自考数量方法思维导图第4章PPT文件格式下载.pptx

1、因此，对于任意随机实验，都可用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果。基于此，我们可以给出随机变量的定义。设一个随机实验的样本空间为，若对中的任一样本点w，都有唯一实数X（w）与之对应，则称X（w）为一随机变量。取值带有随机性，但取值具有概率规律的变量称为随机变量。例如4.1 抛一枚均匀硬币，试验的样本空间中有两个样本点，分别为“出现正面”和“出现反面”。可定义随机变量如下：例4.2 从一批产品中随机抽取一个，该实验的样本空间中有两个样本点：“抽到合格品”和“抽到次品”。于是可定义随机变量 按取值类型的不同，随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。x 800 900 1000 p 0

2、.2 0.5 0.3 【思考】假设某商品在市场上的价格X（单位：元）为一随机变量，其概率分布为：你认为这种商品的平均市场价格应如何度量比较合理？若某消费者某一天打算购买该商品，则他的预期花费会是多少？设离散型随机变量X具有分布律P（X=x）=P，=1,2，则它的数学期望或均值定义为 根据数学期望的定义，可知前述思考题中商品的平均价格的合理度量应为 该数值也即为任一消费者购买该商品时的预期消费。随机变量的方差用以度量随机变量的离散程度。设离散型随机变量X的分布律为P（X=xi）=Pi,i=1,2,且数学期望为 D（X）=E（X-E（X）2=（4.3）随机变量的方差有时也记为2。方差的算术平方根

3、或称为标准差。我们称上述方差定义式中的X-E（X）为随机变量X与它的期望的离差。因此，方差就是离差平方的数学期望和均值。由此可知，方差D（X）小则说明随机变量X的分布比较集中，D（X）大则说明X的分布比较分散。当随机变量X代表某项指标时，房差则是对该指标稳定程度的一个度量。4.2.2.2 离散型随机变量的方差 另外，对上述定义做简单变形，可以得到离散型随机变量方差的另一个常用计算公式，即 （4.4）4.2.3 常用的离散型随机变量的概率分布4.2.3.1 两点分布 设随机变量X只可能取0和1两个值，且其分布律为 P（X=K）=PK（1-P）1-K （K=0，1）若X服从两点分布B（1，P），则

4、其数学期望和方差分别为 E（X）=P,D（X）=P（1-P）4.2.3.2 二项分布 在给出二项分布的定义之前，先来认识伯努利实验。若一个随机实验只有两个可能的结果A或 ，且有 P（A）=P,P（）=1-P则该实验称为伯努利实验。若将上述实验独立地进行n次，则称这一系列重复的独立试验为一个n重伯努利实验。在实际应用中，n重伯努利实验非常普遍。例如：从一大批产品中独立地抽n件产品，检验它们是否合格。其中P为一个固定常数，且满足0P1，则称X服从参数为P的两点分布或（0-1）分布，记为XB（1，P）。若令X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的所有可能的取值为0,1,2，n，且X取值为k的概

5、率为 （4.6）若记1-p=q，则上式中CPK（1-p）n-k=CPKpn-q恰好为二项式（p+q）n的展开式中包含pkqn-k的项，因此称随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为XB（n，p）。易知，当n=1时，二项分布退化为两点分布。若X服从二项分布B（n，p），则其数学期望和方差分别为E（X）=np，D（X）=np（1-p）从民众中独立抽取n人，调查其是否同意某一观点。这20件产品中恰有0件、10件、15件、20件合格品的概率分别为多少？20件产品中的合格品的平均件数和方差分别为多少？解：我们把抽取一件产品作为一次实验，由于是有放回抽样，所以这20次实验是相互独立的，从而知这是一个20

6、重伯努利实验。令X代表这20件产品中合格品的数目，则有XB（20，0.8），且其分布律为 PX=k=c0.8k（1-0.8）n-k，k=0,1,2，20现把k=0,10,15,20分别带入到上式中，则可得20件产品中恰有0件、10件、15件、20件合格品的概率分别为：PX=0=C0.80（1-0.8）20-01.05X10-14。PX=10=C0.810（1-0.8）20-100.002。PX=15=C0.815（1-0.8）20-150.175。PX=20=C0.820（1-0.8）20-200.012.20件产品中合格品的平均件数和方差分别为 E（X）=np=20 x0.8=16，D（X）

7、=np（1-p）=20 x0.8x0.2=3.2【例4.3】已知一批产品的合格率为80%，现从这批产品中有放回地随机抽查20件，则：4.2.3.3 泊松分布泊松分布若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为 （4.7）则称X服从参数为 的泊松分布，记为XP（）.泊松分布常用于描述指定时间内某一事件发生次数的分布，例如：某医院一天内急诊病人数的分布。某段时间内电话总机接到的用户呼叫次数的分布。上午7点至9点通过某交通路口的车辆数的分布。若X服从泊松分布p（），则其数学期望和方差分别为E（X）=D（X）=先来看下面的例子：顾客到商店购买10kg大米，由于存在称重误差，售货员为顾客称出大米的实际重量

8、并非严格等于 10kg，而是一个随机变量。某食盐包装车间包装标准重量为500g的食盐，但包装机包装出来的每袋食盐的重量并不精确等于500g而是一个随机变量。某地区明天的降水量并非确定的值，应为一个随机变量。可以看出，上述几个问题中的随机变量的取值均不能像离散型随机变量的取值一样可以被一一列举出来，而且对于此类问题，人们往往较少关心随机变量确切等于某个值的概率，而4.3 连续型随机变量4.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数4.3.1.1 连续型随机变量 更多关心的是随机变量落在某个范围内的概率。比如，在上面的三个例子中，人们通常会关心：售货员为顾客称出的大米的重量X落在10-c kg和10+

9、c kg食盐包装机所包装的食盐重量X满足500-cX500+c的概率，其中c为某个确定的较小的值，如0.05、0.01等。地区明天的降水量X：大于某个数值a的概率P（Xa）不大于某个数值b的概率P（Xb）；介于两个数值c和d之间的概率P（cXd）。这里的a,b,c,d均为某个确定的数值。类似于上述问题中的随机变量就是连续型随机变量。连续型随机变量和离散型随机变量的一个显著区别在于，它的取值无法被一一列出。对于连续型随机变量X，设x为任一实数，则称 F（x）=P（Xx）（4.8）为随机变量X的分布函数由上述定义可知，分布函数F（x）在x处的取值，就是随机变量X的取值落在区间（-，x 的概率。由此

10、亦可推知：对于确定的常数x，随机变量X的取值落在区间（x，+）的概率应为 P（Xx）=1-p（Xx）=1-F（x）对于两个确定的常数x1和x2（x1x2），随机变量X的取值落在区间（x1，x2 的概率应为 P（x1Xx2）=P（Xx2）-P（Xx1）=F（x2）-F（x1）4.3.1.2 连续型随机变量的分布函数若连续型随机变量X的分布函数为F（x），则存在一个非负函数f（x），使得对于任意实数x，有 F（x）=（4.9）称此f（x）为随机变量X的概率密度函数，简称密度函数。随机变量X的概率密度函数具有如下基本性质：非负性：对于任意实数x，f（x）0.规范性：由定义还可以看出：分布函数是密度函

11、数的“累积和“，图4.1呈现了分布函数与密度函数的关系。对于任意实数x1和x2（x1x2），随机变量X的取值落在区间（x1，x2 的概率P（x1Xx2），是密度函数曲线与x轴上x1Xx2）段围成的面积，即图4.2中所示的阴影部分。连续型随机变量取某一特定值的概率为0.4.3.1.3 连续型随机变量的密度函数4.3.2 连续型随机变量的数学期望和方差4.3.2.1 连续型随机变量的数学期望由于连续型随机变量X的可能取值无法一一列举，因此它的数学期望的概念与离散型随机变量的数学期望的概念是不同的。设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f（x），则X的数学期望定义为 （4.10 ）随机变量X的

12、数学期望简称期望，记为E（X）或。4.3.2.2 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差用以度量连续型随机变量的离散程度。设X是一个连续型的随机变量，其概率密度函数为f（x），数学期望E（X）=，则X的方差定义为 E（X-E（X）2=（4.11）记为D（X）或 。方差的算术平方根称为标准差，记为 或 。类似于离散型随机变量，连续型随机变量的方差的另一种表达式为 D（X）=E（X2）-（E（X）2=（4.12）4.3.2.3 连续型随机变量的期望和方差的性质设X是一个连续型随机变量，其期望和方差分别为x和2x，设a和b为两个常数，则X的期望和方差具有如下性质：E（a+bX）=a+bE（X）=a

13、+bx。D（a+bX）+b2D（x）=b2 随机变量 的均值和方差分别为0和1。连续型随机变量的数学期望也是用以度量随机变量的平均值的，因此它又叫做连续性随机变量的均值，简称均值。若随机变量X的概率密度函数为：P（x）=（4.13）则称X服从区间a，b 上的均匀分布，记为XU（a，b）。若XU（a，b），则其数学期望和方差分别为：E（X）=，D（X）=4.3.3.2 指数分布 若随机变量X的概率密度函数为：P（x）=（4.14）则称X服从参数为的指数分布，记为XE（）。若XE（），则其数学期望和方差分别为：E（X）=,D（X）=4.3.3 常用的连续型随机变量的概率分布4.3.3.1 均匀分布

14、（x）=（4.15）其中和 为常数，且分别满足-x+和0，则称X服从参数为和的正态分布，记为XN（，）。若X服从 正态分布，且参数和分别为0和1，则称X服从标准正态分布，记为XN（0，1）。标准正态分布的密度函数和分布函数分别为：（x）=（4.16）和（x）=（4.17）若XN（，），则其数学期望和方差分别为：E（x）=,D（X）=因此，我们也将XN（，）称为随机变量X服从均值为、方差为 的正态分布。而标准正态分布即为均值为0、方差为1的正态分布。由图4.3（a）和图（b）可以看出的密度函数（x）具有如下几个重要特点：涵数（x）的图像是对称、单峰的钟形曲线，它关于x=对称，且当x=时达到最大值

15、，最大值为1（）。固定 ，让变动，曲线会沿着x轴平行移动，即曲线位置发生了水平方向上的改变，而形状并未改变。固定，让 变动，若增大，则曲线的峰值降低，曲线变得“扁平”；反之，若减小，则曲线的峰值增大，曲线变得“陡峭”。4.3.3.3 正态分布 若随机变量X的概率密度函数为：下面来看一般正态分布和标准正态分布之间的关系。不难验证，若XN（，），则有Z=（X-）N（0,1），即任意一个服从正态分布的随机变量经过变换后都可化为一个服从标准正态分布的随机变量。而标准正态分布具有如下性质（相关描述见图4.4）：密度函数0（x）关于原点对称，既有 0（x）=0（-x）。分布函数0（x）满足：0（-x）=1-0（x）。标准正态分布的上述优良性质，可以为我们在分析或计算中提供许多方便。P（Z1.25）；P（1.25Z2.32）；P（Z2.32）。P（Z1.25）=（1.25）=0.8944P（1.25