立体几何最典型的平行与垂直题型归纳带答案1Word文档格式.docx

1、 AF DE；3）求异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值5如图，在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC平面 BCDE ， CDE BED 90， ABCD 2，DEBE1，AC （1）证明：DE平面 ACD ；2）求棱锥 C ABD 的体积6如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD，PAAD 2，AB 1，M 为线段 PD 的中点I）求证： BM PDII ）求直线 CM 与 PB 所成角的余弦值7如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，所有棱长都等于 2 （ 1）当点 M 是 BC 的中点时，求异面直线 AB1和 MC1所成角的余弦值；立体几何最容易

2、错的最难的平行与垂直问题汇编1如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面， ACB90， 2ACAA1，D，M 分别是棱 AA1， BC 的中点证明：1）证明：平面 AEC平面 BED 2）若 ABC120，AEEC，AB2，求点 G 到平面 AED 的距离3如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，PAPD，PAPD，ABAD， AB1，AD 2，ACCD （ 1）求证： PD 平面 PAB；平面 PAB平面 PAD ；2）若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求该四棱AD CD ACBD；（2）已知 ACD 是直角三角形， A

3、BBD ，若 E 为棱 BD 上与 D6如图，在四棱锥 AEFCB 中， AEF 为等边三角形，平面 AEF平面 EFCB，EF 2，四边形 EFCB 是高为 的等腰梯形， EFBC，O为 EF 的中点求 O 到平面 ABC 的距离1四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形， ABD CBD，ABBD ，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（ ）对A 0 B1 C 2 D 3【解答】 解：取 AC 的中点 E，连接 BE， DE， ABD CBD ， BD 在平面 ABC 上的射影在直线 BE 上， ACD 是直角三角形， ADC 90，设 AB 2，则 BE ，DE

4、 AC1，BD 2，2 2 2DE2+BE2 BD2，即 DEBE，又 BE AC，DE AC E， BE平面 ACD ，平面 ABC 平面 ACD D 在平面 ABC 上的射影为 E， B 在平面 ACD 上的射影为 E，平面 ABD 与平面 ABC 不垂直，平面 BCD 与平面 ABC 不垂直，平面 ABD 与平面 ACD 不垂直，平面 BCD 与平面 ACD 不垂直， 过A作 AFBD，垂足为 F，连接 CF，由 ABD CBD 可得 CFBD ，故而 AFC 为二面角 ABDC 的平面角， sin ABD AD ， cos ABD CF AF cos AFC AFC 90平面 ABD

5、与平面 BCD 不垂直F 分别是线段 PD、PC 的中点证明：在线段 AD 上是否存在一点 O ，使得BO平面 PAC，若存在，请指出点 O 的位置， 并证明 BO 平面 PAC；若不存在，请说明理由ABCD 为长方形，CDAB，EFCD， EF AB， EF平面 PAB （6 分）此时点 O 为线段 AD 的四等分点，满足 ，（ 8 分） 长方形 ABCD 中， BAO ADC 90 ABO ADC ， ABO+CAB DAC + CAB 90ACBO，（10 分） 又 PA底面 ABCD ，BO? 底面 ABCD ， PABO， PAACA，PA、AC? 平面 PAC四边形 ABCD 为直

6、角梯形， AD BC ， BAD，PA底面 ABCD ，且 PAAD2，ABBC1，M为PD 的中点（） 求证：（）求证：解答】 证明：（ I ）取 PA 的中点 E，连接 ME 、 BE，四边形 BCME 为平行四边形， BECM ，BE? 平面 PAB，CM?平面 PAB， CM平面 PAB；（ II ）在梯形 ABCD 中，ABBC1，AD2， BAD90 过C作 CHAD于H，ACCDAC2+CD2AD2， CDAC又 PA平面 ABCD ， CD ?平面 ABCD， CDPAPAACA，CD 平面 PAC4如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，A1在底面 ABC的射影为 B

7、C的中点， D是 B1C1 的中点，证明： A1D平面 A1BC设 E 为 BC 的中点，连接 A1E， DE，AE，由题意得 A1E平面 ABC， A1EAE AB AC， AEBC ， AE平面 A1BC由 D，E分别为 B1C1，BC的中点，得 DEB1B且 DEB1B， 从而 DE A1A 且 DEA1A，四边形 A1AED 为平行四边形， A1DAE5如图， ABC 为正三角形， AE 和 CD 都垂直于平而 ABC，F 是 BE 中点， AEAB 2，（1）求证：（2）求证：（3）求异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值【解答】取 AC中点 O，过 O作平面 ABC 的垂线交 D

8、E连结 OB，则 OGOB， OG OC， ABC 是正三角形， O 是 AC 中点， OB OC，以 O为原点， OB、OC、OG 所在直线分别为 x、y、z轴，建立空间直角坐标系，F 是 BE 中点， AEAB 2，CD1，（ ， 1， 0）， （ 0，0， 1），CD平面 ABC， （0，0，1）是平面 ABC 的一个法向量，又 DF? 平面 ABC， DF 平面 ABC2）证明： （ ）， （ 0，2，1）， 0 1+10，AFDE（3）解： （ ）， （ ，1， 0），设 AF、 BC 所成角为 ，cos异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值6如图，在四棱锥 PABCD 中，底面

9、ABCD 是矩形， PA平面 ABCD，PAAD 2，AB 1，M 为线段 PD 的中点（ I）求证：（ II ）求直线 CM 与 PB 所成角的余弦值（ I）证明：连接 BD，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ，PAAD2，AB1， PBBD M 为线段 PD 的中点，BMPD（II ）解：连接 AC，与 BD 交于 O，连接 OM，则MOPB直线 CM 与 PB 所成角的余弦值为7如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，所有棱长都等于 2（ 1）当点 M 是 BC 的中点时， 求异面直线 AB1和 MC1 所成角的余弦值； 求二面角 MAB1C 的正弦

10、值；（2）当点 M 在线段 BC 上（包括两个端点）运动时， 求直线 MC 1与平面 AB1C 所成角的正弦值的取值范围解答】 解：（1）取 AC 的中点为 O，建立空间直角坐标系 O xyz，则 ，C（ 0，1，0），当 M 是 BC 的中点时，则 ， 设异面直线 AB1 和 MC1 所成角为 ，则 ， ， ，令 x 2， ， 设二面角 M AB1 C 的平面角为 ，则所以 （ 2）当 M 在 BC 上运动时，设 设 M（x，y， z）， ， ，则 ， 设 ，设 t +1 1，2， ， ，6如图，在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC平面 BCDE ， CDE BED 90（ 1）证明： D

11、E平面 ACD ；（ 2）求棱锥 C ABD 的体积（ 1）在直角梯形 BCDE 中，DE BE 1， CD 2， BC ，又 AB2， AC ， AB2AC2+BC2，即 AC BC，又平面 ABC 平面 BCDE ，平面 ABC平面 BCDEBC，AC? 平面 ABC，AC平面 BCDE ，又 DE? 平面 BCDE，AC DE，又 DEDC，ACCDC， DE 平面 ACD ， 2ACAA1，D，M分别是棱 AA1， BC 的中点证明：1）AM平面 BDC12）DC1平面 BDC AD MN，且 AD MN；四边形 ADNM 为平行四边形，DNAM；又 DN? 平面 BDC1，AM? 平面 BDC1， AM 平面 BDC 1（ 6 分）（ 2）由已知 BCCC1，BC AC，又 CC1 AC C， BC平面 ACC1A1，又 DC1? 平面 ACC1A1， DC 1BC ；由已知得 A1DC1