六年级数学思维训练数论综合二.doc

1、2014年六年级数学思维训练：数论综合二一、兴趣篇1有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？2已知算式（1+2+3+n）+2007的结果可表示为n（n1）个连续自然数的和请问：共有多少个满足要求的自然数n？3有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？4甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008满足上述条件的自然数有几组？5两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？6n个自然数，它们的和乘

2、以它们的平均数后得到2008请问：n最小是多少？7一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=5232，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？8将100!5分别除以2，3，4，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）这99个余数的和是多少？9小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿齐每隔6天去一次今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？10有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数这三

3、个数中最小的一个是多少？二、拓展篇（共12小题，满分0分）11一个正整数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上168，则是另一个完全平方数，则这个正整数是12已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998满足上述条件的数一共有多少组？13冬冬往一个水池里扔石子第一次扔l颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子他准备扔到水池的石子总数是106的倍数请问：冬冬最少需要扔多少次？14数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数同学们，你们知道这个数可能是多少吗？15在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，9的数都出现过，这

4、样的正整数最小是多少？16求最小的正整数n，使得2006+7n是完全平方数17请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列18有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示这样的自然数中的最大一个是多少？19有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和例如：105就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？20一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列现在设定指针第一秒

5、转动的角度为a度（a为小于360的整数），则其第二秒转动a+l度，第三秒转动a+2度如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有几种设定方法？最小可以被设成多少？21某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，12他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？22在等差数列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+l个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？三、超越篇（共8小题，满分0分）

6、23有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）24有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：33=46+9请问：不能表示成这种形式的自然数最大是多少？25在给定的圆周上有100个点任取一点标上1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，标上2；从标有2的点再往后数3个点，标上3依此类推，直至在圆周上标出100对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数请问：标有100的那个点上标出的数最小是多少？26三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏，小强与

7、小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数请问：小花所选的数是什么？27已知三个互不相等的正整数成等比数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？28是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同（至少是两位数）？如果存在，请写出一个；如果不存在，请说明理由29有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻

8、度线将它分成n等份，mn然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根求m和n30是否存在这样的自然数：在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？如果存在，请举例；如果不存在，请说明理由2014年六年级数学思维训练：数论综合二参考答案与试题解析一、兴趣篇1有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？【分析】首先从被2、3整除数的特征入手，根据被3除的余数特征分析探讨得出答案即可【解答】解：任意两数之和是2的倍数，说明这4个数要么都是2的倍数，要么

9、都不是2的倍数任意三数之和是3的倍数，分析几种假设：1、假设这四个数都是三的倍数情况可以成立；2、假设其中一个数是三的倍数这要求剩下三个数两两相加或三个相加都是3的倍数，而三个不是3倍数的数两两相加是无法得到3的倍数的数的（不是3的倍数的数与3相除得的余数只能是1和2，而1和2拿出3个来两两相加是无法都得到3的），不成立3、假设其中两个数是三的倍数同样要求剩下的两个数中任意一个或者两个相加都是3的倍数，与假设违背，不成立4、假设其中三个数是三的倍数要求剩下的一个数必须是三的倍数，同样与假设违背，不成立因此，这四个数必须都是3的倍数（其中一个可为0）列出3的倍数（含0）0、3、6、9、12、15

10、、18、21、24、27从中取出4个数，这四个数全是2的倍数：0、6、12、18从中取出4个数，这四个数不能是2的倍数：3、9、15、21很明显，0、6、12、18符合尽可能小的要求所以这四个数为0、6、12、182已知算式（1+2+3+n）+2007的结果可表示为n（n1）个连续自然数的和请问：共有多少个满足要求的自然数n？【分析】1到n是n个连续自然数的和，将2007平均分给n个数，所得的n个数仍是连续的自然数，要将2007平均分成n份，所以2007能被n整除，即n是2007的约数2007=133223，约数共有6个（1，3，9，223，669，2007）题目要求n大于1，去掉1，当n=3

11、时，原式=1+2+3+6693=670+671+672当n=9时，原式=1+2+3+9+2239=224+225+232当n=223时，原式=1+223+9223=10+11+232当n=669时，原式=1+669+3669=4+5+672当n=2007时，原式=1+2007+12007=2+3+2008【解答】解：假设这n个自然数为 k+11，k+2，k+n+n，则 （k+1+1）+（k+2）+（k+n+n）=（1+2+3+.1+2+3+n+n）+2007 得nk=2007（n，k为自然数） 因为：2007=33223所以2007的约数有3，9，223，669，2007，所以共15种情况答：

12、共有5个满足要求的自然数n3有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中，从小到大的那一组至少是41+4=45于是对45、46、47根据题意进行拆分，从而找出满足上述条件的自然数中最小的一个数，解决问题【解答】解：在所有的质数中，从小到大的那一组至少是41+4=45按题目要求分析，45有如下12种方法：45=3+42=5+40=7+38=11+34=13+32=17+28=19+26=23+22=29+16=31+14=37+8=41+4按题目要求分析，46有如下7种方法：

13、46=2+44=7+39=11+35=13+33=19+27=31+15=37+9按题目要求分析，47有如下7种方法：47=2+45=3+44=5+42=7+40=11+36=13+34=17+30=19+28=23+24=29+18=27+10=41+6=43+4因此，满足题意的最小自然数是474甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008满足上述条件的自然数有几组？【分析】可设甲、乙两个自然数分别为a、b，则：a2ab=a（ab）=2008=222251，依此可求2008的约数的个数，进一步即可求解【解答】解：设甲、乙两个自然数分别为a、b，则：a2ab=a（ab）=2008=222251

14、，2008的约数共有（3+1）（1+1）=8（个），那么满足条件的解共有82=4组答：满足上述条件的自然数有4组5两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？【分析】从最大的两位数99进行分析，得到满足条件的另外一个乘数，得到它们的和，再分析两位数98，进一步即可求解【解答】解：最大的两位数是99，99=911，另外一个乘数要含因数11，最大是411=44，和=99+44=143；还有一种情况是98=249，另外一个乘数含因数2，最大是236=72，和=98+72=170答：它们的和最大可能是1706n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008请问：n最小是多少？【分析】设

15、它们的平均数为x，则nxx=2008，即nx2=2008，由此即可得出答案【解答】解：设它们的平均数为x，则nxx=2008，即nx2=2008，因为2008=222251，所以nx2=2008=50222答：n最小是5027一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=5232，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设mn，即智慧数=m2n2=（m+n）（mn），因为m，n是正整数，因而m+n和mn就是两个自然数要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”