工程数学线性代数第三版习题四答案Word格式.docx

1、 B b1（2 1 1 2）T b2（0 2 1 1）T b3（4 4 1 3）T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示 证明 由知R（A）R（A B）3 所以B组能由A组线性表示 由知R（B）2 因为R（B）R（B A） 所以A组不能由B组线性表示4 已知向量组 A a1（0 1 1）T a2（1 1 0）T B b1（1 0 1）T b2（1 2 1）T b3（3 2 1）T 证明A组与B组等价 知R（B）R（B A）2 显然在A中有二阶非零子式 故R（A）2 又R（A）R（B A）2 所以R（A）2 从而R（A）R（B）R（A B） 因此A组与B组等价5 已知R（a1 a2

2、 a3）2 R（a2 a3 a4）3 证明 （1） a1能由a2 a3线性表示 （2） a4不能由a1 a2 a3线性表示 证明 （1）由R（a2 a3 a4）3知a2 a3 a4线性无关 故a2 a3也线性无关 又由R（a1 a2 a3）2知a1 a2 a3线性相关 故a1能由a2 a3线性表示 （2）假如a4能由a1 a2 a3线性表示 则因为a1能由a2 a3线性表示 故a4能由a2 a3线性表示 从而a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 （1） （1 3 1）T （2 1 0）T （1 4 1）T （2） （2

3、3 0）T （1 4 0）T （0 0 2）T 解 （1）以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为所以R（A）2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 （2）以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为所以R（B）3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1（a 1 1）T a2（1 a 1）T a3（1 1 a）T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由知 当a1、0、1时 R（A）3 此时向量组线性相关 8 设a1 a2线性无关 a1b a2b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式 解 因为a1b a2b线性相关 故存在不全为零的数1 2使 1（a1b

4、）2（a2b）0 由此得 设 则 bca1（1c）a2 cR 9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1b1 a2b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当a1（1 2）T, a2（2 4）T, b1（1 1）T, b2（0 0）T时 有 a1b1（1 2）Tb1（0 1）T, a2b2（2 4）T（0 0）T（2 4）T 而a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 （1）若向量组a1 a2 am是线性相关的 则a1可由a2 am线性表示 解 设a1e1（1 0 0 0） a2a3 am0 则a1 a2 am线性相关 但a1

5、不能由a2 am线性表示 （2）若有不全为0的数1 2 m使1a1 mam1b1 mbm0成立 则a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 解 有不全为零的数1 2 m使1a1 mam 1b1 mbm 0原式可化为1（a1b1） m（ambm）0 取a1e1b1 a2e2b2 amembm 其中e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而a1 a2 am和b1 b2 bm均线性无关 （3）若只有当1 2 m全为0时 等式才能成立 则a1 a2 am线性无关, b1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当1 2 m全为0时 等式由1a1 mam1b1 mbm 0成立 所以只有当1

6、2 m全为0时 等式1（a1b1）2（a2b2） m（ambm）0成立 因此a1b1 a2b2 ambm线性无关 取a1a2 am0 取b1 bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但a1 a2 am线性相关 （4）若a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为0的数 1 2 m使1a1 mam0 1b1 mbm0同时成立 解 a1（1 0）T a2（2 0）T b1（0 3）T b2（0 4）T 1a12a2 01221b12b2 01（3/4）2120 与题设矛盾 11 设b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关

7、证明 由已知条件得 a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是 a1 b1b2a3 b1b2b3a4 b1b2b3b4a1从而 b1b2b3b40 这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关12 设b1a1 b2a1a2 br a1a2 ar 且向量组a1 a2 ar线性无关 证明向量组b1 b2 br线性无关 证明 已知的r个等式可以写成上式记为BAK 因为|K|10 K可逆 所以R（B）R（A）r 从而向量组b1 b2 br线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组 （1）a1（1 2 1 4）T a2（9 100 10 4）T a3（2 4 2 8）T 解由知R

8、（a1 a2 a3）2 因为向量a1与a2的分量不成比例 故a1 a2线性无关 所以a1 a2是一个最大无关组 （2）a1T（1 2 1 3） a2T（4 1 5 6） a3T（1 3 4 7） 解 由知R（a1T a2T a3T）R（a1 a2 a3）2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例 故a1T a2T线性无关 所以a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 （1） 解 因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.（2） 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 15 设向量组（a 3 1）T （2 b 3）T （1 2 1）T （2 3 1）T的

9、秩为2 求a b 解 设a1（a 3 1）T a2（2 b 3）T a3（1 2 1）T a4（2 3 1）T 因为而R（a1 a2 a3 a4）2 所以a2 b5 16 设a1 a2 an是一组n维向量 已知n维单位坐标向量e1 e2 en能由它们线性表示 证明a1 a2 an线性无关 证法一 记A（a1 a2 an） E（e1 e2 en） 由已知条件知 存在矩阵K 使EAK 两边取行列式 得|E|A|K|可见|A|0 所以R（A）n 从而a1 a2 an线性无关 证法二 因为e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示 所以R（e1 e2 en）R（a1 a2 an）而R（e1 e2 e

10、n）n R（a1 a2 an）n 所以R（a1 a2 an）n 从而a1 a2 an线性无关17 设a1 a2 an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一n维向量都可由它们线性表示 证明 必要性 设a为任一n维向量 因为a1 a2 an线性无关 而a1 a2 an a是n1个n维向量 是线性相关的 所以a能由a1 a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2 an线性表示 故单位坐标向量组e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示 于是有nR（e1 e2 en）R（a1 a2 an）n即R（a1 a2 an）n 所以a1 a2 an线性无关

11、 18 设向量组a1 a2 am线性相关 且a10 证明存在某个向量ak （2km） 使ak能由a1 a2 ak1线性表示 证明 因为a1 a2 am线性相关 所以存在不全为零的数1 2 m 使1a12a2 mam0而且2 3 m不全为零 这是因为 如若不然 则1a10 由a10知10 矛盾 因此存在k（2km） 使k0 k1k2 m0于是 1a12a2 kak0ak（1/k）（1a12a2 k1ak1）即ak能由a1 a2 ak1线性表示19 设向量组B b1 br能由向量组A a1 as线性表示为（b1 br）（a1 as）K 其中K为sr矩阵 且A组线性无关 证明B组线性无关的充分必要条

12、件是矩阵K的秩R（K）r 证明令B（b1 br） A（a1 as） 则有BAK 必要性 设向量组B线性无关 由向量组B线性无关及矩阵秩的性质 有 rR（B）R（AK）minR（A） R（K）R（K） 及 R（K）minr sr因此R（K）r 充分性 因为R（K）r 所以存在可逆矩阵C 使为K的标准形 于是 （b1 br）C（ a1 as）KC（a1 ar） 因为C可逆 所以R（b1 br）R（a1 ar）r 从而b1 br线性无关 20 设证明向量组1 2 n与向量组1 2 n等价 证明 将已知关系写成将上式记为BAK 因为所以K可逆 故有ABK 1 由BAK和ABK 1可知向量组1 2 n与向量组1 2 n可相互线性表示 因此向量组1 2 n与向量组1 2 n等价21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x 且向量组x Ax A2x线性无关 （1）记P（x Ax A2x） 求3阶矩阵B 使APPB APA（x Ax A2x） （Ax A2x A3x） （Ax A2x 3AxA2x）所以（2）求|A| 解 由A3x3AxA2x 得A（3xAxA2x）0 因为x Ax A2x线性无关 故3xAxA2x0 即方程Ax0有非零解 所以R（A）3 |A|0 22 求下列齐次线性方程组的基础解系