Duffing方程的matlab程序实现_精品文档资料下载.pdf

1、本文采用第二种 Duffing 方程来描述下图 1 所示 LC 铁磁混沌振荡电路（电路由交流电压供电），图 1 并联 LC 铁磁混沌振荡电路 图 1 中非线性电感是一个含铁芯的电感线圈，当电感线圈磁通饱和时，电路状态方程如下：cdudt （3）31（）ccsduCabuu tdtR （4）其中 sinmsUwtu t，令wt，dwdt，则电路状态方程改写为 cuddw （5）31（）ccsduabuudwCwCwCR （6）令x，cuyw，则电路方程变为 dxyd （7）2223sin1（）mUw CRdyabxxydwCRw Cw C （8）再令21aw C，21bw C，1kwCR，2mU

2、w CRf，1wR，则上述方程改写为 dxyd （10）3sin（）dyxxkyfd （11）上述两式用一个二阶微分方程表示，可得 232sind xdxxxkfwtdtdt （12）即为 Duffing 方程的第二种形式。为方便分析，增加一个时间维，将式（11）（12）改写为三阶自治方程，也称等价扭扩系统，其相应的自治系统方程为 dxydt （13）3sin（）dyxxkyfdt （14）1dzdt （15）其中zt 常数 1.1 采用 Melnikov 方法求解第一种 Duffing 方程 Melnikov 方法的基本思想是将动力系统归结为平面上的一个 Poincare 映射是否存在横截同

3、宿轨道或异宿轨道的数学条件,给出一类非线性动力系统 Smale 马蹄变换意义下出现混沌现象的判据。应用解析 Melnikov 方法的许多实际问题可以归结为讨论带有弱周期扰动项的具有同宿轨道或异宿轨道的二阶常微分方程。对于这类系统,利用一定的数学技巧,就可以建立二维Poincare映射,如果此映射存在Smale马蹄变换性质,则此映射可能是一个具有混沌属性的不变集。本小节采用 Melnikov 方法求解下方 Duffing 方程。考虑 Duffing 方程的周期扰动方程 232cosd xdxkxxFwtdtdt （16）或表示为 dxydt （17）3cosdyxxkyFwtdt （18）哈密顿

4、方程的同宿轨方程为 4222xyx （20）将dxydt带入上式，求解一阶微分方程可得同宿轨方程的参数方程为 2sechx tt （21）2sech thy ttt （22）所以 000cosM ty ttFwtky ttdt （23）式中，0002sechthy tttt ttt，由复变函数理论求得 0042sechsin23wkMFwtwtt （24）综上，当042sechsin23wkFwtwt时，存在同宿点，表明阻尼k 越小，激励F 越强，系统容易激起混沌振荡。2.Duffing 方程模型的 MATLAB 数值计算分析 随着计算机技术的发展，求解微分方程的方法也越来越多。其中，数值计算

5、方法是一种有效的求解微分方程算法，MATLAB 软件以其强大的计算能力逐渐在求解微分方程中独占鳌头。2.1 MATLAB 数值计算分析 function fty=Duffing（t,y）k=0.25;F=0.45;w=1;fty=y（2）;y（1）-y（1）3+F*cos（w*y（3）-k*y（2）;1;将 x，y，t 的初始值分别取为 0，0，0，计算时间为 200s，步长为 0.01s，调用 Duffing函数，并用 ode45 进行求解，画出 Duffing 方程 x-y 平面图、变量时域响应图，程序如下：tspan=0:1e-2:200;initial=0,0,0;t,y=ode45（

6、Duffing,tspan,initial）;figure（1）;plot（y（:,1）,y（:,2）;figure（2）;plot（tspan,y（:figure（3）;,1）;由式（24）知，当0.25k ，1w时，要存在同宿点，必须有F。下面给出F分别为0.1,0.3,0.45时的Duffing方程x-y平面图、变量时域响应图。由图1-6可验证得出，F 时，没有同宿点出现，无混沌现象；F 或F 时，有同宿点，故系统出现混沌现象；与采用Melnikov方法求解Duffing方程的结果吻合。由图4-6可得出当参数变化时，系统特性发生变化，但各信号并没有很强的规律性，这反映了确定系统中的不确定

7、性的行为特征。（1）F 时：图 1 F=0.1 时 Duffing 方程 x-y 平面图 图 2 F=0.1 时 Duffing 方程变量时域响应图 （2）F 时 00.20.40.60.811.21.4-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5xy02040608010012014016018020000.511.5tx020406080100120140160180200-0.500.5ty 图 3 F=0.3 时 Duffing 方程 x-y 平面图 图 4 F=0.3 时 Duffing 方程变量时域响应图 （2）F 时-1.5-1-0.500.511.5-1-0

8、.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xy020406080100120140160180200-2-1012tx020406080100120140160180200-1-0.500.51ty 图 5 F=0.45 时 Duffing 方程 x-y 平面图 图 6 F=0.45 时 Duffing 方程变量时域响应图 3.结论 本文通过对 Lorenz 系统的平衡点及稳定性的分析，研究了参数变化对 Lorenz 奇怪吸引子的特性的影响，并使用 MATLAB 编程方法实现了 Lorenz 系统的混沌吸引子。通过结果，可以看到混沌吸引子在 x-y，x-z，y-z 平面的投影的形状是一样的。-2-1.5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5xy020406080100120140160180200-2-1012tx020406080100120140160180200-2-1012ty