1、商人过河的数学模型及编程解决演示教学商人过河的数学模型及编程解决14对商仆过河问题题目有14名商人各带一名仆人要过河,但船最多能载4人。商人已获得仆人的阴谋:在河的任意一岸,只要仆人数超过商人数,仆人会将商人杀死并窃取货物。安排如何乘船的权利权利在商人手上,试为商人制定一个安全的过河方案。一摘要n对商仆过河,一只船最多载m人,船上和岸上的仆人数都不能多于商人数,否则商人有危险。安排合理的渡河方案,保证商人能安全渡河。(可利用向量,矩阵,图解等方法)。二问题提出:有14对商仆乘船过河,一只船最多载4人,由商人和仆人自己划船渡河,在河的任意一岸,一旦仆人数多于商人数,仆人就可将商人杀死,谋取利益,
2、但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中,商人们如何安排渡河方案,才能安全渡河?三问题分析商仆安全渡河问题可以视为一个多步决策过程,多步决策是指决策过程难以一次完成,而是多步优化,最后获取一个全局最优方案的决策方法。对于每一步,即船由此岸驶向彼岸,或者船由彼岸驶向此岸的决策,不仅会影响到该过程的效果,而且还会影响到下一步的初始状态,从而对整个过程都会有影响。所以,在每一次过河时,就不能只从这一次过河本身考虑,还要把它看成是整个过河过程中的一个部分。在对船上的人员做决策时,要保证两岸的商人数不能少于仆人数,用最少的步伐是人员全部过河。应用状态向量和运载向量,找出状态随运载变化的规律,此问题就转化为状
3、态在允许范围内(即安全渡河条件),确定每一次该如何过河,从而达到渡河的目标。现在我们都把它们数量化:即用数学语言来表示。四模型假设与符号假设(一)模型假设商人和仆人都会划船,天气很好,无大风大浪,船的质量很好,船桨足够很多次的运载商人和仆人。(二)符号假设设(x,y)是状态向量,表示任一岸的商人和仆人数,且x,y分别要大于等于0,小于等于M。1.设(m,n)是运载向量,表示运载的商人数和仆人数,0=m=N,0=n=N,0=m+n =3, DoIfsi+1= =sm,u=1,Break ,m,l,i -1,2 ; Ifu= =0,ci+1=dj;Break ,j,1,5; Ift= =0,Pri
4、ntNo,Result;Break ; bi+1=3,3-si+1; Printsi,- - - -,ci+1,- - - -,bi+1; Ifsi+1= =0,0,Break ,i,1,12 程序运行结果如下: 此岸船上对岸 3,30,20,2 3,10,10,1 3,20,20,3 3,00,10,2 3,12,02,2 1,11,11,1 2,22,03,1 0,20,13,0 0,30,23,2 0,10,13,1 0,20,23,3 可以得出经过11步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河的次数尽量少的条件。这11步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的一列。渡河的整个过程如下所
5、示: 去2随从 回1随从(3商人3随从)(3商人1随从) 去2随从 回1随从(3商人2随从)(3商人0随从) 去2商人 回1商人1随从(3商人1随从)(1商人1随从) 去2商人 回1随从(2商人2随从)(0商人2随从) 去2随从 回1随从(0商人3随从)(0商人1随从) 去2随从 (0商人2随从)(渡河成功)七、结果分析与检验八、模型的优缺点与改进方向九、参考文献【1】 茆诗松等 , 概率论与数理统计教程,北京:高等教育出版社,2004年。【2】 赵静,但琦,数学建模与数学实验3,北京:高等教育出版社,2008年。十、附录(一)程序/约束条件:岸上仆人不能多于商人数#include using
6、 namespace std;struct Node int nMer; int nSer; int length;class Apublic: A(); A(); void Tspt(); /过河的动作 void doLeft(int nhead,int ntail,int nlength); private: bool islegal(int nm,int ns); /判断是否满足约束条件,满足为true Node *funTspt(int nm,int ns,bool flag);/添加STEPhead可以向后延伸的节点 bool noRepeat(int nm,int ns);/没有重
7、复返回TRUE void funshow(int a2,int ntail); bool funLeft(Node nd,int b1,int b2,int n); void show(int s,int p2,int &top,int &count,int a); int head; int tail; int n; /商仆的对数 int nB; /船最多的载人数目 Node *STEP;A:A() free(STEP);A:A() coutn; coutnB; STEP = (Node *)malloc(sizeof(Node)*10000); memset(STEP,0,sizeof(N
8、ode)*10000); head = tail = 0; STEP0.nMer = STEP0.nSer = n;int main() A a; a.Tspt(); return 0;void A:show(int s,int p2,int &top,int &count,int a) if(top = -1) return ; /已找到目标状态需,输出数据 if(top = STEPhead.length) cout* +count *endl; funshow(p,top + 1); B: top-; if(top = -1) return ;C: stop-; if(STEP(stop
9、).length != top)/退过了 stop = atop; goto B; if(funLeft(STEP(stop),ptop - 10,ptop - 11,top - 1) = false) goto C; ptop0 = STEP(stop).nMer; ptop1 = STEP(stop).nSer; show(s,p,top,count,a); return ; /在中间加入节点STEP(stop + 1) if(funLeft(STEP(stop + 1),ptop0,ptop1,top) = true)/符合条件 top+; ptop0 = STEP(stop).nMer; ptop1 = STEP(stop).nSer; show(s,p,top,count,a); return ; else /不符合条件 E: stop + 1-; if(STEP(stop + 1).length = top)/退过了,到了下一层 stop + 1 = atop + 1;D: stop-; if(STEP(stop).length != top)/退过了,到了下一层 for(int i = top; i = STEPhead.length; i+)
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