二项分配与期望值数学期望值与二项分配伯努利Word下载.docx

1、實例：設阿政在籃球賽中罰球的命中率為 32 在每次罰球的結果都是獨立的情形下，求阿政 3 次罰球中恰有 2 次投中的機率。 在n次獨立的重複試驗中，恰好成功 k次的機率為 P（k） Cknpkqn k ，而此機率 Ckn pk qn k為 二項展開式： （p q）n C0n p0qn C1n p1qn C2n p2qn Cnnpnq0中的各項，因此我們稱之為二項分配的機率。為 什麼叫它為二項分配，因為它跟二項式定 理的一般項相似， 這 也是它名字的由來。範例擲一均勻的硬幣 10 次，則（1）恰出現 4 次正面的機率為 （2）10 次都是正面的機率為 （3）至少出現 2 次正面的機率為 （4）第

2、 10 次才擲出正面的機率為（5）恰在第 10 次時，擲出第 4 次正面的機率為 。Ans：類題2有一不均勻的銅板，出現正面的機率是 32 ，擲此銅板 6 次，則（1）恰出現三次正面的機率為 （2）出現奇數次正面的機率為 （3）至少出現一次反面的機率為 （4）恰在第 6次擲出第 4 次正面的機率為袋中有 6 個紅球， 4 個白球，自袋中每次取一球，取後放回，連取 5 次，（1）在第 5 次才取中第 1 個白球的機率為 。（2）已知 5 次中只取到 1 個白球，則在第 5次才取中白球的機率為 （3）已知 5次中取到 2個白球，則此2個白球是在第 1次及第 2次就取中的機率為 。袋中有 3紅球、2

3、 白球，每次由袋中任取 2球，取後放回，連取 4次，在已知 4次中每次取某人射擊命中率為 0.4，依下列條件，求其機率 ?（1）射擊 5 次恰中 3 次（2）射擊 5 次恰中 3 次，而第 5 次為射中之最後一次（3）欲使射中目標之機率達 0.99，問最少要射幾發 ? （log2=0.3010, log3=0.4771）1. 連續投擲一顆公正的骰子，試問 :（1）若擲骰子四次，則 6 點出現 2 次的機率。（2）若擲骰子四次，則第 4 次恰出現第三個 6 點的機率。（3）須連續投擲幾次，其出現 6 點的機率才可達到 75%25 5 （log2=0.3010, log3=0.4771） Ans：

4、（1） 216 （2） 432 （3）82. 有一種丟銅板的遊戲，其規則為 : 出現正面則繼續丟，出現反面就出局。那麼連續丟 5 次後 還可繼續丟的機率為 （ ）5 1 。某班有 40 名學生，每人各玩一局，設班上至少有一人連2 32續丟 5 次後還可繼續丟的機率為 p，則（1）0.4 p 0.5 （2）0.5 p 0.6 （3）0.6 p 0.7（4）0.7 p 0.8 （5）0.8 p 0.9查表知 log31=1.4914，log32 =1.5051，log2.831= 0.452 86.學測 Ans：（4）一彈珠軌道設計如右圖，彈珠可由 P, Q 兩處入口放入，彈珠在各分叉處，選擇左、

5、右道 的機率相等，請問：（1）若彈珠由 P 入口放入，則由 A、 B、 C、D、E、F，各出口出現的機率各為何？（2）某人將彈珠由 P 或 Q入口放入，結果彈珠由 C 出口 出現，則某人是由 P入口放入彈 珠的機率為何？ （選擇P或Q入口的機率相等 ）重點 二項分配的數學期望值1.數學期望值的定義一試驗的數學期望值，為此試驗的 n 種可能結果 m1,m2, ,mn ，分別乘上其發生機率p1, p2, , pn後的總和，即期望值 E= m1 p1 m2 p2 mnpn二項分配：假設有一次試驗，結果只歸納出 2種，即成功或失敗。這個我們 便稱為伯努 力試驗 （紀念Swiss 數學家 JamesBe

6、rnoulli ）。當然啦！我們也可以討 論 n 次重複試驗的情況，如果每 一次成功的機 率皆為 p，失敗的機 率皆為 1p=q，且它們每次 （前後試驗 ）都互不相影響 （如： 取球後放回 ），這樣的試驗我們稱為二項試驗。因此，二項試驗具有下 列的特徵：（1）共進行 n 次的試驗。（2）每次試驗 都互不影響。（即完全獨 立）（3）每一次試驗不是成功，就是失敗，而且成功的機 率都是相同的 p。 我們將二項試驗成功次數的機率分布情形稱為二項分配。考慮在 n 次重複試驗中，令 X 表示 n 次試驗中成功的次數 ，即 X x1 x2 xn，其中 xi 1 表示第 i 次成功；xi 0表示第 i次失敗，

7、則n次試驗中恰有 k次成功的機率是P（X k） Ckn pk qn k,k 0,1,2, ,n 二項分配的期望值與變異數：在一伯努利試驗中成功的機率為 p，失敗的機率為 q（ p+q=1）。若重複此試驗 n 次，則 n 次中成功次數的期望值 E（X）=np，變異數 Var（X）=npq說明 假設我們只能夠做一次試驗，所以在一次的試驗下，可能會有 0或 1次成功， 1次成功的 機率為 p，0 次成功機率為 q=1p。因此，一次試驗成功次數之（1）期望值=0q+1p=p； （2）變異數 2 （0 p）2q （1 p）2 p pq那麼 n次試驗中成功的次數之可能情況為 0 次、1次、2 次、n次，而

8、其相對應之機 率分布如下表：次數1k機率n 0 nC0np0qnC1n p1qn 1n k n k Ckn pkqn kn n 0Cnnpnq0則 n 次試驗中成功次數的期望值 E（X）與變異數 Var（X） （1）成功次 數的期望值為 E（X） npE（X）= 0 C0np0qn 1 C1n p1qn 1 2 C2np2qn 2 n Cnnpnq0=1 C1n p1qn 1 2 C2np2qn 2 n Cnn pnq0n1 0 n1 n1 1 n 2 n1 k1 nk n1 n1 0 =np（C0n1p0qn1 C1n 1 p1qn 2 Ckn 11pk 1qn k Cnn11pn1q0）=

9、np（p q）n 1 np直觀想法】 每一次試驗之期望值為 p作了 n 次試驗，其期望值為 np（2）成功次 數的變異數為 Var（X） npqnn證明一】 Var（X）= （k ）2P（X k） （k2 2 k 2） P（X k）k 0 k0n n nk2 P（X k） 2 k P（X k） 2 P（X k） k 0 k0 k0E（X 2） 2其中E（x2） k2 P（x k） k2 Cknpkqn k k（k 1） k Ckn pkqn ki1 k1 k 1 nnn! k n k n k n kk（k 1） p q k Ck p qk 1 k!（n k）! k 1 kn（n 1）p2 （n

10、 2）! pk 2qn kk 2 （k 2）!n2n（n 1）p2 Cin 2piq（n 2） i n（n 1）p2（p q）n 2 np n（n 1）p2 np i02 2 2 Var（X） n（n 1）p np n p np（1 p） npq直觀想法】每次都是獨立的試驗，即每次試驗成功次數之變異數均為 pq作了 n 次試驗，其變異數為 npq 標準差 = npq實例】擲一粒公正骰子 5 次，試求出現 1 點次數之期望值。【Ans】我們先想想有沒有直觀的看法，看出期望值的意義。回想一下，我們在高二時，介紹到期望值的時候，我們有談到期望值有“平均的概 念在裡面，如果我們今天把這個題目想成“丟骰

11、子5 次，平均有幾個 1 點。也就是 說，我們看平均每次丟到正面的15比例是 1，共丟了 5次，所以平均而言是 5 次。我們如何用數學去證明這個結果 66呢？E（X） 5 kCk5（1）k（5）5 k 0C05（1）0（5）5 1C15（1）1（5）4 2C25（1）2（5）3 3C35（1）3（5）2k 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 64 C45（1）4（5）1 5 C55（1）5（5）06 6 6 65（1）1（5）4 20（1）2（5）3 30 （1）3（5）2 20（1）4（5）1 5 （1）5（5）06 6 6 6 6 6 6 6 6 65（16） （65）4 4（61）1

12、（56）3 6（16）2（56）2 4（61）3（65）1 （16）45（1 5）4 5老師講解 6 學生練 習6某班每位同學投擲一均勻硬幣 16 次，設 X （1）一群命中率皆為 80%的射擊選手集訓練是每人所擲出正面的次數，求 X 的平均數與 習，若每位選手都射 100發，設 X 是每人 標準差。 所射中靶的次數 ，求 X 的平均數與標準差。（2）一群命中率皆為 60%的射擊選手集訓練 習，當第一回合練習完畢後，統計射擊結果發現，每人所射中靶的次數平均為 90發，試問在第一回合的練習中每人射擊幾 發子彈?又此群射擊選手射中靶之次數的標 準差為何 ?Ans】（1）80；4（2）150；6次數

13、的標準差為何 ?球，則白球應該是幾個 ?又此班同學取中紅球之次數的標準差為何？【 Ans】10； 2學生練老師講解 8習8老師講解 9擲一個均勻的硬幣 32 次，令 X表正面出現的次數，則 XB（ 32, 0.5 ）.設 X 的期望值為 ，標準差為 ，則（1） = 。 （2） = 。 （3）利用下表， P（ 2 X 2 ）= 類題P（ X ） = 幾何分配老師講解 10 學生練 習 10擲一公正的骰子，直到出現 6點即停止，令 袋中有 3紅球2白球，從袋中取球，每次取一X 表投擲的次數，則（1）P（X）= （2） X 的期望值E（X）= 。球，取後放回，直到取到白球才停止。令 X表取球的次數，則（1）P（X=3）= （2）E（X）= 。18 5【Ans】（1） 125 （2） 2設一試驗可重複實施 ，成功的機率為 p，失敗的機率為 （ 1