12lnln2xx成立，212ex x 学&科网 解法二解法二 变换函数能妙解变换函数能妙解 证法证法 2：欲证212ex x，需证12lnln2xx 若 f x有两个极值点1x，2x，即函数 fx有两个零点又 lnfxxmx，所 以，1x，2x是方程 0fx的两个不同实根显然0m，否则，函数 fx为单调函数，不符合题意 由1112

10、1222ln0lnlnln0 xmxxxm xxxmx，解法三解法三 构造函数现实力构造函数现实力 证法证法 3：由1x，2x是方程 0fx的两个不同实根得ln xmx，令 ln xg xx，12g xg x，由于 21 ln xgxx，因此，g x在1,e，e,来源:Z*xx*k.Com 设121exx，需证明212ex x，只需证明212e0,exx，只需证明 212ef xfx，即222ef xfx，即222e0f xfx来源：微信公众号 中学数学研讨部落 即 2e1,eh xf xfxx，22221 lne0exxh xx，故 h x在1,e，故 e0h xh，即 2ef xfx 令1

11、xx，则 2211ef xf xfx，因为2x，21ee,x，f x在e,，所以221exx，即212ex x 学&科网 解法四解法四 巧引变量（一）巧引变量（一）证法证法 4：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0 xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120ktt，则1ee1kkkt，2e1kkt 欲证212ex x，解法五解法五 巧引变量（二）巧引变量（二）证法证法 5：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0 xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120,1tkt，则1ln1kktk，2ln1

12、ktk 欲证212ex x，需证12lnln2xx，即只需证明122tt，即1 ln21212lnln0111kkkkkkkkk，设 21ln0,11kg kkkk，22101kg kk k，故 g k在0,1，因此 10g kg，命题得证学&科网 已知函数2（）（2）lnf xxaxax，若方程（）f xc有两个不相等的实数根12,x x，求证：12（）02xxf.欲证：12（）0（）22xxaff，结合（）fx的单调性，即证：1222xxa 等价于证明：22112212112222lnlnxxxxxxxxxx11122121222222ln1xxxxxxxxxx 令12,（01）xttx，

13、构造函数22（）ln,（01）1tg tttt，求导由单调性易得原不等式成立，略.法二：接后续解:由得：11212122（）（）（2）（）ln0 xxxxxaxxax 构造函数2（1）（）ln,（01）1tm tttt，求导由单调性易得（）0m t 在（0,1）t恒成立，又因为120,0axx，故12（）02xxf成立.法三：接后续解：视1x为主元，设22222222222（）4（）1（）lnln,（）0（）（）xxxxxg xxxg xxxxxxxx 则（）g x在2（0,）xx上单调递增，故2（）（）0g xg x，再结合120,0axx，故12（）02xxf成立.法四：构造函数（）（）（）,（0）222aaah xfxfxx，学&科网 则24（）（）（）022（）（）22aaxh xfxfxaaxx，从而（）h x在（0,）2a上单调递增，故（）（0）0h xh，即（）（）22aafxfx 对（0,）2ax恒成立，从而（）（）,（0）2af xf ax