对称性在二重积分计算中的应用_精品文档资料下载.pdf

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2、的二重积分的简化运算进行一些研究。一侧的那部分区域!例%;计算二且?,、!、,其中刀为由、二+与二+围成的区域。略解如图%,积分区域1关于,轴对称,且爪,一0!二一?叮!,力即?,0!是关于0的奇函数,由定理%有如,户、二。1当积分区域1关于轴对称,而被积分函数?,刃是关于,的奇?偶!函数时,也有类似定理%的结论。例+;+及0二二叮一、,其中1为由,二+,0二一围成的区域。刃有一、积分区域1关于坐标轴对称定理%设二元函数?,户在平面区域1连续,且1关于,轴对称,则3!当厂,一刃二一?即?二,刃是关于0的奇函数!时,有如,!、二1+!当?,一刃二?二,0!是关于0的偶函数!、二+叮?,#!、淇中

3、1是。落在轴11收稿日期+?,!+一&一仍作者简介张振强?%卯 :!,男,广西隆安人,助教。欢+图+如图+,刀关于轴对称,并且?一,刃二护0二八,即被积分函数是关于,轴 的偶函数,由对称性定理结论/,一汀,;,二一丫,+二3名竹翻对丫二艺%劣;竹奴下二若3以名3名;长劫刀丫二#下习了司甘一3!11&张振强著对称性在二重积分计算中的应用汗“刀气例;计算,二亚?二84 0,!、,其中。为抛物线,二二3户?尸!山方二=,二勺巾?+尹!方二=汗日刀气护,0二+及0二%所围成的闭区域。从而二万3,尹,“%,?,尹!、亚?%,?、气、叮,?二+,!、二亚、二+油了、气气一3。汗日刀 气?厅“刀气?图!略解

4、如 图!,积分区域刀关于#轴对称,但被积函数%二,刃二二&（）（不是关于的奇%偶+函数,故不能直接应用对称性计算二重积分,但是,若记,二%二,刃二,&（,乃二%二,刃二（,则,%,力关于的奇函数,而五二%,刃二（是关于的偶函数,由对称性有当区域不对称时,可试试是否可将它分解为几个区域,如果分解后具有对称性,也可使计算简化。【定理?设二元函数%,（+在平面区域连续,且刀关于.轴和#轴都对称,则,+当六一.,刃二一%,刃或%,一（+二一%二,刃时,有如,+、二。+当八一,（+二%,一,+二%,+时,有如,/卜李冲方二月方“今刃么方域+二叮%,+0、%其中,为。的在第一象限部分区 1伴日曰。且、2?

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6、性,所以不能直接利用对称性来计算,但作一辅助线（二一护,则刀分成刀,和刀两部分,关于#轴对称,关于.轴对称,又被积函数%,力2.;）沙%.）尹+=是关于.的奇函数,而;勺巾%.+%一,一,+二%,+时,有如,+、二盯%二汗%嗯伴日刀,一护1?（+么4（?+%一,一,卜一%,+时,有如,+、二例3计算:二,（二一以及劣,十当积分区域关于（二对称时,被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简,类似的,若积分区域关于直线（二一对称,且满足几产八一（,一+二 1或满足只一（,如一（+卿%,+,则如,+、二。+二%,（+则有?且%,+、%其中。为刀的一半+一几匕图二井%,）、+认）

7、（,、,其中”为解如图,二刀）,、,一（故,二%.（十（+、二万、十且护.4.4（2?叮.（1,一9、尹尹图略解如图,积分区域刀关于直线（二一对称,且满足%一（,:二 一%二,刃,由以上性质,有.）尹+8&%.）了+么4（二7、3产、.汀”洲。一二三、积分区域关于直线（二土对称【定理9=设二元函数%,刃在平面区域连续,且二刀）+如,+、二如,+、万%,+、二万%一,、在进行二重积分计算时,善于观察被积函数和积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称性方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分问题的解答大大简化。1?+当%了,.+二一%,+时,有如二,+、二。+当%了,.+二%,+时,有伽,+、二?井%,:刃么方例3求:二参考文献【朱时3数学分析札记【=3贵州省教育出版社,93【幻 李久平3广义对称性在积 分计算中的应用 =3工科数学,?%+,%+3【!梅顺治,刘富春3高等数学方 法与应用【=3科学出版社,?%+3井%气）共+卿,。为,）尸二护/