1、稳定性三角形具有稳定性,四边形没有稳定性a三角形的中位线定义连结三角形两边_的线段叫做三角形的中位线.性质三角形的中位线_第三边,并且等于第三边的_3.与三角形有关的角定理三角形三个内角的和等于_推论直角三角形的两个锐角_三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的_4.全等三角形的性质与判定全等三角形的对应边_,对应角_判定判定1:三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”);判定2:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”);判定3:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”);判定4:两角和其中一个角的对边分别相等的两个
2、三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”);判定5:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)基本方法1.分析问题思考方法:(1)顺推分析:从已知条件出发,运用相应的定理,联合几个已知条件加以发展,一步一步地去靠近欲证目标;(2)逆推分析:从欲证结论入手,分析达到欲证的可能途径,逐步沟通它与已知条件的联系,从而找到证明方法;(3)顺推分析与逆推分析相结合;(4)联想分析:对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目,分析它们之间的相同点与不同点,尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中,从而找到它的解法2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法,无论用
3、哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题,因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁1(2017舟山)长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是()A4 B5 C6 D92(2017衢州)如图,直线ABCD,A70,C40,则E等于()A30 B40 C60 D703(2016丽水)如图,在ABC中,A63,直线MNBC,且分别与AB,AC相交于点D,E,若AEN133,则B的度数为_4(2017温州)如图,在五边形ABCDE中,BCDEDC90,BCED,ACAD.(1)求证:ABCAED;(2)当B140时,求BAE的度数【问题】如图,在ABC中,点D是
4、边BC上一点,作射线AD.(1)若点D是BC的中点,你能得到什么结论?若AD是BAC的角平分线呢?(2)在线段AD及其延长线上分别取点E、F,DEDF,连结CE、BF.添加一个条件,使得BDFCDE,并加以证明你添加的条件是_(不添加辅助线)【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理中线、高、角平分线,以及三角形全等的判定,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件类型一三角形的三边关系(2017金华)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是()A2,3,4 B5,7,7 C5,6,12 D6,8,10【解后感悟】三角形的
5、三边关系定理:任意两边之和大于第三边只要满足两短边的和大于最长的边,就可以构成三角形1(1)(2016杭州市下城区模拟)已知ABC的三边长都是整数,且AB2,BC6,则ABC的周长可能是()A12 B14 C16 D17(2) (2016义乌模拟)如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限),不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7,且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为()A6 B7 C8 D9(3)小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x千米远,则x的值应满足(
6、)Ax3 Bx7 Cx3或x7 D3x7类型二三角形的内角、外角的性质衢州模拟)如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,直线m为ABC的角平分线,l与m相交于P点若BAC60,ACP24,则ABP的度数为()A24 B30 C32 D36【解后感悟】本题是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理的运用,熟记各性质并列出关于ABP的方程是解题的关键2(1)(2017宁波模拟)已知:ABC的三个内角满足A2B3C,则ABC是_三角形(填“锐角”、“直角”、“钝角”)(2) (2017舟山模拟)将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放如果
7、332,那么12_度3将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分DCE交DE于点F.CFAB;(2)求DFC的度数类型三三角形的角平分线、中线和高如图,在ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高,B30,C80,BE2,AF3,填空:(1)AB_(2)BAD_(3)DAF_(4)SAEC_【解后感悟】理解三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理揭示三线构建图形之间的联系4(1)(2015长沙)如图,过ABC的顶点A作BC边上的高,以下作法正确的是()(2)(2015绵阳)如图,在ABC中,B、C的平分线BE,CD相交于点F,ABC42,A60,则BFC()A118 B119 C
8、120 D1215(2015广州)如图,四边形ABCD中,A90,AB3,AD3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为_6ABC中,ADBC,AE平分BAC交BC于点E.(1)B30,C70,求EAD的大小;(2)若BC,则2EAD与CB是否相等?若相等,请说明理由类型四三角形全等的判定的运用如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得ABDE,ACDF,BFEC.ABCDEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由【解后感悟】解题的关键是正确寻找证明三角形全等的条件,联
9、想平行线的判定方法7(2017温州模拟)在梯形ABCD中,ADBC,连结AC,且ACBC,在对角线AC上取点E,使CEAD,连结BE.DACECB;(2)若CA平分BCD,且AD3,求BE的长8(2017桂林模拟)如图,在ABC中,ABCB,ABC90,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BEBD,连结AE、DE、DC.ABECBD;(2)若CAE30,求BDC的度数类型五三角形全等的性质的运用如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DFBE.CECF;(2)若点G在AD上,且GCE45,则GEBEGD成立吗?为什么?【解后感悟】证两条线段相等往往转化为证明这两条
10、线段所在三角形全等,在第二问中通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立9如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果PQONMO,则只需测出其长度的线段是()APO BPQ CMO DMQ10如图,点D、E分别在AB、AC上(1)已知:BDCE,CDBE,求证:ABAC;(2)分别将“BDCE”记为,“CDBE”记为,“ABAC”记为.添加条件、,以为结论构成命题1;添加条件、,以为结论构成命题2.命题1是_命题,命题2是_命题(填“真”或“假”)【反思研究题】(2017义乌模拟)已知ABC中,ABAC,BC6.点P从点B出发沿射线BA移动,同时点Q从点C出发沿线段
11、AC的延长线移动,点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图1,过点P作PFAQ交BC于点F,求证:PDFQDC;(2)如图2,当点P为AB的中点时,求CD的长;(3)如图3,过点P作PEBC于点E,在点P从点B向点A移动的过程中,线段DE的长度是否保持不变?若保持不变,请求出DE的长度,若改变,请说明理由【方法与对策】运用全等三角形的判定与性质等,注意对比信息,尝试着用前一题的结论与方法去完成下一题,该题型是中考热点题型之一【忽视全等三角形判定中边、角位置性】ABAC,D、E分别在AB、AC上,连结CD、BE,且CDBE,判断ADC和AEB是否相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由参考答案【考点概要】1首尾顺次锐直钝等边2.锐角直角顶点 一点相等一点
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