Matlab辅助激光光学分析与应用4资料下载.pdf

1、在 Maxwell 时代之前就已经有人对光速进行了测量，因此一个显而易见的结果（当时还难以令人置信）便是，光是一种高频振荡表现，类似并超越了支配电流和电荷的影响因素。而在此之前，光学还仍然作为一种独立于电学和磁学的主体进行讨论的。这里，我们不再对电磁学的基本知识进行详细的讨论，因为它们在普通物理课程中都有讲述，并且有大量的文献和书籍对其进行了细致的分析。但我们要简要的从波动方程出发，求解旁轴近似下的 Maxwell 方程组，得到激光传输与变换的基本方程，以方便我们后续的讨论和应用。为了体现 Matlab 在可视化方面的优势，我们先以一个简单的例子作为本书的开篇，以达到抛砖引玉的效果。在电动力学

2、中，我们会遇到真空电磁场波动方程的旁轴近似解，众所周知，其解为具有高斯分布的电场复振幅：220022（,）expexp（）（）2（）（）wkrrr zjj kzzw zR zwz=（1.5）式中，为光波传播常数。、2/=k（）w z（）R z（）z是与光束有关的传播参数。分别表示为：2020（）1 zw zww=+（1.6）作者：beamcom 1 Matlab 辅助激光光学分析与应用 220（）1=+wR zzz（1.7）210（）tan,=RRwzzZZ（1.8）光束远场发散角为：00（）limzw zzw=（1.9）或者 220（）（）（）w zR zw z=+（1.10）我们可以用几行

3、简单 matlab 程序就可以画出具有高斯分布的电场强度，如图 1.1 所示，图形美观，方便对光强的分布有一个感性的视觉认识。程序代码为：clear;clc;w0=0.5;r=linspace（0,3*w0,200）;eta=linspace（0,2*pi,200）;rho,theta=meshgrid（r,eta）;x,y=pol2cart（theta,rho）;Iopt=exp（-2*rho.2/w02）;surf（x,y,Iopt）;shading interp;xlabel（位置/mm）;ylabel（位置/mm）;zlabel（相对强度/a.u.）;title（高斯强度分布）;axi

4、s（-3*w0,3*w0,-3*w0,3*w0,0,1）;colorbar;colormap（hot）;box on;grid off;图 1.1 高斯光强分布 另外，我们还可以画出高斯光束在自由传输过程中的强度变化，如图 1.2 所示，程序代码如下：lambda=1.064e-3;ZR=pi*w02/lambda;z=linspace（-2*ZR,2*ZR,200）;y=linspace（-4*w0,4*w0,200）;py,pz=meshgrid（y,z）;作者：beamcom 2 Matlab 辅助激光光学分析与应用 wz=w0*sqrt（1+（lambda*pz/pi/w02）.2）;

5、Iopt=w02./wz.2.*exp（-2*py.2./wz.2）;surf（pz,py,Iopt）;title（高斯强度分布的传输）;图 1.2 高斯光束自由传输强度变化 以上我们以简单的例子展示了 Matlab 在可视化方面的强大功能，但本文不再对 Matlab的基本功能和语法常识进行介绍，我们认为本书的读者已经具备了基本的 Matlab编程技巧。或者说，我们所做的只是将我们的实际运用跟读者进行交流讨论，促进大家共同进步。当然，我们会在一些比较关键的地方指出编程过程中需要注意的问题。1.2 波动方程波动方程 当 Maxwell 统一了电磁理论以后，他马上意识到，波动可能是该方程组的解的形

6、式。事实上，他希望找到一组满足波动形式的方程组，以辅助他完成找到真正的波动方程。既然已经知道了光是以波动方式传播的，基尔霍夫首先注意到了001/正好给出了精确的光速（之前就已经被测量过），并且法拉第和克尔已经观测到强磁场和强电场会影响光在晶体中的传播。对初始接触 Maxwell 方程组的人来说，并不能一眼就看出它的解具有波动形式。但是经过适当的数学操作，我们就可以将它变为波动方程的形式。83.00 10/c=m s我们来推到电场E的波动方程，磁场B的波动方程的推到过程是类似的。我们将方程（1.3）进行卷积，可得：（）（）0t+=EB（1.11）该方程可以由矢量微分恒等式简化：（）（）2E=EE

7、（1.12）卷积可由B（1.4）式代换，由此得到：（）2000 Jtt+=EEE0（1.13）作者：beamcom 3 Matlab 辅助激光光学分析与应用 再由（1.1）式代入上式，经过整理就可得到：2200020 Jtt=+EE（1.14）需要指出的是，上式中没有考虑到介质的极化。弱考虑到介质的极化和实际一般光学问题中自由电荷为零的条件，上式修正为：（2220000220 1freeJPPttt=+EE）（1.15）式中，P为极化强度矢量。这样我们得到了一般的电场传播方程，该方程在非线性光学中有很重要的地位。当光在真空中传播时，式（1.15）中的右边所有项均为零，方程简化为：22002 0

8、t=EE（1.16）这样我们就得到了电场传播的波动方程形式。当然在有些实际问题中，式（1.15）中右边的项并不是都为零，至少会有一项不为零，这与介质的性质有关。1.3 衍射衍射 考虑一个振动频率为的光场，其复振幅可以表述为（）jtr e E，则它也必须满足波动方程：（）（）22 2 22 0jtjtner erct EE=（1.17）由于电场振幅的含时部分是显式给出的，则方程（1.17）可以简化为：（）（）220rkrEE=（1.18）式中是波矢量的大小。/knc（1.18）式就是所谓的赫姆霍兹方程。如果我们忽略波动的矢量特性，而只考虑它的振幅（这里不再详细讨论其过程），那么在标量近似下，就得

9、到了标量赫姆霍兹方程：（）（）220E rk E r=（1.19）然后，我们考虑一束沿z轴传播的光束，它的电场复振幅写成（）,jkzE x y z e?的形式。我们将它代入标量赫姆霍兹方程（1.19）式，得到：222 2222j kzEEEEjkexyzz+=?0（1.20）在旁轴近似下，有222EEkzz?。即是说，我们假设了电场的复振幅沿 z 轴传播方向是缓慢变化的，与平面波类似。但是我们允许振幅沿 z 轴在远大于波长量级的范围上有明显的变化。这样就得到了旁轴波方程：22222jkExyz0+?（1.21）求解方程（1.21）式，得到：（）（）（）（）222,0kjx xy yzjE x

10、y zE x yedx dyz+?（1.22）作者：beamcom 4 Matlab 辅助激光光学分析与应用 于是电场的表达式为：（）（）（）（）（）22 2,0jkzx xy yjkzzE x y zE x y z ejE x yedx dyz+=?（1.23）值得一提的是，基尔霍夫早在 1887 年就提出了著名的菲涅耳-基尔霍夫衍射 公式：（）（）1cos（,）,02aperturerj krjeE x y zE x ydx dy+=r z（1.24）式（1.23）和（1.24）在分母时具有一致性，并在指数上：）rz（）（222zxxyyrz+（1.25）同时，式（1.23）是（1.24）

11、式在满足）+（）（22zxxyy+?条件下的菲尼尔旁轴近似。另外，如果进一步满足远场条件（）222k xyz+?，就得到夫琅禾费衍射近似：（）（）22 2xyjkzzjez+,0 xxyyjkzE x y zE x yedx dy （1.26）1.3.1 小孔衍射 1.3.1 小孔衍射 对称的小孔，这时，孔径上的场分布可以写为：假设光场透过一个圆柱（）（）,0,0E x yE=（1.27）这样积分公式中，得到简化衍射积分式：，二维衍射积分可以简化为一维衍射积分。将（1.27）式代入到菲尼尔衍射（）（）（）222 cos22,j kzj kj kzjEz+00zzed Eed ez （1.28）

12、对角度的积分项，我们可以借助下面的公式完成：（）2 cos002jkzkd eJz=（1.29）式中，称为零阶Bessel函数。这样，（1.28）式可以简化为：0J（）（）22 2jkzjkjkzz+（1.30）式（1.30）中的积分项也称为220,0zzEzed EeJ （）2 2,0jkzEe 2 的汉克尔变换。在夫琅禾费衍射近似下，2j kze项等于 1，积分项变为的汉克尔变换。于是夫琅禾费柱对称圆孔衍射方程为：（）,0E （）（）2 2,jkzRjkzzz+200zEed EJ 31）（1.作者：beamcom 5 Matlab 辅助激光光学分析与应用（）,0E 当然，虽然经过了一系列

13、简化，然而是复振幅通常都是不确定的，即使知道了强度分布，相位分布也可能是比较难预测的。也可以通过辅助手段测量强度分布和相位分布。讨论圆这里，我们以平面波入射为例，孔夫琅禾费衍射问题。这时（）,0E 可用常数代替，不妨设为 1。利用 Bessel 函数的递推关系，我们可以得到解析的圆孔夫琅禾费衍射公式：（）221 22jkzjkzk RJE+2220,/zzRjkjzzed JeRzzzk R z=（1.32）即使是解析式，我们还是不能直观地感受到衍射斑的样式。下面我们利用 Matlab 给出夫琅禾费圆孔衍射的强度分布。程序代码如下：R=0.1;ce（0,2*1.22*lambda/2/R*z,

14、201）;01）;grid（r,eta）;rt（theta,rho）;*k）.2/lambda2;,max（r）,0,max（Ie（:）;off;1,:）,k）;k=2*pi/lambda;z=1.0e3;r=linspaeta=linspace（0,2*pi,2rho,theta=meshx,y=pol2caBess=besselj（1,rho*R*k/z）;Ie=4*pi2*R2*Bess.2./（rhosurf（x,y,Ie）;axis（-max（r）,max（r）,-max（r）shading interp;grid figure;plot（x（1,:）,Ie（1,:）,k,x（101,:）,Ie（10-15-10-505101500.10.20.30.40.50.60.7x 10-310.80.9 图 1.3 夫琅禾费圆孔衍射（孔径 0