Γ分布函数Word下载.docx

1、（2） 电算实践表明：一些特殊问题的计算中，需要程序参与计算的各个变量（含常数）都按双精度（16位有效数字）或高精度（任意指定精度）运行，而计算（）和ln（）的各种逼近算法公式15最多只能求得10至12位有效数字，这样即使应用双精度计算P（,x），最多也只能达到与（）或ln（）同样的精度，并且有时会加速计算过程的误差传播和积累，从而导致死循环、迭代过程不收敛、计算结果失真等不良的现象。要解决这些问题，可以将（）和ln（）算法公式中的系数扩充4，7，但文4中的系数较为冗长。由于应用式（1）解决实际问题的计算时，通常只能应用各种逼近算法的近似公式114计算其中的ln（），所以上述式（1）还不是精确

2、的解析表达式，不能使求解的精度和算法程序实现达到统一。 通过对文1中有关公式进行恒等变换，找到了满足上述要求的精确解析式，把它归纳为收敛的幂级数展式和连分式展式的数值计算，并设计成一标准的子程序，已大量地应用于实际工程的数值计算中，取得了满意的效果。 综上可知，提高式（1）的计算精度，简化编程手续，出路在于建立具有统一算法基础的（）和ln（）精确解析式，寻求分布函数算法新解，以取代现行（）、ln（）和分布函数算法公式的精度和算法程序的不统一性，这无疑会有理论价值和实用意义。1 数学原理1.1 特殊函数定义 根据文1，8，9，下列含参变量的定积分式分别称为函数、不完全函数、普利姆函数、分布函数、

3、余分布函数，它们是数学里的特殊函数，都为高等超越函数。前两个是最基本的特殊函数，第一个也被称为完全函数，第三个是另一不完全函数，并有如下恒等式（）=（,x）+（,x）（3）P（,x）+Q（,x）=1（4）1.2 不完全函数的级数展式和连分式展式 根据文1中的式（14）与式（22），可得（,x）=xe-xS（,x）（5）（,x）=xe-xU（,x）（6）式中S（,x）和U（,x）分别为一无限幂级数展式和连分式展式，且有（7）（8）式（8）中右边式子的分母是一无限连分式的一种简记法1，8。2 （）和ln（）的算法新解2.1 ln（）的双精度算法 计算ln（）的斯特林公式的渐近表达式为1，8，10（

4、9）为了使ln（）的计算得到双精度的数值结果，将式（9）和号部分取其前10项，并加整理得（10）式（9）和式（10）中的A为1当7时当07时，取m=+7-，求出A后将m+1赋值于上述两式右边表达式中的变量，而左边ln（）中的保持不变（仍为原值），这里的为取整符号。 B2n为第2n个伯努力数，Cn与斯特林级数的项数和伯努力数B2（n+1）有关，系数Cn的取值见文7中的表1.应用恒等式（）=eln（），又可得到计算（）的双精度算法公式。 文4中计算（）和ln（）的双精度算法，其算法过程和有关系数的取值都显冗长。2.2 （）和ln（）新算法的精确解析式 式（9）是一渐近级数，而不是收敛级数，式（10

5、）也只能得到双精度数值结果的近似式，它们都不是精确解析式。要得到（）和ln（）新算法的精确解析式，可从恒等式（3）入手。 因为式（3）为一恒等式，所以对任意的x0都成立。通过大量的数值实验分析发现，当式（3）中的x取值+1时，并用式（7）和式（8）计算其中的级数展式和连分式展式，则具有很好的收敛性和数值稳定性，还能保证计算结果的可靠性。将x=+1代入式（3），并由式（5）和式（6），可得（）=（,+1）+（,+1）=（+1）e-（+1）S（,+1）+U（,+1）=eln（+1）-（+1）S（,+1）+U（,+1）（11）对式（11）两边取自然对数，可得ln（）=ln（+1）-（+1）+lnS（

6、,+1）+U（,+1）（12） 上述式（11）和（12）就是分别求解（）与ln（）的一种新算法的精确解析式，其中S（,+1）和U（，+1）的值是分别将x=+1代入式（7）和式（8）中的x计算而得，具体的计算表达式这里从略。3 分布函数算法新解 以上已导出求解（）和ln（）新算法的精确解析式，可通过式（11）和式（12）以及式（7）和式（8）的计算而得，将所求的ln（）代入引言部分中的式（2），再代入式（1）后，就可得到计算分布函数P（,x）的一种新算法的精确解析式。 当较大时，则分布P（,x）渐近于标准化正态分布N（0，1）=（u）；当+时，则分布P（,x）就转化为标准化正态分布（u）.标准化

7、正态分布函数的表达式为（13）令x=u2/2，通过变量代换并加整理得（14） 从式（14）可看出：标准化正态分布函数（u）也可用分布函数的表达式表示，其式中P（0.5，0.5u2）就是取=0.5，x=0.5u2，代入分布函数P（,x）的表达式而得，sgn（u）为u的符号函数。 因此，当较大时，分布函数也可用式（14）作近似计算；对于+时的P（,x）和标准化正态分布函数（u）完全可以用式（14）作精确的计算；当为正整数时，P（,x）具有初等函数解析表达式1。有关分布函数截断误差的估计和收敛速度的论述可见文1中的4.5与4.6. 当很大时，则计算P（,x）的级数和连分式展式的收敛速度都变慢，且越大

8、，收敛速度就越慢，特别是在x+1时，收敛速度也就更慢，为了加快计算速度，可根据P（,x）（u）的关系，用式（14）计算P（,x）的近似值，其中u用以下两式计算15（15）或（16） 式（15）和式（16）根据文1113中的2分布与N（0，1）分布的近似关系，再转化成分布与N（0，1）的近似关系7，12，然后反推而得。在多数情况下，应用式（16）比用式（15）代入式（14）求P（,x）近似值的效果更佳，且越大，P（,x）就越接近于（u），在此种情况下求解P（,x）的计算表达式，也见文15。 综上可知，本文所介绍的5个特殊函数都可用新算法的解析式来表示，而计算P（,x）的关键是需要计算出当固定时，

9、不同x的式（7）和式（8）的级数展式和连分式展式的数值。因此，可以根据所用程序设计语言的特点，将式（7）和式（8）的算法设计成标准子程序（或过程），供解题时方便地调用。对于式（7）和式（8）两式的详细推导过程和算法设计可分别参考文1，25，8，13，14。4 数值实验分析与算法应用4.1 数值实验 应用所介绍的新算法对（）、ln（）、P（,x）等特殊函数进行数值计算，计算程序全按双精度运行，并将计算结果与文26中的全部算例和有关数表进行比较，部分结果见表1和表2.表1 （）与ln（）数值计算比较计算方法=0.5=1.5（）ln（）真值1.7724538509055160.57236494292

10、470010.8862269254527580-0.1207822376352452文4双精度-0.1207822376352453本文双精度1.7724538509055170.57236494292470040.8862269254527582-0.1207822376352450新算法注：（0.5）和（1.5）的精确解析表达式是和，用新算法计算时，程序中的控制精度取绝对误差限10-18。表2 分布函数P（,x）数值计算比较=0.1，x=0.031623=1,x=5=11,x=16.58312=41,x=44.82187文献20.7420260.9932620.9404270.735970

11、双精度算法0.74202683854592240.99326205300091460.94042661904770250.7359709330145240.7420268385459223 注：文献2的控制精度取310-7 ，新算法的控制精度取10-17。 ln（）双精度算法公式为有限项的近似解析式，ln（）新算法公式为无限项的精确解析式。因此，可以肯定在计算精度相同的条件下，一般后者比前者的计算速度稍慢一些，分布函数P（,x）的计算也是如此。以下表3仅列出应用两种算法计算文6中P型分布曲线p（或Kp）值表计算时间的比较结果。表3 p（或Kp）值表两种算法的计算时间比较计算项目控制精度：10-9 ,10-610-16,10-13p值表000019000020000038000039Kp值表000037000113000114为P（,tp）的控制精度，为tp迭代计算的控制精度，关于p值的计算方法和本表的一些计算条件，可参考文5，7，本表的计算时间是用奔腾（300MHz）计算机重新计算时而统计的。4.2 数值结果分析