关于DFT与FFT运算速度的比较Word文件下载.docx

1、4.总结 ：6 参考文献 6 0.引言离散傅里叶变换 （Discrete Fourier Transform ）,是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式， 将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（ DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散 信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。离散傅里叶变化的出现解决了信号离 散化的问题，从而使其在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通信方面得以应用。快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform），是离散

2、傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅里叶变换 的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。由于它应用的理论基础仍是离散傅 里叶变换，所以它对离散傅里叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应 用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。快速傅里叶变化最早于 1965年由Cooly和Tukey提出，这使离散傅里叶变化运算次数由 N2减少为Nlog2N次，使得离散傅里叶变换应用于实际变成现实。 目前，快速傅里叶变化技术已广泛应用于各个领域，成为数字信号处理技术的一个重要组成部分。 离散傅里叶变化除了本文介绍的基 2快速傅里叶变化算法外，他们都不同程度上减少了运算

3、次数，如戈泽尔（ Goertzel）算法、Chirp-Z变化（CZT）算法、Winograd Fast Transform Alogrithm （WFTA）等。本文将仅介绍基 2快速傅里叶变化。1. DFT与 FFT的定义DFT的定义：设h nTs是连续函数h（t）的n个抽样值n =0,1,，N _1，这N个点的宽度为 N的DFT为： 第1页共10页WNk, （n =0,1，,N _1）。（Ng丿用FFT实现DFT：先设序列点数为 N=2m，M为整数。如果不满足这个条件，可以人为地加上若干零值 点，使之达到这一要求。这种 N为2的整数幕的FFT称基2 FFT设输入序列长度为 N=2m （M为正

4、整数），将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为按时间抽取 （DIT ）的FFT算法。下面给出8点基2 FFT的运算流图:下面对两种变化的运算量进行比较。设 x（n）为N项的复数序列，由 DFT变换，任一 X（ m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法 等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算” （四次实数乘法和四次实数2加法），那么求出N项复数序列的X（ m）,即N点DFT变换大约就需要 N次运算。当N=1024点甚至更多的 时候，需要 2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期

5、性和对称性，把一个 N项序列（设N=2k,k为正 整数），分为两个N/2项的子序列，每个 N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用 N次运算把两个 N/2 点的DFT变换组合成一个 N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成 2*（ N/2 ） 2=Nf/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了 525312次，节省了大约 50%勺运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的 DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要NIogzN 次的运算，N在1024点时，运算量仅有 10240次，是先前的直接算法的 1%点数越多，运算量的节约就

6、越大，这就是FFT的优越性。图2-2比较可以发现用 DFT和FFT对同一序列变化得到的结果是完全一样的。这说明 DFT与FFT是完全等价的，而区别仅在于其具体算法。号类型无关。当信号点数较多时，对不同类型信号进行 DFT与FFT变化将花费大量时间，而上面已经验证DFT与FFTDFT与 FFT的运算C程序中计时受机器滴DFT运算时间将按N2规运算时间仅与 N有关，而与具体信号类型无关。故下面将仅对同一类型不同点数信号的 时间的比较，而这也具有一般代表性。下面将仅对不同点数正弦信号做 DFT与FFT变化，并进行运算时间比较。由于答时间限制，故对点数较小信号进行较多次数 DFT与FFT变换。而当点数

7、较多时,律增长，故对点数较多信号进行较少次数 DFT与FFT变换。各次DFT与 FFT运算时间如下诸图:黃R八诞件、课程设计參老E EimE3The time for SignalCos bp FFT uas: 0.031000 secondsThe time For 8ignalCos b* DFT10000 tines was 0.032000 secands图3-4c：: E;课件踝程设计参考DcbugText 1. eze|_iaXThe tine for SisinalCo by FFT 0.063000 secThe t ime Foi* SignalCe by DFT uas :

8、 0.156000 secondsonds 11图3-55 E八谍件课稈设计孝考UebugText K exe 冃回EThe tine for SignalCos by FFTCN=8,1000 time? : 0.016000 secondsThe tine for SisrnlCos by DFT CN-Sj.1090 t imes 8.062000 secondsil图3-6 E八课件深程设计孝考DebugText L exe B回sThe time for SignalGos by FFTCH16,100 times was: 0H04700B seconds The t ie for

9、 SignAlCos by DFT CN=16,1000 tines u&s: 0.256003 secondsi图3-7CA E注课件、課程设计参考DebugText 1. exeThe tine for S ignalCos by FFTtimes 0.1090133 secondsThe tine for 8 ignalCo bv DFT vias : 1 seconds图3-8K E: 件、課稈设计秦考DebugT&xt 1.曲eThe tine For SifrnalCos by FFT 10 tines B.0630（31* seconds The tine for SinalCo

10、s by DFKN=1024,10 tines seconds图 3-13兀E:课ft課程设计参考ebugTest 1 - exeThe time for SlgnAlCos by FFTCN-2048,10 tines 0.156080 secondsThe time for SignalCos hy DFTCN=204810 times 42.172000 seconds 图 3-14E: 件谍程设计蚩考DebugText 1- exeBThe tite for SignalCos hy FFTCN-4096,10 times 0.34400B seconds The tine for S

11、ignalCos by DFTN=499&,10 tines? 167047000 seconds图 3-15CA E:课件课程设计参考DwlragText L exelllie time for SignaICos bp FFT11=81921 tiniest was：B.07S000 secondsTJie tine Fop S ignalGos by DFT M-8192,1 t imes uas: 67-141000 seconds图 3-16小 E:课程设计#DebufText 1- exeI he tine for SignAlCos by FFTN=1&384,1 t bias

12、= 0,X56S0S secondsThe tine for SlnalCos by DFTCN=16384J time& ua& 267.485080 seconds图 3-17F面对以上数据进行整理分析。 （注：e+n表示*10-n）N变换次数Tdft/STfft/smea n（TDF/smea n（ Tfft）/sTdft/T fft理论比值100000.0320.031P 3.2e-6P 3.1e-6P 1.0340.1560.0631.56e-56.3e-62.48810000.0620.016P 6.2e-5P 1.6e-53.8752.67160.250.0472.5e-44.7e-55.32321.0160.1091.016e-31.09e-49.326.4641000.4064.06e-31.6e-425.3810.671281.7031.703e-26.3e-427.0318.292566.6090.1416.609e-2P 1.41e-3P 46.87512