实验5抽样定理Word文件下载.docx

1、2;f=sin（2*pi*f0*t）+1/3*sin（6*pi*f0*t）;subplot（4,1,1）;plot（t,f）;axis（min（t）,max（t）,1.1*min（f）,1.1*max（f）;title（原连续信号和抽样信号）;for i=1:3; fs=i*fm;Ts=1/fs; n=-2:Ts: f=sin（2*pi*f0*n）+1/3*sin（6*pi*f0*n）; subplot（4,1,i+1）;stem（n,f,filled axis（min（n）,max（n）,1.1*min（f）,1.1*max（f）;end程序运行结果如图5-1所示。图5-1（2）连续信号和抽

2、样信号的频谱由理论分析可知，信号的频谱图可以很直观地反映出抽样信号能否恢复原模拟信号。因此，我们对上述三种情况下的时域信号求幅度谱，来进一步分析和验证时域抽样定理。例5-2 编程求解例5-1中连续信号及其三种抽样频率（Fs2fm）下的抽样信号的幅度谱。N=length（t）;wm=2*pi*fm;k=0:N-1;w1=k*wm/N;F1=f*exp（-j*t*w1）*dt;plot（w1/（2*pi）,abs（F1）;axis（0,max（4*fm）,1.1*min（abs（F1）,1.1*max（abs（F1）; if i=2 c=0;else c=1; fs=（i+c）*fm; N=len

3、gth（n）; wm=2*pi*fs; k=0: w=k*wm/N; F=f*exp（-j*n*w）*Ts;plot（w/（2*pi）,abs（F）; axis（0,max（4*fm）,1.1*min（abs（F）,1.1*max（abs（F）;程序运行结果如图5-2所示。由图可见，当满足Fs2fm条件时，抽样信号的频谱没有混叠现象；当不满足Fs2fm条件时，抽样信号的频谱发生了混叠，即图5-2的第二行Fs2fm的频谱图，在fm=5f0的范围内，频谱出现了镜像对称的部分。图5-2（3）由内插公式重建信号信号重建一般采用两种方法：一是用时域信号与理想滤波器系统的单位冲激响应进行卷积积分；二是用低

4、通滤波器对信号进行滤波。本实验只讨论第一种方法。由理论分析可知，理想低通滤波器的单位冲激响应为抽样信号通过滤波器输出，其结果应为与h（t）的卷积积分：该式称为内插公式。由式可见，xa（t）信号可以由其抽样值xa（nT）及内插函数重构。MATLAB中提供了sinc函数，可以很方便地使用内插公式。例5-3 用上面推导出的内插公式重建例5-1给定的信号。dt=0.01;t=0:3*T0;x=sin（2*pi*f0*t）+1/3*sin（6*pi*f0*t）;plot（t,x）;axis（min（t）,max（t）,1.1*min（x）,1.1*max（x）;用时域卷积重建抽样信号 n=0:（3*T0

5、）/Ts; t1=0: x1=sin（2*pi*f0*n/fs）+1/3*sin（6*pi*f0*n/fs）; T_N=ones（length（n）,1）*t1-n*Ts*ones（1,length（t1）; xa=x1*sinc（fs*pi*T_N）;plot（t1,xa）; axis（min（t1）,max（t1）,1.1*min（xa）,1.1*max（xa）;程序运行结果如图5-3所示：图5-32、频域抽样与信号恢复（1）频域抽样定理从理论学习可知，在单位圆上对任意序列的Z变换等间隔采样N点得到：k=0,1,N-1该式实现了序列在频域的抽样。那么由频域的抽样得到的频谱的序列能否不失真地

6、恢复原时域信号呢？由理论学习又知，频域抽样定理由下列公式表述：表明对一个频谱采样后经IDFT生成的周期序列是原非周期序列x（n）的周期延拓序列，其时域周期等于频域抽样点数N。假定有限长序列x（n）的长度为M，频域抽样点数为N，原时域信号不失真地由频域抽样恢复的条件如下： 如果x（n）不是有限长序列，则必然造成混叠现象，产生误差； 如果x（n）是有限长序列，且频域抽样点数N小于序列长度M（即NM），则x（n）以N为周期进行延拓也将造成混叠，从中不能无失真地恢复出原信号x（n）。 如果x（n）是有限长序列，且频域抽样点数N大于或等于序列长度M（即NM），则从中能无失真地恢复出原信号x（n），即（2

7、）从频谱抽样恢复离散时间序列例5-4 已知一个时间序列的频谱为用IFFT计算并求出其时间序列x（n），并绘图显示时间序列。分析：该题使用了数字频率，没有给出采样周期，则默认Ts=1S,另外，从的解析式可以直接看出时域序列xn=3,2,1,2,3。但为说明问题，仍编写程序求解如下：Ts=1;N0=3,5,10;for r=1: N=N0（r）; D=2*pi/（Ts*N）; kn=floor（-（N-1）/2:-1/2）; kp=floor（0:（N-1）/2）; w=kp,kn*D; X=3+2*exp（-j*w）+1*exp（-j*2*w）+2*exp（-j*3*w）+3*exp（-j*4*

8、w）; x=ifft（X,N） subplot（1,3,r）;stem（n*Ts,abs（x）; box程序运行结果如图5-4所示：图5-4注意：程序中数字频率的排序进行了处理，这是因为的排列顺序是从0开始，而不是从-（N-1）/2开始。程序运行后将显示数据：x=5.0000 5.0000 1.0000x=3.0000 2.0000 1.0000 2.0000 3.0000x=3.0000 - 0.0000i 2.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 2.0000 + 0.0000i 3.0000 - 0.0000 -0.0000 + 0.0000i 0 - 0.00

9、00i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i由的频谱表达式可知，有限长时间序列x（n）的长度M=5，现分别取频域抽样点数为N=3,5,10，由图5-4显示的结果可以验证： 当N=5和N=10时，NM，能够不失真地恢复出原信号x（n）； 当N=3时，NM，时间序列有泄漏，形成了混叠，不能无失真地恢复出原信号x（n）。混叠的原因是上一周期的后2点与本周期的前两点发生重叠，如下所示：3 2 1 2 3 例5-5 已知一个频率范围在-62.8,62.8rad/s间的频谱，用IFFT计算并求出时间序列x（n），用图形显示时间序列。 分析

10、：本题给出了模拟频率，其中m=62.8，需将其归一化为数字频率。根据奈奎斯特定理可知，（1/Ts）=Fs（2m/2）,可以推导出Ts（/m）,取Ts=0.05s，即采样频率Fs为20Hz或40。wm=62.8;Ts=pi/wm;N0=8,20;2 k=0:N-1+eps; omg=k*D; X=sin（0.275*omg）./sin（0.025*omg）; x=abs（ifft（X,N）; subplot（1,2,r）; 程序运行结果如图5-5所示：图5-5 由N=20的结果可知，时间序列x（n）是一个矩形窗。根据DFT的循环移位性质可知，非零数据存在于n=-5:5的区域，有限长序列的长度为1

11、1。而N=8小于有限长序列的长度，其结果发生了混叠，不能无失真地恢复出原信号x（n）。 3、从频谱恢复连续时间信号 实际应用中，离散信号往往来源于对连续信号的采样，因此，这里要讨论从频谱如何计算连续时间信号。 从本质上讲，计算机处理的都是离散信号。当使用计算机处理连续信号时，实际上是用采样周期极小的序列信号来近似为连续信号。因此在处理时，原来对于离散序列处理的理论依然有效。 （1）选择一个符合奈奎斯特定理的很小的采样周期T，将主要的模拟频谱限制在奈奎斯特频率范围内，；（2）在的频率区间取N个频率点k，求出对应的数字频谱： （3）对坐IDFT，求xa（t）。假定没有发生时间混叠，则 （4）作图。

12、用plot自动进行插值，获得连续信号。 例5-6 已知图5-6所示的理想低通滤波器的模拟频率c=3，在|c范围内幅度为1，|c时幅度为0。要求计算连续脉冲响应xa（t）。图5-6由奈奎斯特定理可知采样频率s2c,即采样周期Ts/c恢复原信号时不会发生混叠。选的再小一些可以增加样点数，因此可以选Ts=0.1/c=0.1047s。同时，为使时间信号尽量接近连续信号，需提高N点的个数。可以由模拟频率的分辨率公式推导：D=2/NTs0.1c，使频率分辨率小于有效带宽的1/10，得到：N20/cTs 程序清单如下：wc=3;Tmax=0.1*pi/wc;Ts=input（TsNmin）N=D=2*pi/（Ts*N）;M=floor（wc/D）;Xa=ones（1,M+1）,zeros（1,N-2*M-1）,ones（1,M）;n=-（N-1）/2:（N-1）/2;xa=abs（fftshift（ifft（Xa/Ts）