1、+=+=2解法二:=(+)=4=21.公因式与提公因式法分解因式的概念.把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c),作为多项式ma+mb+mc的另一个因式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解例1将下列各式分解因式:(1)3x+6;(2)7x221x;(3)8a3b212ab3c+abc(4)24x312x2+28x.分析:首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.(1)3x+6=3x+32=3(x+2);(2)7x221x=7xx7
2、x3=7x(x3);=8a2bab12b2cab+abc=ab(8a2b12b2c+c)(4)24x312x2+28x=4x(6x2+3x7)1.写出下列多项式各项的公因式.(1)ma+mb (m)(2)4kx8ky (4k)(3)5y3+20y2 (5y2)(4)a2b2ab2+ab (ab)2.把下列各式分解因式(1)8x72=8(x9)(2)a2b5ab=ab(a5)(3)4m36m2=2m2(2m3)(4)a2b5ab+9b=b(a25a+9)(5)a2+abac=(a2ab+ac)=a(ab+c)(6)2x3+4x22x=(2x34x2+2x)=2x(x22x+1)四、课后作业1.解
3、:(1)2x24x=2x(x2);(2)8m2n+2mn=2mn(4m+1);(3)a2x2yaxy2=axy(axy);(4)3x33x29x=3x(x2x3);(5)24x2y12xy2+28y3=(24x2y+12xy228y3)=4y(6x2+3xy7y2);(6)4a3b3+6a2b2ab=(4a3b36a2b+2ab)=2ab(2a2b23a+1);(7)2x212xy2+8xy3=(2x2+12xy28xy3)=2x(x+6y24y3);(8)3ma3+6ma212ma=(3ma36ma2+12ma)=3ma(a22a+4);2.利用因式分解进行计算(1)1210.13+12.1
4、0.9121.21=12.11.3+12.10.91.212.1(1.3+0.91.2)1=12.1(2)2.3413.2+0.6613.226.4=13.2(2.34+0.662)1=13.2(3)当R1=20,R2=16,R3=12,=3.14时R12+R22+R32=(R12+R22+R32)=3.14(202+162+122)=25122.2 提公因式法例1 把a(x3)+2b(x3)分解因式.这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x3)与2b(x3),每项中都含有(x3),因此可以把(x3)作为公因式提出来.a(x3)+2b(x3)=(x3)(a+2b)例2把下列各式分解因式:(1)
5、a(xy)+b(yx);(2)6(mn)312(nm)2.虽然a(xy)与b(yx)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(xy)与(yx)是互为相反数,如果把其中一个提取一个“”号,则可以出现公因式,如yx=(xy).(mn)3与(nm)2也是如此.(1)a(xy)+b(yx)=a(xy)b(xy)=(xy)(ab)(2)6(mn)312(nm)2=6(mn)312(mn)2=6(mn)312(mn)2=6(mn)2(mn2).二、做一做请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号,使等式成立:(1)2a=_(a2);(2)yx=_(xy);(3)b+a=_(a+b);(4)(ba)2=_(
6、ab)2;(5)mn=_(m+n);(6)s2+t2=_(s2t2).(1)2a=(a2);(2)yx=(xy);(3)b+a=+(a+b);(4)(ba)2=+(ab)2;(5)mn=(m+n);(6)s2+t2=(s2t2).把下列各式分解因式:(1)x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y);(2)3a(xy)(xy)=(xy)(3a1);(3)6(p+q)212(q+p)=6(p+q)212(p+q)=6(p+q)(p+q2);(4)a(m2)+b(2m)=a(m2)b(m2)=(m2)(ab);(5)2(yx)2+3(xy)=2(xy)2+3(xy)=2(xy)2+3(xy)=
7、(xy)(2x2y+3);(6)mn(mn)m(nm)2=mn(mn)m(mn)2=m(mn)n(mn)=m(mn)(2nm).补充练习把下列各式分解因式1.5(xy)3+10(yx)2=5(xy)3+10(xy)2=5(xy)2(xy)+2=5(xy)2(xy+2);2. m(ab)n(ba)=m(ab)+n(ab)=(ab)(m+n);3. m(mn)+n(nm)=m(mn)n(mn)=(mn)(mn)=(mn)2;4. m(mn)(pq)n(nm)(pq)= m(mn)(pq)+n(mn)(pq)=(mn)(pq)(m +n);5.(ba)2+a(ab)+b(ba)=(ba)2a(ba)
8、+b(ba)=(ba)(ba)a+b=(ba)(baa+b)=(ba)(2b2a)=2(ba)(ba)=2(ba)22.3运用公式法(一)1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解,提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式.1.请看乘法公式(a+b)(ab)=a2b2 (1)左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是a2b2=(a+b)(ab) (2)左边是一个多项式,右边是整式的乘积.利用平方差公式进行的因式分解.第(1)个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式,第(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
9、2.公式讲解观察式子a2b2,找出它的特点.答:是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.如x216=(x)242=(x+4)(x4).9 m 24n2=(3 m )2(2n)2=(3 m +2n)(3 m 2n)3.例题讲解例1把下列各式分解因式:(1)2516x2;(2)9a2b2.(1)2516x2=52(4x)2=(5+4x)(54x);(2)9a2b2=(3a)2(b)2=(3a+b)(3ab).(1)9(m+n)2(mn)2;(2)2x38x.(1)9(m
10、+n)2(mn)2=3(m +n)2(mn)2=3(m +n)+(mn)3(m +n)(mn)=(3 m +3n+ mn)(3 m +3nm +n)=(4 m +2n)(2 m +4n)=4(2 m +n)(m +2n)(2)2x38x=2x(x24)=2x(x+2)(x2) 说明:例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,例2的(2)是先提公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.1.判断正误(1
11、)x2+y2=(x+y)(xy); (2)x2y2=(x+y)(xy); ()(3)x2+y2=(x+y)(xy); (4)x2y2=(x+y)(xy). (1)a2b2m2=(ab)2m 2=(ab+ m)(abm);(2)(ma)2(n+b)2=(ma)+(n+b)(ma)(n+b)=(ma+n+b)(manb);(3)x2(a+bc)2=x+(a+bc)x(a+bc)=(x+a+bc)(xab+c);(4)16x4+81y4=(9y2)2(4x2)2=(9y2+4x2)(9y24x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y2x)3.解:S剩余=a24b2.当a=3.6,b=0.8时,S剩余=3.6240.82=3.621.62=5.22=10.4(cm2)剩余部分的面积为10.4 cm2. 1.解:(1)a281=(a+9)(a9);(2)36x2=(6+x)(6x);(3)116b2=1(4b)2=(1+4b)(14b);(4)m 29n2=(m +3n)(m3n);(5)0.25q2121p2=(0.5q+11p)(0.5q11p);(6)169x24y2=(13x+2y)(13x2y);(7)9a2p2b2q2=(3ap+bq)(3apbq);(8)a2x2y2=(a+xy)(axy);2.解:(1)(m+n)2n2=(m +n+n)(m
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