1、它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图64。二、四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2(ab+bc+ca)长方体的体积=abc(这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)。2.正方体正方体的表面积=6a2正方体的体积=a3(这里a为正方体的棱长)。3.圆柱体圆柱体的侧面积=2Rh圆柱体的全面积=2Rh+2R2=2R(h+R)圆柱体的体积=R2h(这里R表示圆柱体底面圆的半径,h表示圆柱的高)。4.圆锥体圆锥体的侧面积=Rl圆锥体的全面积=Rl+R2母线长与高)。三、例题选讲例1 图65中的几
2、何体是一个正方体,图66是这个正方体的一个平面展开图,图67(a)、(b)、(c)也是这个正方体的平面展开图,但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来,请你给补上。分析与解:从图65和图66中可知: 与;与互相处于相对面的位置上。只要在图67(a)、(b)、(c)三个展开图中,判定谁与谁处在互为对面的位置上,则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。先看图67中的(a),仔细观察可知,1与4,3与处在互为对面的位置上。再看图67中的(b),同上,1与3,2与最后再看图67中的(c),同上,1与,2与4处在互为对面的位置上。图67(a)、(b)、(c)标有数字的空白面上的图案见图68中的(a)、
3、(b)、(c)。例2 图69中的几何体是一个长方体,四边形APQC是长方体的一个截面(即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形),P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点,请在此长方体的平面展图上,标出线段AC、CQ、QP、PA来。只要能正确画出图69中长方体的平面展开图,问题便能迎刃而解。图610中的粗实线,就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。例3 在图611中,M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点,若从M点绕圆柱体的侧面到达N,沿怎么样的路线路程最短?沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平,得出圆柱的侧面展开图,见图612,从M点绕圆柱体的侧面
4、到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线,见图612和图613。例4 图614中的几何体是一棱长为4厘米的正方体,若在它的各个面的中心位置上,各打一个直径为2厘米,深为1厘米的圆柱形的孔,求打孔后几何体的表面积是多少(=3.14)?因为正方体的棱长为2厘米,而孔深只有1厘米,所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积,等于原来正方体的表面积,再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米,底面圆的半径为1厘米。正方体的表面积为426=96(平方厘米)一个圆柱的侧面积为
5、211=6.28(平方厘米)几何体的表面积为96+6.286=133.68(平方厘米)答:(略)例5 图615是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体,求此几何体的表面积是多少?从图615中可以看出,18个小正方体一共摆了三层,第一层2个,第二层7个,因为18-7-2=9,所以第三层摆了9个。另外,上、下两个面的表面积是相同的,同样,前、后;左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米,所以上面的表面积为129=9(平方厘米)前面的表面积为128=8(平方厘米)左面的表面积为127=7(平方厘米)几何体的表面积为92+82+72=例6 图616中所示图形,是一个底面直径为
6、20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6厘米,高20厘米的一个圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米?(=3.14)因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20厘米的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度。因为圆锥形铅锤的体积为设水面下降的高度为x,则小圆柱的体积为x(202)2x=100x(立方厘米)所以有下列方程:60=100x,解此方程得:x=0.6(厘米)铅锤取出后,杯中水面下降了0.6厘米。例7横截面直径为2分米的一根圆钢,截成两段后,两段表面积
7、的和为75.36平方分米,求原来那根圆钢的体积是多少(=3.14)?根据圆柱体的体积公式,体积=底面积高。假设圆钢长为x,因为将圆钢截成两段后,两段表面积的和,等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积,所以有下面式子:2(22)x+42)2=2x+4根据题目中给出的已知条件,可得下面方程:2x+4=75.36解方程:圆钢的体积为1031.4(立方分米)(略)。例8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216的扇形,求此圆锥的体积是多少(=3.14)?要想求出圆锥的体积,就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图617。在图617中,字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高,根据弧长
8、公式:弧长=2Rn360(这里R是圆的半径,n为弧所对圆心角的度数),便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长,再利用周长公式,就可求出底面圆的半径R。另外从图617中可以看出:圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形,利用勾股定理便可求出圆锥的高h。所以 2R=12,得R=6(厘米)在直角三角形中,根据勾股定理有:102=h2+R2,即h2=102-R2 =100-36=64,h=8(厘米)例9 图618中的图形是一个正方体,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点。现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几?因为锯掉的是立方体的一个
9、角,所以HA与AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面,实际上锯掉的这个角,是以三角形AGF为底面,H为顶点的一个三棱锥,如果我们假设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a3。三棱锥的底面是直角三角形AGF,而角FAG为90,G、F又分别为AD、而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3,所以锯掉的那一角的体积为例10 图619是一个里面装有水的三棱柱封闭容器,图620是这个三棱柱的平面展开图。当以A面作为底面放在桌面上时,水高2厘米,如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上时,水面高各为多少厘米?我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积,与以梯形FJ
10、QP为底面、JI为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高,从图620可以看出,此棱柱的高JI为12厘米,梯形FJQP的下底FJ为3厘米,高QJ为2厘米。因为PTJQ是个长方形,所以QJ=PT=2厘米,而Q点是GJ的中点,PQ平行于FJ,这样可以推算出QP为FJ的一半,为1.5厘米,这一来梯形FJQP的面积为以C面为底面时,水的体积与以C(即三解形EHI)为底面,高为某数值此时水面的高度为:546=9(厘米)以B面作为底面时,原来以A面为底面时不装水的那一部分,现在应装水,原来装水的某一部分现在应空出来,下面来讨论这两份之间的数量关系。为方便起见,我们把C面适当放大成图621,在图621
11、中,因为PQ平行于FJ,PT垂直于FJ,所以JQPT是一长方图6ZI形,故JQ、PT、QG的长都是2厘米,TJ、PQ的长为1.5厘米,因为FJ长为3厘米,所以FT的长也为1.5厘米,这一来三角形FPT与PQG的形状一样,面积相等。这便说明原来以三角形PFT为底面,JI为高的装水的棱柱的体积,与现在以三角形PQG为底面,JI为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以B面为底面时,水面的高度等于PQ的长度,即水面高为1.5厘米。习题六1.图622是一个正方体,一小虫从顶点A1出发,沿正方体的表面爬到顶点C,沿什么样的路线走距离最短,(请在展开图上表示出来)?2.用厚1厘米的木板,钉成一个小信箱,从外面量
12、得这个长方体形信箱的长、宽、高如图623所示之尺寸。在信箱的前面开了一个长20厘米、宽5厘米的投信孔,问做成这个小信箱所用木材的实际面积是多少平方厘米?3.图624中的图形,是一个棱长为6厘米的正方体,切去了一个长方体(尺寸见图),求剩余几何体的表面是多少?4.圆锥形塔尖,它的侧面积是62.8平方米,侧面展开图中扇形的圆心角为288度,其底面圆的半径是4米,求塔尖的高是多少(=3.14)?5.一车工用一段长20厘米、直径为6厘米的圆钢,车一个如图625所示的零件,求这个零件的表面积是多少(=3.14)?6.长方体的体积是12立方厘米,有两个侧面的面积分别是3平方厘米和12平方厘米,另一个侧面的
13、面积是多少?7.图626中的几何体,是将长方体挖去一个圆柱体一半得到的,求图中几何体的体积是多少(=3.14)?8.一块长24分米的长方形铁皮,在它的四个角上都剪去一边长为3分米的正方形,然后将它焊成一个无盖的盒子,已知盒子的容积是486立方分米,问这块铁皮原来宽多少?9.一块方木料,横截面是正方形,这个正方形的边长为1.8分米,木料长5分米,现在要把它加工成尽可能大的圆柱体,求这块方木料的利用率是多少?(=3.14)?10.把一块长30厘米、宽20厘米、高5厘米的长方形铝锭,和一底面周长为37.68厘米、高30厘米的圆柱形铅块,熔铸成一底面圆半径为13厘米的圆锥体铝块,求这个圆锥体铝块的高是多少(=3.14)?
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