大学生数学竞赛真题非数学类资料下载.pdf

1、二、（二、（1515 分）设函数分）设函数（）f x在在（,）+上具有二阶导数，并且上具有二阶导数，并且 （）0,lim（）0,lim（）0,xxfxfxfx+=且存在一点且存在一点0 x，使得，使得0（）0f x。三、三、（1515 分）设函数分）设函数（）yf x=由参数方程由参数方程22（1）（）xtttyt=+=所确定，其中所确定，其中（）t具有二具有二阶导数，曲线阶导数，曲线（）yt=与与22132tuyedue=+在在1t=出相切，求函数出相切，求函数（）t。四、（四、（1515 分）设分）设10,nnnkkaSa=证明：证明：（1 1）当）当1时，级数时，级数1nnnaS+=收敛

2、；收敛；（2 2）当）当1且且（）nsn时，级数时，级数1nnnaS+=发散发散。五、（五、（1515 分）设分）设l是过原点、方向为是过原点、方向为（,），（其中，（其中2221）+=的直线，均匀椭的直线，均匀椭球球 2222221xyzabc+，其中（，其中（0,cba密度为密度为 1 1）绕）绕l旋转。旋转。（1 1）求其转动惯量；）求其转动惯量；（2 2）求其转动惯量关于方向）求其转动惯量关于方向（,）的最大值和最小值。的最大值和最小值。六、六、（15（15 分分）设函数设函数（）x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲

3、线上，曲线积分积分422（）cxydxx dyxy+的值为常数。的值为常数。（1 1）设）设L为正向闭曲线为正向闭曲线22（2）1,xy+=证明证明422（）0;cxydxx dyxy+=+（2 2）求函数）求函数（）x；（3 3）设）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422（）cxydxx dyxy+。2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一一 计算下列各题（本题共计算下列各题（本题共 3 3 小题，每小题各小题，每小题各 5 5 分，共分，共 1515 分）分）（1）.求11 cos0sinlimxxxx；（2）.求111lim.12nnnn

4、n+；（3）已知（）2ln 1arctanttxeyte=+=，求22d ydx。二（本题二（本题 1010 分）求方程分）求方程（）（）2410 xydxxydy+=的通解的通解。三 （本 题三 （本 题 1515 分）设 函 数分）设 函 数 f（x）f（x）在在 x=0 x=0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数，且的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数，且（）（）（）0,0,0fff均不为均不为 0 0，证明：存在唯一一组实数，证明：存在唯一一组实数123,k k k，使得，使得（）（）（）（）12320230lim0hk f hk fhk fhfh+=。四

5、 （本 题17分）设2221222:1xyzabc+=，其 中0abc，2222:zxy=+，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五（本题五（本题 1616 分）已知分）已知 S S 是空间曲线是空间曲线22310 xyz+=绕绕 y y 轴旋转形成的椭球面的上半部轴旋转形成的椭球面的上半部分（分（0z）取上侧，）取上侧，是是 S S 在在（）,P x y z点处的切平面，点处的切平面，（）,x y z是原点到切是原点到切平面平面的距离，的距离，,表示表示 S S 的正法向的方向余弦。计算：的正法向的方向余弦。（1 1）（）,SzdSx y z；（；（2 2）

6、（）3Szxyz dS+六（本题 12 分）设 f（x）是在（）,+内的可微函数，且（）（）fxmf x、，其中01m，任 取 实 数0a，定 义（）1ln,1,2,.,nnaf an=证 明：（）11nnnaa=绝对收敛。七七（本题（本题1515分）是否存在区间分）是否存在区间0,2上的连续可微函数上的连续可微函数f（x）f（x），满足，满足（）（）021ff=，（）（）201,1fxf x dx、？请说明理由。？2012 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、（本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）（1）求极限21）!（limnnn （

7、2）求通过直线 =+=+034550232:zyxzyxl的两个互相垂直的平面1 和2，使其中一个平面过点）1,3,4（。（3）已知函数byaxeyxuz+=）,（，且02=yxu。确定常数a和b，使函数）,（yxzz=满足方程02=+zyzxzyxz（4）设函数）（xuu=连续可微，1）2（=u，且udyuxudxyx）（）2（3+在右半平面与路径无关，求）,（yxu。（5）求极限dttttxxxxcossinlim13+二、（本题 10 分）计算dxxexsin20 +三、求方程50121sin2=xxx的近似解，精确到 0.001.四、（本题 12 分）设函数）（xfy=二阶可导，且0）

8、（xf，0）0（=f，0）0（=f，求uxfufxx330sin）（）（lim，其中u是曲线）（xfy=上点）（,（xfxP处的切线在x轴上的截距。五、（本题 12 分）求最小实数C，使得满足1）（10=dxxf的连续函数）（xf都 有 Cdxxf ）（10 六、（本题 12 分）设）（xf为连续函数，0 t。区域 是由抛物面22yxz+=和球面2222tzyx=+）0（z所围起来的部分。定义三重积分 dvzyxftF）（）（222+=求）（tF的导数）（tF 七、（本题 14 分）设nna =1与nnb =1为正项级数，证明：（1）若（）01lim11 +nnnnnbbaa，则级数nna =

9、1收敛；（2）若（）01lim11 +nnnnnbbaa，且级数nnb =1发散，则级数nna =1发散。2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、一、解答下列各题（每小题解答下列各题（每小题 6 分共分共 24 分，要求写出重要步骤）分，要求写出重要步骤）1.求极限（）2lim 1 sin14nnn+.2.证明广义积分0sin xdxx+不是绝对收敛的 3.设函数（）yy x=由323322xx yy+=确定，求（）y x的极值。4.过曲线（）30yx x=上的点 A 作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点 A 的坐标。二、（满分二、（满分 12）计算定积分

10、）计算定积分2sinarctan1 cosxxxeIdxx=+三、（满分三、（满分 12 分分）设）设（）fx在在0 x=处存在二阶导数处存在二阶导数（）0f，且，且（）0lim0 xf xx=。证明证明：级数：级数11nfn=收敛。收敛。四、（满分四、（满分 12 分）设分）设（）（）（）,0f xfxaxb，证明证明（）2sinbaf x dxm 五、（满分五、（满分 14 分）设分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分型的曲面积分（）（）（）33323Ixx dydzyy dzdxzz dxdy=+。试确定曲面。试确定曲面，使积分使积

11、分I的值最小，并求该最小值。的值最小，并求该最小值。六、（满分六、（满分 14 分）设分）设（）（）22aaCydxxdyIrxy=+，其中其中a为常数，曲线为常数，曲线C为椭为椭圆圆222xxyyr+=，取正向。求极限，取正向。求极限（）limarIr+七（满分（满分 14 分）判断级数分）判断级数（）（）1111212nnnn=+L的敛散性，若收敛，求其和。的敛散性，若收敛，求其和。2014 年 全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题（共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分）1.已知xey=1和xxey=1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_ _ 2.设有曲面222:yxzS

12、+=和平面022:=+zyxL。则与L平行的S的切平面方程是_ 3.设函数）（xyy=由方程=xydttx124sin所确定。求=0 xdxdy_ 4.设=+=nknkkx1）!1（。则=nnxlim_ 5.已知310）（1limexxfxxx=+。则=20）（limxxfx_ 二、（本题 12 分）设n为正整数，计算=121lncosnedxxdxdI。三、（本题 14 分）设函数）（xf在 1,0上有二阶导数，且有正常数BA,使得Bxf|）（|。对任意 1,0 x，有22|）（|BAxf+。四、（本题 14 分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积为2）3（3hhR。球冠面积为Rh2；（2）设球体12）1（）1（）1（222+zyx被平面6:=+zyxP所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分+=zdxdyydzdxxdydzI 五、（本题 15 分）设f在,ba上非负连续，严格单增，且存在,baxn，使得=bannndxxfabxf）（1）（。求nnxlim 六、（本题 15 分）设2222221nnnnnnnAn+=。求nnAn4lim 2015 年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小