线性方程组_精品文档资料下载.pdf

1、R1+R32R1+R41201102112063220147563R2+R37R2+R412011021120001400028R2+R1;R3+R22R3+R4;R3101010210200014000001第第第四四四章章章线线线性性性方方方程程程组组组所以x1=1 x3,x2=1+12x3,x4=4,x3可以任意取.3.设3阶方阵B=0,且B 的每个列向量都是下面方程组的解:x1+x2x3=0,x1+2x2+x3=0,3x1+2x2x3=0,求参数 的值,并证明B 的行列式det（B）=0.证证证明明明:因为B=0,所以B 至少有一个列向量不为零,这说明题中的齐次线性方程组Ax=0 有非

2、零解（其中A 是方程组的系数矩阵）,因此A 的行列式det（A）=0,即:det（A）=?11112321?=（+2）?11101+1012?11101+100+3?=（+3）=0.所以=3.下面用反证法证明det（B）=0.假设det（B）=0,则矩阵B 可逆.由题设条件可知AB=0,从而有ABB1=0 A=0 与A=0 矛盾,所以det（B）=0.4.求下列矩阵的秩:A=01112022200111111011解解解:对A实施初等行变换化为阶梯形矩阵A=01112022200111111011R3+R12R3+R200003004020111111011交换行的位置 11011011110

3、040200003=B,因此R（A）=R（B）=4.5.求下列矩阵的秩:A=120010624101113616119714342解解解:对A实施初等行变换化为阶梯形矩阵A=12001062410111361611971434R1+R3R1+R4120010624100936150217143432R2+R372R2+R4120010624100000000000=B,因此R（A）=R（B）=2.6.求下列矩阵的秩:A=xyyyxy.yyxnn.解解解:对A 实施初等变换:将R1分别加到其他各行可得xyyy xx y0.y x0 x ynn,再将上面所得的矩阵的2至n 列全加到第1列得x+（n

4、 1）yyy0 x y0.00 x ynn,由此可以看出:（1）当x=y=0 时r（A）=0;（2）当x=y=0 时r（A）=1;（3）当x=y 且x+（n 1）y=0 时r（A）=n 1;（4）当x=y 且x+（n 1）y=0 时r（A）=n.7.取何值时,下列方程组有非零解:x1+x2+x3=0,x1+x2+x3=0,x1+x2+x3=0.3解解解:此方程组的系数矩阵是A=111111所以det（A）=?111111?1111111?1110 1000 1?=（+2）（1）2.而方程组存在非零解的充要条件是det（A）=（+2）（1）2=0.所以,当=2 及=1 只要有一个成立则方程组有非

5、零解.8.a,b 取何值时,下列方程组有解,并求其解:ax1+x2+x3=4,x1+bx2+x3=3,x1+2bx2+x3=4.解解解:此方程组的系数矩阵和增广矩阵分别是A=a111b112b1,eA=a1141b1312b14.从而可知det（A）=?a111b112b1?=?1010b0001 a?=b（1 a）.当a=1,b=0 时方程组有唯一解.对增广矩阵eA进行如下初等变换a1141b1312b14R2+R3交换R1与R21b13a1140b01aR1+R2交换R2与R31b130b0101 ab1 a4 3aR2+R11abbR2+R310120b01001 a4b2ab1b11a

6、R3+R110012bb（1a）0b01001 a4b2ab1b.从而可知:1）当a=1,b=0 时方程组有唯一解,其解是:x1=12bb（1a）,x2=1b,x3=4b2ab1b（1a）;2）当a=1,b=12时将其值直接代入增广矩阵验证,可知方程组有无穷多解,其解是:x1=2 x3,x2=2,x3可以任意取;3）当a=1,b=12或b=0 时r（A）=r（eA）,所以原方程组无解.9.设A是m n 矩阵,B是n s 矩阵，已知r（B）=n,AB=0,试证明A=0.证证证明明明:设A 的第i 行元素为向量ai=（ai1,ai2,ain）,其中i=1,2,m.由AB=0 可知aiB=0,即BT

7、aTi=0.此方程组是以BT为系数矩阵,以aij（j=1,2,n）为未知量的齐次代数方程组.由于r（B）=n 正好等于未知量的个数,由定理可知aTi=0（i=41,2,m）,所以A=0.10.设a1,a2,a3是互不相同的常数,证明下面的方程组无解:x1+a1x2=a21,x1+a2x2=a22,x1+a3x2=a23.证证证明明明:此方程组的系数矩阵和增广矩阵分别是A=1a11a21a3,eA=1a1a211a2a221a3a23.由于a1,a2,a3是互不相同的常数,显然,r（A）=2;而增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式,所以可知r（eA）=3.从而可知r（A）=r（eA）,所以原方程组

8、无解.11.设线性方程组Ax=b有解,证明:Ax=b 有唯一解的充要条件是导出组Ax=0只有零解.证证证明明明:必要性:若导出组有非零解,那么这个解与原方程组Ax=b 的一个解的和是其另一个解,所以Ax=b 不止一个解,与Ax=b 有唯一解矛盾.充分性:若Ax=b有两个不同的解,那么它们的差是导出组Av=0 的一个非零解,所以若导出组只有零解,那么Ax=b 有唯一解.12.设B 为一r r矩阵,C 为一r n矩阵,且r（C）=r.试证明:（1）如果BC=0,那么B=0;（2）如果BC=C,那么B=E.证证证明明明:（1）如果BC=0,则有CTBT=0.所以BT的每个列向量都是齐次方程组CTX=

9、0 的解.又因为BT是r r矩阵,所以这个方程组中有r 个未知数.由于r（CT）=r（C）=r,所以CTX=0的基础解系的秩为0,因此,方程组CTX=0 只有零解.故有BT=0,即B=0.（2）由于BC=C,所以有（B I）C=0.由（1）可知B I=0,即B=I.13.证明r（A+B）r（A）+r（B）.证证证明明明:令A=（A1,A2,An）,B=（B1,B2,Bn）,其中Ai（i=1,2,n）和Bj（j=1,2,n）分别是矩阵A 和B 的列向量.所以A+B=（A1+B1,A2+B2,An+Bn）,它的每一个列向量都可由A1,A2,An,B1,B2,Bn 线性表出.又设Ai1,Ai2,Ai

10、r及Bj1,Bj2,Bjs 分别是A1,A2,An 及B1,B2,Bn 的极大线性无关组.则A1+B1,A2+B2,An+Bn 都可由Ai1,Ai2,Air,Bj1,Bj2,Bjs 线性表出.所以r（A+B）=rA1+B1,A2+B2,An+Bn rAi1,Ai2,Air,Bj1,Bj2,Bjs r+s=r（A）+r（B）.14.设A,B 是n n 矩阵.如果AB=0,则r（A）+r（B）n.5证证证明明明:因为AB=0,所以B 的每个列向量都是齐次方程组AX=0的解,故可以由方程组的基础解系线性表出,于是r（B）基础解系的秩=n r（A）.所以有r（A）+r（B）n.15.设A 是n n 矩阵,证明:存在一个n n 非零矩阵B 使得AB=0的充分必要条件是det（A）=0.证证证明明明:令非零B=（B1,B2,Bn）其中Bi（i=1,2,n）是矩阵B 的列向量.由AB=0 可知（AB1,AB2,ABn）=0.因为B 是非零矩阵,至少有一列Bi=0,故齐次方程组有非零解,所以det（A）=0.充分性:因为det（A）=0,所以齐次方程组AX=0 有非零解.设b=（b1,b2,bn）T=0 是它的一个解.令B=b1b1b1b2b2b2.bnbnbnnn=0,则满足AB=0.6