结构动力学习题+讲解资料下载.pdf

1、五、动力荷载的计算方法 1原理：达朗贝尔原理，动静法建立方程 2计算工具：微分方程，线性代数，结构力学 六、体系振动的自由度-动力自由度 结构具有质量，有质量在运动时就有惯性力。在进行动力计算时，一般把结构的质量简化为若干质点的质量，整个结构的惯性力就成为各质点的惯性力问题。1质点简化的一般要求 简单，能反映主要的振动特性 例如：楼房；质量集中在各层楼板平面内 水塔：质量集中在水箱部分 梁：无限自由度 集中质量 mdx （无限自由度）（有限自由度）（楼房质量集中）（水塔质量集中）（梁的质量集中）2 位移 y（t）即指质点的位移 y（t），其加速度为y&）（t 3动力自由度的确定 即质点位移数量

2、的确定。方法：附加链杆法，即附加链杆的最少的链杆数（独立个数）使所有质点不能发生位移。从以上确定动力自由度的例题中可以看出：质点的个数与自由度的数目不一定相同 与结构是静定的还是超静定的没有确定的关系。4从数学方面考虑振动位移 以 y（x，t）=nkkktx1）,（代表结构中位置 x 处在时刻 t 时的位移反应。式中，）,（txk为满足边界条件的一组正交函数，k为待定系数，称为广义坐标。振型分解法的思想即源出于此。一、单自由度体系的振动方程 本节概述单自由度体系振动方程的建立过程。基本原理是达朗贝尔原理，按动静法建立振动方程。考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为 EI，质点的质量为m,时刻

3、t 质点的位移 y（t）。y（t）1.阻尼力 P（t）FD=-C）（ty&，称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反。一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括 EI 材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 周围介质对结构的阻尼（如，空气的紫力）节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 通过基础散失的能量 2弹性恢复力 FE=-K y（t），K 为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反。3惯性力 FI=）（tym&，）（ty&为质点运动加速度，惯性力与运动方向相反。4动力荷载 P（t），直接作用在质点上，它与质点运动方向相同。5振动方程的建立 根据质点的受力平衡，写出平衡方程如下：FD FE FI P（t）

4、FD+FE+FI+P（t）=0 即，m）（ty&+C）（ty&+K y（t）=P（t）-（1）此方程为二阶常系数非齐次微分方程。二、建立单自由度体系的振动方程举例 本节主要学习微分方程的建立方法、各系数的求法。例题 1 建立下列结构振动体系的振动方程。横梁具有无限刚性，EI=。已知，3112LEIK=，LEIK42=，阻尼系数为 C，横梁具有分布质量Lmm=。K2 A B EI=D E F G EI=C K1 K1 L L L L L 解：1）动力自由度为 1，设 E 处的竖向位移是 y（t）x x E dxm G A dxm E y（t）y（t）R K1y（t）/2 R C）（ty&/3 2

5、K1y（t）/3 图（a）图（b）2）考虑 EFG 部分的受力，取研究对象如图（a）所示；由MG=0 得：R 2L+K1Lty2）（+xLtxydxmL ）2）（20=0 -（a）3）考虑 ABDE 部分的受力，取研究对象如图（b）所示 由MA=0 得：R 3L K1LLty2）（2 CLty）（31&K2Lty3）（xxLtydxmL ）3）（30=0-（b）由（a），（b）两式消去 R 后整理得：15L4）（tym&+CL3）（ty&+79EI）（ty=0 注意：振动方程中的）（ty仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可人为）（ty是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移。如下图所

6、示的振动 m ys yd y（t）则，质点m 上，1）重力 W 2）弹性力 K y（t）=-k（ys+yd）3）惯性力-m）（ty&=-m（）dsyy&+平衡方程：m（）dsyy&+k（ys+yd）=W 注意到：ys为静位移，则 W=kys 及sy&=0 ，上式为mdy&+kyd=0 这表明：以静平衡位置作为计算位移的起点，所得的方程与重力无关（对有阻尼振动及强迫振动也适用。例题 2 试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是m y y Psint EI=常数 L L 解：1）动力自由度为 1，即质点（两个）的水平位移（忽略转动惯量及杆件的轴向变形）2）惯性力：-2 m）（ty&；弹性力：-K）

7、（ty 3）侧移刚度 K 的求法 用位移法计算质点有侧移为 1 时的力 K，取半结构如图示，用剪力静定杆办法求解 1 K/2 6i/L i r11 RP 6i 如图，RP=-Li 6，r11=7i 位移法方程：r11+RP=0 ，解得：=L76 作出弯矩图如下：B K/2 36i/7L2 VBA 48i/7L2 A 取横梁为研究对象，X=0，得：K=324LEI 4）振动方程-2 m）（ty&-K）（ty+Psint=0 即，2 m）（ty&+324LEI）（ty=Psint 一、无阻尼的自由振动 振动方程 ）（tym&+K）（ty=0，写作：）（ty&+mK）（ty=0 ，记2=mK 又可写

8、作：+2）（ty=0 -（1）方程的解的形式为：）（ty=Acost+Bsint -（2）初始条件为：00）（ytyt=，00）（vtyt=&，代入方程的解（2）中，得：）（ty=0ycost+0vsint -（3）二、有阻尼的自由振动 振动方程 ）（tym&+mC）（ty&+mK）（ty=0 ，记2=mK ，2n=mC，又可写作：+2n）（ty&+2）（ty=0 -（4）利用常数变易法，令）（ty=）（tSent 代入方程（4）中 得：）（tS&+（2 n2）S（t）=0 -（5）1当 n 时（强阻尼）方程（5）的解为：S（t）=A1shtn22+A2chtn22 从而，方程（4）的解为：）

9、（ty=）（tSent=nte（A1shtn22+A2chtn22）-（6）2n=时（称为临界阻尼）由（5）式得：=0 S（t）=B1+B2t ）（ty=）（tSent=nte（B1+B2t）-（7）此时，令 nc r=mCcr2 ，Cc r=2m（此式为确定临界阻尼的公式）当为一般情况时，n=mC2=mCCCcrcr2=式中，=crCC 称为阻尼比。对钢筋混凝土结构 5%，一般取 3%对钢结构=1%2%3）当 n 时（弱阻尼）此时，记2d=22n，则（5）式可写成：+2dS（t）=0 则，其解可仿（1），（2）式的形式，得：S（t）=Acosdt+Bsindt 从而，）（ty=nte（Aco

10、sdt+Bsindt）（ty=te（Acosdt+Bsindt）-（8）初始条件：，代入方程的解（8）中，写成简洁的形式：）（ty=Atesin（dt+）三、无阻尼的强迫振动 振动方程：）（tym&+K）（ty=P（t）1瞬时冲击荷载作用时的强迫振动 特点：作用时间与系统的自振周期相比很小 P（t）t 时间内 P（t）可视为常数 设干扰力 P（t）作用于系统的时间为t t 由动量定理：t m（v-v0）=P（t-t0）若 t0=0 时 v0=0 则，v=mpt 于是，在（0，t）时间内系统产生的位移反应）（ty为：）（ty=dtmptt0=mpt22 由假设，干扰力作用的时间为t，则t 时间内

11、系统产生的速度反应和位移反应分别为：）（tv=mtp ，）（ty=mtp2）（2）（ty和）（tv比较是高阶无穷小量，故可认为：t 时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为）（tv=mtp，初位移为）（ty=mtp2）（2=0的自由振动。由（3）式可知：）（ty=0ycost+0vsint=mtp sint -（9）若时间 t 不是从 0 开始，而是从开始的，则（9）式写为：）（ty=mtp sin（t-）-（10）2一般性动力荷载 P（t）作用于系统时 考虑 P（t）在（0，t）时间内作用于系统，P（t）认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如图。考虑由时刻开始，在 d时间内的位移反应，由（10

12、）式可得：0 +d t d）（ty=mdp）（sin（t-）则，在（0，t）时间内作用于系统，系统所产生的位移反应为：）（ty=tmdp0）（sin（t-）-（11）此式称为杜哈美积分（卷积、褶积）如果叠加自由振动部分，可得位移反应：）（ty=0ycost+0vsint+tmdp0）（sin（t-）-（12）但，通常情况下，自由振动部分由于阻尼的存在，一段时间后会消失而仅剩下特解部分。3突加长期常量荷载 以 P（t）=P 代入（11）式可得：）（ty=2mp（1-cost）=Kp（1-cost）P（t）=P =p（1-cost）=sy（1-cost）-（13）t 式中，sy=p 为静位移。显然

13、，maxy=2sy 定义：=syymax为动力系数。故，突加长期常量荷载的动力系数为 2 4突加短期常量荷载 P（t）t1 t 10 当 0tt1时，由（13）式得：）（ty=sy（1-cost）-（14）20 当 t1t 时，可看作是一个叠加的过程。由（13）式得：）（ty=sy（1-cost）-sy1-cos（t-t1）=2sysin21tsin）2（1tt -（15）讨论：当maxy发生时，sin21t=1 ，得：t1=2T（T 为系统的自振周期）。故，当 t12T时，最大位移（此时，t1=2T）maxy=2sy 当 t12T时，最大位移maxy=2sy sin21t 5简谐动力荷载 以

14、 P（t）=Psint 代入（11）得：）（ty=m1tdtP0）（cossin=2mP2）（11（sint-sint）=）（tys（sint-sint）-（16）式中，）（tys=2mP 为静位移；=2）（11为动力系数（16）式由两部分组成：）（tys sint-由 P（t）引起，由振动系统产生，称为生态振动。）（tys sint-由 P（t）自身产生，称为稳态振动。生态振动由于阻尼的影响，较长时间后振动会消失，故，（16）式的稳态解为：）（ty=）（tys sint -（17）显然，最大位移反应仍然为动力系数与静位移的乘积。如果把当作横坐标，当作竖坐标，可画出动力系数谱曲线如下：3 2 1 1，称为共振后区，为减小动力系数，可采取减小的方法-柔性方案 工程中，把 0.75 1.25 的区域称为共振区，设计时应避开。四、有阻尼的强迫振动（弱阻尼）振动方程：+2）（ty&+2 y（t）=mtp）（与前节的讨论类似，也考虑如下的问题。1瞬时冲击荷载作用下的位移反应 在有阻尼的自由振动中我们得到其位移反应，即（8）式 ）（ty=te（Acosdt+Bsindt）对作用时间为t 的