1、 【条件】:CDAB,AOB=90延长AC交BD于点E,必有BEC=BOA;tanOCD;BDAC;连接AD、BC,必有3、模型三、对角互补模型(1)全等型-90AOB=DCE=90OC平分AOBCD=CE;OD+OE=OC;证明提示:作垂直,如图2,证明CDMCEN过点C作CFOC,如图3,证明ODCFEC当DCE的一边交AO的延长线于D时(如图4): 以上三个结论:OE-OD=(2)全等型-120AOB=2DCE=120OD+OE=OC; 证明提示:可参考“全等型-90”证法一;如右下图:在OB上取一点F,使OF=OC,证明OCF为等边三角形。 (3)全等型-任意角AOB=2,DCE=18
2、0-2;CD=CE;OC平分AOB;OD+OE=2OCcos; 当DCE的一边交AO的延长线于D时(如右下图):原结论变成: ; ; 。可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。对角互补模型总结:常见初始条件:四边形对角互补,注意两点:四点共圆有直角三角形斜边中线;初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别;注意OC平分AOB时,CDE=CED=COA=COB如何引导4、模型四:角含半角模型90(1)角含半角模型90-1正方形ABCD;EAF=45EF=DF+BE;CEF的周长为正方形ABCD周长的一半;也可以这样:EF=DF+BE;EAF=45(2)角含半角模型90-2EF
3、=DF-BE;(3)角含半角模型90-3RtABC;DAE=45(如图1)若DAE旋转到ABC外部时,结论仍然成立(如图2)(4)角含半角模型90变形AHE为等腰直角三角形;证明:连接AC(方法不唯一)DAC=EAF=45,DAH=CAE,又ACB=ADB=45DAHCAE,AHEADC,AHE为等腰直角三角形模型五:倍长中线类模型(1)倍长中线类模型-1矩形ABCD;BD=BE; DF=EF;AFCF模型提取:有平行线ADBE;平行线间线段有中点DF=EF;可以构造“8”字全等ADFHEF。(2)倍长中线类模型-2平行四边形ABCD;BC=2AB;AM=DM;CEAB;EMD=3MEA辅助线
4、:有平行ABCD,有中点AM=DM,延长EM,构造AMEDMF,连接CM构造 等腰EMC,等腰MCF。(通过构造8字全等线段数量及位置关系,角的大小转化)模型六:相似三角形360旋转模型(1)相似三角形(等腰直角)360旋转模型-倍长中线法ADE、ABC均为等腰直角三角形;EF=CF;DF=BF;DFBF 辅助线:延长DF到点G,使FG=DF,连接CG、BG、BD,证明BDG为等腰直角三角形; 突破点:ABDCBG; 难点:证明BAO=BCG(2)相似三角形(等腰直角)360旋转模型-补全法构造等腰直角AEG、AHC;辅助线思路:将DF与BF转化到CG与EF。(3)任意相似直角三角形360OA
5、BODC;OAB=ODC=90BE=CE;AE=DE;AED=2ABO延长BA到G,使AG=AB,延长CD到点H使DH=CD,补全OGB、OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH,难点在转化AED。(4)任意相似直角三角形360旋转模型-倍长法延长DE至M,使ME=DE,将结论的两个条件转化为证明AMDABO,此为难点,将AMDABC继续转化为证明ABMAOD,使用两边成比例且夹角相等,此处难点在证明ABM=AOD模型七:最短路程模型(1)最短路程模型一(将军饮马类)总结:右四图为常见的轴对称类最短路程问题,最后都转化到:“两点之间,线段最短:解决;特点:动点在直线上;起点,终点固定(2
6、)最短路程模型二(点到直线类1)M为OB上一定点;P为OC上一动点;Q为OB上一动点;【问题】:求MP+PQ最小时,P、Q的位置将作Q关于OC对称点Q,转化PQ=PQ,过点M作MHOA,则MP+PQ=MP+PQMH(垂线段最短)(3)最短路程模型二(点到直线类2)A(0,4),B(-2,0),P(0,n)n为何值时,最小求解方法:x轴上取C(2,0),使sinOAC=过B作BDAC,交y轴于点E,即为所求;tanEBO=tanOAC=,即E(0,1)(4)最短路程模型三(旋转类最值模型)线段OA=4,OB=2;OB绕点O在平面内360旋转;AB的最大值,最小值分别为多少以点O为圆心,OB为半径
7、作圆,如图所示,将问题转化为“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”。最大值:OA+OB;最小值:OA-OB以点O为圆心,OB,OC为半径作圆; 点P是两圆所组成圆环内部(含边界)一点;若PA的最大值为10,则OC= 6 ;若PA的最小值为1,则OC= 3 ; 若PA的最小值为2,则PC的取值范围是 0PC2 RtOBC,OBC=30OC=2;OA=1;点P为BC上动点(可与端点重合);OBC绕点O旋转PA最大值为OA+OB=PA的最小值为如下图,圆的最小半径为O到BC垂线段长。模型八:二倍角模型在ABC中,B=2C;以BC的垂直平分线为对称轴,作点A的对称点A,连接AA、BA、CA、
8、 则BA=AA=CA(注意这个结论)此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一,不是唯一作法。模型九:相似三角形模型(1)相似三角形模型-基本型平行类:DEBC; A字型 8字型 A字型结论:(注意对应边要对应)(2)相似三角形模型-斜交型如右图,AED=ACB=90AEAB=ACAD如右图,ACE=ABC;AC2=AEAB第四个图还存在射影定理:EC=BCAC;BC2=BEBA;CE2=AEBE;(3)相似三角形模型-一线三等角型(1)图:ABC=ACE=CDE=90 (2)图:ABC=ACE=CDE=60 (3)图:ABC=ACE=CDE=45ABCCDE;ABDE=BCCD;一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。(4)相似三角形模型-圆幂定理型(2)图:PA为圆的切线;PAPB=PCPD;PA2=PCPB;以上结论均可以通过相似三角形进行证明。
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