1、图二分成了 4 个梯形,是基于仁华考题正三角形分成 3 个等腰梯形的灵感,难度在于面积相等的构造。再看如下一系列的题,作为思考题,答案下期公布(提示:网格化哦)思考题:将上底 4,下底 8,高 4 的等腰梯形进行分割:1)分成 4 个直角三角形;2)分成三个三角形,使它们的面积的比是 1:2:3;3)分成两个等腰梯形,两个等腰直角三角形;4)分成一个等腰梯形,五个等腰三角形;5)分成 5 个等腰三角形;有的图形分割问题还离不开等积变形的知识,还记得一道经典的杯赛题吗?3、过三角形边上一点做一条直线,平分三角形面积。我上课时会讲这道题的两个加强版:1)过三角形边上一点做 2 条直线,3 等分三角
2、形面积;2)过正 n 边形边上一点做一条直线,平分正 n 边形面积。DABCEABCPDDABC【分析】不妨设 P 点在 BC 上,取 BC 中点 D,连 AP,过 D 作 DE 平行 AP 交 AC 于 E,连 PE,则 PE 为所求。此题证明起来并不困难,正是用等积变形的知识,AP 和 DE 平行,所以ADE 面积等于PDE 的面积,那么PCE 的面积等于ADC 的面积等于ABC 面积的一半。只要理解的这种方法的精髓,那么那两个所谓的加强版也不是很强了,自己动手试试。4、将长方形分割成两个全等的直角梯形和两个全等的三角形(每个图形面积一样)加强:将长方形分割成两个全等的等腰梯形和两个全等的
3、三角形(每个图形面积一样)【分析】这类问题不是很困难,因为突破口比较明显,容易上手。要求面积都相等,那自然每块面积是整个的四分之一,图一是最容易想到的,把长方形的一半分成两个直角三角形,另一半分成两个直角梯形,但此方法解决不了加强版,由仁华考题可知,想构造出两个等腰梯形必须有两条平行线但不能有直角。那么先找到两条长边的中点,这样,四分之一的面积和平行线就都构造出来了,如果想要直角梯形,就过中心作两条平行线的垂线;如果想要等腰梯形,就如图三,先作一个等腰三角形,再过中心作腰的平行线。日本奥赛也曾考过这种构造类几何问题:5、把一个三角形分成三部分,再拼成一个长方形(或菱形)【分析】这道题又是看起来
4、很难,不知如何下手构造。但如果分两步构造,第一步:三角形分成两部分拼成一个平行四边形;第二步,平行四边形分成两部分拼成一个长方形或菱形。那么每一步就不是很难了。如图,取 AB 和 AC 中点 D,E,连 DE,那么ADE 绕 E 点旋转 180至CFE,那么四边形 BDFC 是一个平行四边形,这样第一步就完成了;过 D 作 DH 垂直 BC,将BDH 平移至CFG,那么四边形 DHGF 就是长方形(构造菱形需要一个条件:中线大于某一边,图中是 BEBC,在 DE 上找点 M 使 BM=BC,将BDM平移至CFN,那么四边形 BMNC 就是菱形)FDECBAFDECBAGHMFDECBAN这道题
5、的构造需要三角形中线和中位线的知识,这对中国小学生来说有点难,但日本小学就已经开始学我们初中的平面几何知识了,这是典型的中位线性质和倍长中线构造全等和平行四边形的知识,培养良好的逻辑思维和严谨的推理是学好几何的关键。6、(2004 年第 2 届走美杯团体决赛第 15 题)请将给定的正方形划分成 8 部分,每部分都是锐角三角形.【分析】正方形内的点,如果发出少于等于 4 条线,四个角之和为 360,由抽屉原理,至少有一个角大于等于 90则不是锐角。所以正方形内的点至少发出 5 条线,同理,正方形边上的点至少发出 2 条线,正方形顶点至少发出 1 条线,那正方形内只能有 2 个点(若只有 1 个点,边上的点发不出 2 条线;若有 3 个点,分出多于 8 个三角形),边上有 2 个点,左图为把一个正方形分割成 8 个锐角三角形的方法,其中点 G 及H 要在右图的黄色区域内。走美六年级的决赛题,其背景也是初中的知识:以三角形 ABC 一边 AB 为直径作圆,如果另一点 C 在圆内,则角 ACB 是钝角;如果另一点 C 在圆上,则角 ACB 是直角;如果另一点 C 在圆外,则角 ACB是锐角。7、思考题:如何把直角梯形 ADBC,角 ABC=90 度分割成与原梯形相似并全等的四个小梯形 1)AB=AD=1/2BC;2)BC=CD=2AD;ADBCDBCA
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