直线与平面、平面与平面的相对位置.pps

1、1第第 3 章 直线与平面、章 直线与平面、平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置 3.1 平行问题平行问题 3.1 平行问题平行问题3.1 平行问题平行问题3.2 相交问题相交问题3.3 垂直问题垂直问题3.4 综合问题分综合问题分析析23.1 3.1 平行问题平行问题3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行33.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直平面的一直平行，直条线与内条线则该线平面平行。与该PCDBA4例 1 试判断直线 AB 是否平行于平面 CDE。fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面XO5例

2、 2 过点 K 作一水平线 AB 平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO63.1.2 3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行 若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。PSEFDACB7f e d edfc a acb bm n mnr rss 结论：两平面平行XO例 3 试判断两平面是否平行8例 4 已知定平面由平行两直线 AB 和 CD 给定。试过点K 作一平面平行于已知平面。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO9例 5 试判断两平面是否平行结论：两平面平行ef e fsr s d dc a

3、 acb brPHSHXO103.2 相交问题相交问题3.2.1 积聚性法积聚性法3.2.2 辅助平面法辅助平面法11交点与交线的性质交点与交线的性质 直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。PABKDBCALKEF123.2.1 3.2.1 积聚性法积聚性法 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM13直

4、线可见性的判别b ba acc m mn k n 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性-观察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前14XOaa(b)bcedcefdfkk例 6 铅垂线 AB 与一般位置平面 CDE 相交，求交点并判别可见性。15（2 2）两平面相交）两平面相交f k 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bacc a b XOfk16平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkf

5、kXO17平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk18过过 AB 作平面作平面 P 垂直于垂直于 H 投影投影面面3.2.2 3.2.2 辅助平面法辅助平面法DECP12KBA192PH1 作题步骤：1、过 AB 作铅垂平面 P。2、求 P 平面与 CDE 的交线。3、求交线与 AB 的交点 K。XOa b bacd e edc 12 kk 20直线AB与平面 CD E相交，判别可见性。()a b bace edc d 124（）kk XO3 342 1 21以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点1 2 QV21步骤：1、过 EF

6、作正垂平面 Q。2、求 Q 平面与 ABC 的交线。3、求交线与 EF 的交点 K。f e efba acb c k k22 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法23 1、用直线平面求交与点的方法求出平面的两共有点两个K、L。baccbadd eff e PVQV21k kl l2、接连两个共有点，画出交线 KL。XO作题步骤1224利用重影点判别可见性baccballnmmnkeek3 4 ()3 4 21()1 2XO两平面相交，判别可见性25例 7 试过 K 点作一直线平行于

7、已知平面 ABC，并与直线 EF 相交。ac ba cb f e efk kXO26分析FPCABEKH 过已知点K作平面 P平行于 ABC；直线EF与平面P交于 H；连接KH，KH即为所求。27作图步骤作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点 K 作平面 KMN/ABC 平面。2、过直线 EF 作正垂平面 P。3、求平面 P 与平面KMN 的交线。4、求交线 与EF 的交点 H。5、连接 KH，KH即为所求。283.3 垂直问题垂直问题3.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直3.3.2 平面与平面垂直平面与平面垂直293.3.1 3.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂

8、直VHPAKLDCBE 几何条件几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。30 定理定理 1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO31 定理定理 2（逆）：（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXO32acacnnmfdbdbfm例 8 平面由 BDF 给定，试过定点 M 作平面的垂线。33hhhhhh

9、kkSVkkPVkkQH例 9 试过定点 K 作特殊位置平面的法线。34efemnmncaadbcdbfXO例 10 平面由两平行线 AB、CD 给定，试判断直线 MN 是否垂直于定平面。35例 11 试过点 N 作一平面，使该平面与 V 面的夹角为 60 ，与H 面的夹角为 45 。nnXO36平面的法平面的最大斜度同一投影面的线与线对夹角互角为补HPAKFDCBEf分析37直径任取NM|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnnXO作图过程383.3.2 3.3.2 两平面垂直两平面垂直 几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条

10、直线的所有平面都垂直于该平面。PAB39 反之，平面相互垂直，由于第一平面的任意一两则属个点向第二平面作的垂必于第一平面。个线属个AB两平面垂直两平面不垂直AB40ghacachkkfdbdbfgXO例 12 平面由 BDF 给定，试过定点 K 作已知平面的垂面41ghachackkbbgffdd：平面不平行。结论两XO例 13 试判断 ABC 与相交两直线 KG 和 KH 所给定的平面是否垂直。423.4 综合问题分析及解法综合问题分析及解法3.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题3.4.2 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题43 平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单

11、个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：1.分析题意 2.明确所求结果，找出解题方法 3.拟定解题步骤44例 14 已知三条直线 CD、EF 和 GH，求作一直线 AB与 CD 平行，并且与 EF、GH 均相交。cghefdcefghdXO3.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题45分析分析 所求得直线 AB 一定在平行于 CD 的平面上，且交叉直并与线 EF、GH 相交。ABCDHGEF46作图过程作图

12、过程kkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb47例 15 试过定点 A 作直线与已知直线 EF 正交。aefafeXO48分析分析EQFAK已知点过A作平面已知直与线 EF交于点 K，接连AK，AK即为所求。49作图过程作图过程2 1aefafe1 22 PVaefafe1 kk2150例 16 求点 C 到直线 AB 的距离。cabcabXO51分析分析PABCK 过 C 点作直线 AB 的垂线 CK 一定在过 C 点且并与 AB 垂直的平面 P，内过 C 点作一平面直与线 AB 垂直，求出平面该与 AB 的交点 K，最后求出垂线 CK 的即实长为所求。52作图过程作图过程c

13、abcabXOeded1212kk所求距离53例 17 求交叉直线 AB 和 CD 的公垂线。ccababXOdd3.4.1 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题54分析分析LKABDCGHEFP 一直过条线 C D作平面 P平行于另一直条线 AB，在点过A作平面 P的垂线 AH，求出垂足点 E；在平面 P上点过E作直线 EFAB直与线 C D交于点 K；点过K作直线 KL AH交 AB于 L 点，KL 即所求的公垂。为线55作图过程ccababXOddgg1122hh3434eef kklfl56本章小结本章小结1.平行问题平行问题 （1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；（2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。2.相交问题相交问题 （1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。（2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。（3）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。3.垂直问题垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。4.综合问题分析及解法综合问题分析及解法 （1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法；（2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。