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1、四、无痕教育的哲学内涵教育是一项事业，事业的价值在于求善。“圣人处无为之事，行不言之教。”“大音希声，大象无形，道隐无名。” 老子道德经“至人无己，神人无功，圣人无名”庄子逍遥游5、无痕教育的实施策略 不知不觉中开始 潜移默化中理解循序渐进中掌握春风化雨中提升 儿童是根据形状、颜色、声音来形成思维的。无痕有痕是统一的。教育要通过无痕的过程达到有痕的发展。当一个人忘记了学校里所学到的一切，那么所剩下的就是教育。爱因斯坦刘劲苓：说说数学那些事儿一、曹培英：小学数学学科核心素养体系的初步框架两个层面 六个素养（由高中数学演变）从框架中可以看出，课标中的10个核心词，除了“创新意识”均有体现或被包含其

2、中。二、数学基本思想建立原则：数学基本思想：数学产生发展所依赖的思想学习过数学的人应当具有的基本思维特征解决问题时涉及的思想三、通过抽象：现实数学把研究对象，以及对象之间的关系形成概念。从现实世界到数学内部，数学具有一般性。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则。四、通过推理：数学数学从假设前提出发，通过推理得到数学的结果。数学内部的发展，数学具有逻辑性。通过推理，得到数学发展。五、数学思想：抽象 推理 模型抽象的过程需要逻辑推理，最终形成模型。在推理过程中往往需要从已有的数学知识出发，抽象出那些并不直接来源于现实世界的概念和运算法则。在构建模型的过程中，往往需要在错综复杂的现实背景中

3、抽象出最本质的东西，并用数学语言表达。这三个最具学科特征的核心素养，又能生成三个基本的素养，即思维、交流与问题解决。六、史宁中数学基本思想18讲：抽象是从许多事物中舍弃个别的，非本质属性，得到共同的，本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段。七、史宁中教授还将抽象的深度大体为三个层次：简约阶段：把握事物的本质，把繁杂问题简单化，条理化，能够清晰的表达。符号阶段：去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物。通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般的意义上解释具体事物。这三个层次的区别，为我们概念教学的途径提供了有利的证据。八、对数学来说，抽象包括

4、：空间形式的抽象，论证形式的抽象，模型形式的抽象等等。从小学数学的角度来看，抽象主要包括：数量与数量关系、图形与图形关系9、教学建议：从实际（教师、学生）入手，多元表征，经历抽象过程，逐步提高抽象能力。活动中设计问题串（问题的连续建构）通过推理，建立模型，逐步实现抽象。沈勇：适合儿童真实成长的数学好课 相关研究表明：目前最伤害家庭关系的事情就是辅导孩子作业，尤其是数学作业。 这项工作不仅伤害亲子关系，还会伤害夫妻关系。 95%以上的家长在辅导孩子作业时，感觉孩子的智力水平不及当年的自己，而100%的夫妻认为这是对方的基因导致的。1、数学课该不该更有点意思？1、数学究竟有什么用？算账？工具 科学

5、 文化2儿童进学校究竟是为了什么？“长大成人”？更生动的成长 更快乐的回忆成长不能代替 过程不能逾越2、找到答案的根本意义究竟是什么？1、产生更多的想法，发现更多的规律。敢想会想，才能创新。2、提出更多的问题，引发更多的思考。不管今后做什么，都保留着学习、思考、研究的习惯和爱好。3、课改，该改、能改什么？教学模式？核心素养？像农民种地一样教书。华应龙没有让儿童留下深刻印象的教育是低效的，没有让儿童感动的教育是失败的。余强4、有意思的数学课长什么样子？适合儿童真实成长维度一：吸引人 情景生动，语言情趣，旁征博引，节奏紧凑维度二：激发人体验参与，隐忍不发，语言留白，中肯激励维度三：生长人由生到熟，

6、由熟到巧，举一反三，过程生态维度四：走出人内容拓展，能力迁移，沉醉情境，意犹未尽5、怎么才能上出适合儿童真实成长的好课？（1）审视常规，空出时间来学习常规，常态化的教育规律和职业规矩备课：抄教案与备课是有区别的（2）注重积累，有扎实的基本功寻找标准：把名师的课集中提取共性（忌闭门造车）备课上课：回归儿童现实、数学本质（忌砖混结构）学会观课：理性地看别人的课（忌盲目崇拜）自主成长：看自己的课，红脸，出汗（忌上了就了）（3）创新突围，上有意思数学好课刘克臣：想象为数学学习插上翅膀想象力凭感觉1、空间想象能力的认识范希尔理论空间想象的三个水平：1.能由实物辨认出空间图形，也能由空间图形想象出实物形状

7、。2.能描述探究简单几何体的结构特征，也能根据结构特征判断图形的形状。3.能画出几何体的三视图、直观图，能根据所给的三视图、直观图画出原图，能建立几何体与它的展开图之间的转化关系；能建立立体图形与截面的对应关系，能建立旋转体与经过旋转后能形成这些几何体的平面图形之间。二、实践中的操作性建议建议1.具有整体把握的高观点三维的关系？体承载着面，面承载着线，线承载着点。基本原则：在高一维空间建立概念！空间？时间承载着食物的过程，空间承载着事物的位置。三维？用三个方面才能描述清楚的食物。建议2.具有切实可行的低行动“简单”也要观察观察过程观察方法观察积累经验经验是想象的基础想象和讲理活动并行儿童与生俱

8、来会想象牛献礼：素养导向下的深度教学童王岚：用设计思维教与学一、用设计思维让数学知识自由生长教育是农业，而非工业。因此，好的数学教育应该让儿童听到数学知识自由生长的声音。数学知识的生长液需要有足够的空气、适量的光照、合适的温度、适宜的水分。而这空气、阳光、温度与水分，需要教师作为设计师进行整合调控。案例：认识公顷。借助知识自然生长的力量，做到前沿后续无缝对接作为比较大的测量土地面积的单位，公顷及平方千米对于学生而言，生活经验的支持实在有限。借助数学知识本身的力量构建公顷的概念，较之借助活动经验建立更具有整体感与系统感。通过引导回忆，在头脑中建构“1平方厘米”“1平方分米”“一平方米”的面积大小

9、，分别边长为“1厘米”“1分米”“一米”的正方形的面积。在十进制的原有学习经验的迁移下，就会尝试选用边长为“10米”“100米”“1000米”的正方形的面积作为较大的面积单位。而在这样的创造过程中，“公亩”“公顷”“平方千米”的概念就自然生长出来了，不同面积单位之间的关系也自然建构起来了。而公亩概念的加入，也很好地解决了相邻面积单位之间进率的问题，在公顷与平方米的之间建构了必要的桥梁。二、用设计思维让认知结构自主生长 现代学习理论表明，学习过程是认知结构形成、变化与完善的整体过程。数学认知结构，作为数学知识结构在学生头脑中的整体结构，是一个从无到有、从少到多、从简单到复杂的“类建筑式”结构。数

10、学认知结构的生长方式有两种。其一是同化。这意味着新的学习内容在原有的认知结构中能找到可用的资源，并且可以纳入到原有的认知结构。案例:异分母分数加减法对于异分母分数加减法这一新的内容，在原有的认知结构中可以寻找到相同计数单位的数可以直接相加减，而不同计数单位的数需要化为相同单位的数才能相加减这样的知识源与经验源。其二为顺应。当新的学习内容不能被原有的认知结构同化时，学生往往需要重新审视自我的认知结构，进行适度调整、甚至部分纠错，从而适应新的学习内容的需要。平行四边形的面积计算。学生原有的认知结构中关于四边形面积计算的公式就是“长方形的面积=长x宽”。而长方形是特殊的平行四边形，因此，对于平行四边

11、形的面积计算，其直觉认为应该是邻边相乘所得的乘积。在这样的情况下，不能简单地“堵”，而应有效地“疏”，做到顺势而行、自然而为。小组合作分别用两组小棒（分别为2根8厘米，2根6厘米）尝试围成学习过的不同平面图形，并猜想这些平面图形的面积可能与什么有关。4个图形面积很明显不相同，不可能都用8x6来计算。而4个图形的底的数据相同，高的数据越来越小，面积也越来越小，大胆猜想“是否与底和高有关”，并受长方形的面积=长（底）x宽（高）的影响，长方形是特殊的平行四边形，提出猜想平行四边形的面积可能等于底x高。三、用设计思维让基本经验自然生长 数学学习需要从“经历”走向“经验”。基本经验不仅包括直接经验，还包

12、括间接经验。教师应当引领学生通过丰富的直接经验与间接经验，实现基本经验的自然生长。 案例：三角形的面积计算。不断激活学生已有的基本活动经验，同时丰富与更新活动经验。通过前引后连、前呼后应进行强化与优化。 三角形的面积计算，各个版本都安排在平行四边形面积计算之后。这是因为三角形的面积计算需要建立在平行四边形面积计算的公式基础之上，同样也是建立在平行四边形面积公式推导的基本经验之上。在已有的转化经验与面积公式基础上，如何设计才能更大程度地让基本经验自然生长呢？通过回顾平行四边形面积的计算公式及其推导过程，引导学生回忆起转化的直接经验，同时回忆出面积的相关公式。在此基础上，提供学生丰富的选择，可以借

13、助平行四边形进行操作，也可以借助两个完全相同的三角形进行研究，还可以借助一个三角形进行操作。在小组合作的过程中，我们会看到不同的学生、不同的小组有不同的思路与不同的方式。而每一种表达，都是学生已有基本经验的衍生，都是新的基本经验的增长。而这样的衍生与增长，需要问题也需要议题，需要独创也需要共享。而独创的过程，就是直接经验累积的过程；分享的过程，也正是间接经验生长的过程。认识小数。可以借助生活现实重组内容，基于现实经验认识小数的产生，同时基于十进分数的含义，借助价格单位及长度单位理解小数的意义。通过单位正方形到单位线段的抽象，进而过渡到数轴，引导学生将单位线段平均分成十份，一百份，一千份.认识一位、两位、三位小数。在此过程中，基于现实，又高于现实；基于生活，又上升为模型。钉子板上的多边形。从引发研究的欲望，到研究可能的因素，到变量的控制，再到规范的实验。在规律的探寻之上，是方法的建构，是经验的跨界，也是研究的传承。最好的设计，其实是最美的预见，更应是最美的遇见。有专业视野，有专业解读，方能预见。有专业实践，有专业坚守，方能遇见。