“抽象函数周期性证明”的11种类型_精品文档资料下载.pdf

1、函数：f（z）是周期函数 类型4 若对于任意一个实数 z，都有 ，（z+口）=一 I_（，（）0），求 证：函 数 =f（z）是周期函数 类型 5 若对于任意一个实数 z都有：f（z+a）=f（一z+b）；函数=f（z）是奇函数，求证：函数=f（z）是周期函 数 类型 6 若对于任意一个实数 z都有：q）f（x+口）=f（一z+b）；函数=f（z）是偶函数，求证：函数 =，（z）是周期函数 类型7 若对于任意一个实数 z都有：f（z+口）=一f（一z+b）；函数=，（z）是奇函数，求证：函数=f（z）是周期 函数 类型 8 若对于任意一个实数 z都有：f（z+a）=一f（一z+b）；函数=，（

2、z）是偶函数，求证：函数=，（z）是周期 函数 类型9 若对于任意一个实数 z都有：，（z+a）=f（一z+a）；f（z +b）=f（一 z+b），求证：函数=，（z）是 周期函数 类型l O 若对于任意一个实数z都有：（z+a）=一f（一z+a）；函数=，（z+b）=一 f（一 z+b）求证：函数 =f（z）是周期函数 类型 l 1 若对于任意一个实数 z都有：q）f（x+a）=f（一z+a）；函数=f（z +b）=一 f（一 z+b）求证：函数 =，（z）是 周期函数 下面是以上1 1 个类型的证明过程 证明类型1：函数，（曩 于任意的实 数 z都有f（z+a）=f（z+b），将上式中的

3、z以zb代换，可得，z+（ab）：，（z），这表明，（z）是R上的周的期函数，且 a b 是它的一个周期 类型 2：依题 意可知，厂（z+2 a）：一f（z+a）=f（z），这表明f（z）是 R上的 周期函数，且2 口是它的一个周期 类型 3：依题意得可知，（z+2 a）=1 7 i l一 ，（z），这 表 明，（z）是R 上 的 周 期函 数，且2 口 是它的一个周期 类型 4：依题 意可知，（z+2 a）=维普资讯 http:/ 数 学 通 讯 2 0 0 4 年第 l 8 期 一 工_ 厂（），这 表 明 厂（）是 R 上 的 周期函数，且2 口是它的一个周期 类型5：对于任意的实数 都

4、有，（+a）=，（一 +b），将上式中的 以 +b 代 换，可得 厂 +（a+b）=厂（一 ）=一厂（），由 本文类型2，可得到，+2（a+b）=，（），这表明厂（）是 R上的周期函 数，且2（a+b）是它的一个周期 类型6：对于任意的实数 都有，（+a）=，（一 +b），将上式中的 以 +b 代 换，可得厂 +（a+b）=厂（一 ）=f（x），这表明，（）是R上的周期函数，且 a+b 是 它的一个周期 类型7：对于任意的实数 都有厂（+a）=一 f（一 +b），将上式中的 以 +b 代换，可得，+（a+b）=一 厂（一 ）=厂（），这表明，（）是R上的周期函数，且 a +b是它的一个周期 类

5、型8：对于任意的实数 都有厂（+口）=一，（一 +b），将上式中的 以 +b 代换可得厂 +（a+b）=一 厂（_ ）=一厂（），由 本文 类型2，可 得到，+2（a+b）=厂（），这表明厂（）是 R上的周期函 数，且2（a+b）是它的一个周期 类型9：依题意可知。将式中的 以 +a 代换，可得f（Z a+）=，（一 ），同 理可 得，f（2 6+）=，（一 ），所以f（z a+）=f（2 6+），将此式中的 以 一 2 6 代换，可 得厂（+2 a 一 2 b）=厂（），这表明，（）是 R 上的周期函数，且2（a b）是它的一个周期 类型 1 O：依题意可知，将式中的 以 +a 代换，可得f

6、（2 a+）=一，（一 ），同 理可得，f（Z b+）=一，（一 ），所以 f（z a +）=f（Z b+），将此式中的 以 一 2 b 代换，可得，（+2 a 一 2 b）=厂（），这表明 ，（）是R上的周期函数，且2（a一6）是它的 一个周期 类型 1 1：依题可知，将式中的 以 +a 代换，可得f（z a+）=，（一 ），同 理可 得，f（2 6+）=一，（一 ），所以f（z a+）=一 f（2 6+），将此式中的 以 一 2 b 代 换，可得 厂（+2 a一2 b）=一厂（），所以 厂 4（a b）=一厂 +2（ab）=，（），这表明厂（）是 R上的周期函数，且 4（a b）是它的一个

7、周期 注 类型 1 类型4，函数满足特定的函 数方程时，函数是周期函数；类型5 类型8，函数同时具有奇偶性和对称性，函数具有周 期性；类型9 类型 1 1，函数，（）具有对称 性（两个对称关系），函数具有周期性，另外，对于这一类型还可推广到三个及三个以上对 称关系时，函数仍具有周期性，有兴趣的同学 可举例验证 例 （2 0 0 1 年全国高考 2 2 题）设，（）是定义在R上的偶函数，其图象关于=1 对称，证明，（）是周期函数 证明 ，（）关于直线 =1 对称，有，（）=厂（1+1 一 ），即 ，（）=f（z ），R 又因为函数，（）在 R上是偶函数，即 厂（一 ）=，（工），R，。厂（一 ）=厂（一 +2），R 将上式中的 一 以 代换，得，（）=厂（+2），R，因此，（）是 R上的周期 函数，且2 是它的一个周期（收稿日期：2 0 0 4 0 4 0 4 J 维普资讯 http:/